現(xiàn)代控制理論課后習(xí)題答案

河南城建學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院自動(dòng)化現(xiàn)代控制理論習(xí)題庫(kù)II型為：3-5試證明對(duì)于單輸入的離散時(shí)間定常系統(tǒng)r=（G，h），只要它是完全能控的，那么對(duì)于任意給定的非零初始狀態(tài)x0，都可以在不超過(guò)n個(gè)采樣周期的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。證明：離散時(shí)間定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：初始狀態(tài)為x0，則方程的解：當(dāng)k=0時(shí)當(dāng)k=2時(shí)…當(dāng)k=n時(shí)因?yàn)橄到y(tǒng)能控所以能控判別陣M滿(mǎn)秩則有解即因?yàn)樗詘(n)=0則該系統(tǒng)在不超過(guò)n個(gè)采樣周期內(nèi)，由任意給定的非零初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到了狀態(tài)空間原點(diǎn)。3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：試寫(xiě)出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。解：有微分方程可寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可求得其對(duì)偶系統(tǒng)，，所以其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，及其傳遞函數(shù)，3-7已知能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程A，b陣為：，試將該狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。解：易得，即系統(tǒng)是能控的再由，求得，,所以，變換矩陣為：，可求得，所以能控標(biāo)準(zhǔn)型為：3-8已知能觀(guān)系統(tǒng)的A，b,c陣為：，，試將該狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型。解：易得,即系統(tǒng)能觀(guān)。再由可求得，，所以，變換陣為可求得，所以，能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型為：3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型。解：可得系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為又因?yàn)橄到y(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)I型與能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)II型對(duì)偶得能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)II型為3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型。解：3—11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1）A＝，b＝，c＝（2）A＝，b＝，c＝解：（1）構(gòu)造能控判別矩陣M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1＝b＝R2＝Ab＝R3＝其中R3任意的，只需滿(mǎn)足Rc滿(mǎn)秩即Rc＝，則有RＣ－１＝，可得＝RＣ－１ARc＝＝＝RＣ－１b＝，故系統(tǒng)分解為兩部分二維能控子系統(tǒng)一維不能控子系統(tǒng)（2）構(gòu)造能控判別矩陣M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1＝，R2＝，R3＝，則Rc＝，RＣ－１＝，可得＝＝＝RＣ－１b＝＝＝cRc＝故系統(tǒng)分解為兩部分二維能控子系統(tǒng)一維不能控子系統(tǒng)3-12試將下列系統(tǒng)按能觀(guān)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。（1）解：（1）由已知得則有能能觀(guān)性判別陣rankN=2<3，該系統(tǒng)不能觀(guān)構(gòu)造非奇異變換矩陣，有則（2），，解：系統(tǒng)的能觀(guān)性判別矩陣，rankN=2<3，系統(tǒng)不完全能觀(guān)存在非奇異變換陣：，所以，存在二維能觀(guān)子系統(tǒng)：一維不能觀(guān)子系統(tǒng)：3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀(guān)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。（1）解：由已知得rankM=3，則系統(tǒng)能控rankN=3，則系統(tǒng)能觀(guān)所以此系統(tǒng)為能控并且能觀(guān)系統(tǒng)取，則則，，（2），，解：系統(tǒng)的能控性判別陣M:rankM=2<4，系統(tǒng)不完全能控存在非奇異變換陣：，所以，按能控性可分解為，能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：對(duì)能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀(guān)分解，，，能觀(guān)判別陣：rank=1<2,系統(tǒng)不完全能觀(guān)，存在非奇異變換陣：，所以，=1\*GB3①能控能觀(guān)子系統(tǒng)：=2\*GB3②能控不能觀(guān)子系統(tǒng)：對(duì)不能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀(guān)分解：，能觀(guān)判別陣：rank=1<2，系統(tǒng)不完全能觀(guān)，存在非奇異變換陣:，所以，=3\*GB3③不能控能觀(guān)子系統(tǒng)：=4\*GB3④不能控不能觀(guān)子系統(tǒng)：3--14、求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)：解：（1）.W（s）的各元Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式，其實(shí)現(xiàn)Σ具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫(xiě)成按s降冪排列的格式：可得：a0=1，可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣：，，該能控標(biāo)準(zhǔn)型的能觀(guān)性判別矩陣N為：，rankN=1則該能控標(biāo)準(zhǔn)型不完全能觀(guān)，即該能控標(biāo)準(zhǔn)型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀(guān)性分解：取，則有，則，W（s)的最小實(shí)現(xiàn)為：，，（2).W（s）的各元Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式，其實(shí)現(xiàn)Σ具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫(xiě)成按s降冪排列的格式：可得：a0=a1=a2=0，,,可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣：，，該能控標(biāo)準(zhǔn)型的能觀(guān)性判別矩陣N為：，rankN=3<6,則該能控標(biāo)準(zhǔn)型不完全能觀(guān)，即該能控標(biāo)準(zhǔn)型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀(guān)性分解：取，則有，則，W（s)的最小實(shí)現(xiàn)為：，，3-15設(shè)和是兩個(gè)能控且能觀(guān)的系統(tǒng)（1）試分析由和所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)；（2）試分析由和所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。解：（1）和串聯(lián)當(dāng)?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r(shí)，，則rankM=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。當(dāng)?shù)幂敵鍪堑妮斎霑r(shí)，因?yàn)閞ankM=3則系統(tǒng)能控因?yàn)閞ankN=2<3則系統(tǒng)不能觀(guān)（2）和并聯(lián)，因?yàn)閞ankM=3，所以系統(tǒng)完全能控3-16從傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象出發(fā)，說(shuō)明圖3.18中閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀(guān)性和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性是一致的。圖3.18系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：設(shè)W0(s)=(mn)若系統(tǒng)不能控或（和）不能觀(guān)，則W0(s)有零極點(diǎn)相消，即與有公因子。若系統(tǒng)能控且能觀(guān)，而無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Wf(s)=顯然Wf(s)和W0(s)能相消的零極點(diǎn)是相同的。所以圖中開(kāi)環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀(guān)性一致。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：（1）Q（x）=-x12-3x22-11x32+2x1x2-x2x3-2x1x3（2）Q（x）=x12+4x22+x32-2x1x2-6x2x3-2x1x3解：（1）Q（x）=xTQ（x）=xTx=xTPx，由于P的2階主子行列式都大于零，而1、3階主子行列式小于零，故為負(fù)定函數(shù)。（2）Q（x）=xTx=xTPx，由于P的1、2階主子行列式都大于零，而3階主子行列式小于零，故為非定號(hào)性函數(shù)。4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿(mǎn)足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：有解，且解具有負(fù)實(shí)部。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于。取，令，則帶入，得到若，則此方程組有唯一解。即其中要求正定，則要求

因此，且4-3以李雅普諾夫第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。（1）（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則=<0是負(fù)定的，且，有。故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則是負(fù)定的，且，有。故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。4-4下列是描述兩種生物個(gè)數(shù)的瓦爾特拉方程：試中，，分別表示兩種生物的個(gè)數(shù)；，，為非0的實(shí)數(shù)：確定系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線(xiàn)性化，并討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：令當(dāng)當(dāng)在出線(xiàn)性化得A=其特征值當(dāng)時(shí)。系統(tǒng)在平衡點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)在，其特征值若同號(hào)，實(shí)部位一正一負(fù)。系統(tǒng)不穩(wěn)定。若異號(hào)，實(shí)部為0.系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-5試求下列非線(xiàn)性微分方程：的平衡點(diǎn)，然后對(duì)各平衡點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性化，并討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：令則或即系統(tǒng)有兩個(gè)平衡點(diǎn)(k=0,1,2…n)(k=0,1,2…n)對(duì)進(jìn)行線(xiàn)性化有:即A=特征方程det=()+1=0則==全部有負(fù)實(shí)部則系統(tǒng)在處穩(wěn)定（2）對(duì)進(jìn)行線(xiàn)性化有：得A=特征方程det=-1=0則有==有正實(shí)部，因此系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。4-6設(shè)非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取很明顯，的符號(hào)無(wú)法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負(fù)定的。，有。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4－7設(shè)線(xiàn)性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:x1(k+1)=x1(k)+3x2(k)x2(k+1)=－3x1(k)－2x2(k)－3x3(k)x3(k+1)=x1(k)試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解: 由題可知，G＝,系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)于任意給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q，取Q＝I，由公式GTPG－P＝－I，解出實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P，判斷其是否正定，從而得出穩(wěn)定性的結(jié)論。GＴ＝，P＝，則－＝－解得P＝由希爾維斯特判據(jù)：＝P11＝－19/78＜0，＝531/6084＞0，－0.90308＜0?？芍狿不滿(mǎn)足條件，故系統(tǒng)在平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。4-8設(shè)線(xiàn)性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求在平衡點(diǎn)=0處，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)k的取值范圍。解：已知,則設(shè)代入，得：展開(kāi)化簡(jiǎn)整理后得：可解出：要使P為正定的是對(duì)稱(chēng)矩陣，必須滿(mǎn)足：系統(tǒng)在平衡點(diǎn)出才是大范圍漸近穩(wěn)定的。4-9設(shè)非線(xiàn)性狀態(tài)方程為:試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有。取則，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，的符號(hào)無(wú)法判斷。（2）李雅普諾夫方法：選取李雅普諾夫函數(shù)為，則是負(fù)定的，且，有。故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。4-10已知非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)方程試證明在時(shí)系統(tǒng)是最大范圍漸近穩(wěn)定的。 證明：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在坐標(biāo)原點(diǎn)，由于，可取李雅普諾夫函數(shù)為由于，非正定，并且時(shí)，；時(shí)，，即對(duì)于或不恒為零，所以坐標(biāo)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；由于，是大范圍漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)是最大范圍漸近穩(wěn)定的。4-11:設(shè)非線(xiàn)性系統(tǒng)：試用克拉索夫斯基法確定原點(diǎn)為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)a和b的取值范圍。解：用克拉索夫斯基法，取P=I.4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)：解：（1）假設(shè)V(x)的梯度為：計(jì)算V(x)的導(dǎo)數(shù)為：選擇參數(shù)，試選于是得：顯然滿(mǎn)足旋度方程V(x)是正定的，因此在1-2x1x2>0即x1x2<的范圍內(nèi)，xe=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的。解題步驟a：假設(shè)V(x)的梯度.b:計(jì)算V(x)的導(dǎo)數(shù).c:選擇參數(shù),得：.d:根據(jù)選擇參數(shù)，重新寫(xiě)出.e:根據(jù)公式得出.f:判斷是否正定，進(jìn)而判斷穩(wěn)定性.第五章線(xiàn)性定常系統(tǒng)的綜合5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。解：依題意有：，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為-1，-2，-3期望的特征多項(xiàng)式為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：23，-50，-9即狀態(tài)反饋陣為：K=[23-50-9]5-2已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為：-10，。解：依題意有：,=，rankM=3，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：-10，期望的特征多項(xiàng)式為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：-4，-1.2，-0.1即狀態(tài)反饋陣為：K=[-4-1.2-0.1]5-3有系統(tǒng)：畫(huà)出模擬結(jié)構(gòu)圖。若動(dòng)態(tài)性能不滿(mǎn)足要求，可否任意配置極點(diǎn)？若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。對(duì)于系統(tǒng)有：，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿(mǎn)足要求，可通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。故系統(tǒng)完全能觀(guān)，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿(mǎn)足要求，可通過(guò)輸出反饋任意配置極點(diǎn)。加狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：-3，-3期望的特征多項(xiàng)式為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：-1,-3即狀態(tài)反饋陣為：K=[-1-3]5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問(wèn)能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：由于傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，因此系統(tǒng)為能控且能觀(guān)。能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為=由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為-2，-2，-3，得期望特征多項(xiàng)式為:比較與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：5-5使判斷下列系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。(1)解：系統(tǒng)的能控陣為：系統(tǒng)能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。（2）解：系統(tǒng)可以分解為以下兩個(gè)子系統(tǒng)：，以上兩個(gè)子系統(tǒng)最后一行對(duì)應(yīng)的b陣全為0，故兩子系統(tǒng)均不能控，又有,，可得兩個(gè)子系統(tǒng)的特征根分別為：-2，-2，-2和-5，-5均為負(fù)實(shí)根，所以?xún)蓚€(gè)子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以通過(guò)狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。5-6設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：判斷系統(tǒng)能否穩(wěn)定。系統(tǒng)能否鎮(zhèn)定，若能，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣使之穩(wěn)定。解：（1）系統(tǒng)的特征方程為：各系數(shù)異號(hào)且缺項(xiàng)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）判斷系統(tǒng)的能控性：rankM=4,系統(tǒng)完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。設(shè)狀態(tài)反饋陣為，使閉環(huán)極點(diǎn)配置為：-1，-1，-1，-1則閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：-1，-1，-1，-1則期望的特征多項(xiàng)式為：比較對(duì)應(yīng)系數(shù)可得所以狀態(tài)反饋陣為5-7.設(shè)計(jì)一個(gè)前饋補(bǔ)償器，使系統(tǒng)：解耦，且解耦后的極點(diǎn)為。解：求被解耦傳遞函數(shù)陣的逆：（注：若不存在逆，則該系統(tǒng)不能用前饋補(bǔ)償解耦。）跟據(jù)要求，令解耦后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：由式，得前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣為：即為所求。已知系統(tǒng)：（1）判別系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦（2）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦，且極點(diǎn)為。解：求：可知使的最小的是，則；使的最小的是，則。確定D、E陣：（2）E矩陣不滿(mǎn)秩，根據(jù)能