第八講 矩陣的特征值與特征向量的計算

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第八講矩陣的特征值與特征向量的計算冪法和反冪法雅克比方法QR方法

8.1冪法和反冪法.設A是nn矩陣，如果存在實數(shù)λ使得AX=λX,則稱λ為矩陣A的一個特征值，X就是特征值λ對應的特征向量。求矩陣特征值的方法：(1)從原始矩陣出發(fā)，求出其特征多項式及特征值,但重根的計算精度較低。(2)迭代法，舍入誤差對這類方法的影響也較小，但是工作量較大。

8.1.1冪法..冪法適用條件：只需要求出矩陣的按模最大的特征值和相應的特征向量。冪法是一種計算矩陣的特征值的迭代法。其優(yōu)點是算法簡單，簡單在計算機上實現(xiàn)，缺點是收斂速度慢。

1.冪法冪法的基本思想是：若要求某個nn矩陣A的特征值和特征向量，先任取一個初始向量

X(0),構造如下序列：X(0),X(1)=AX(0),X(2)=AX(1),…,X(k)=AX(k1),…當k增大時，序列的收斂狀況與絕對值較大的特征值有密切關系，即可求出按模最大的特征值和相應的特征向量。

1.冪法一般情形：設A具有n個線性無關的特征向量V1,V2,L,Vn,其對應的特征值λ1,λ2,L,λn滿足：

λ1λ2≥λ3≥L≥λn,任取一非零向量X

=AX(k)得向量序列{X(k)},k=0,1,2,L)(。(0)

,令：X

(k+1)

1.冪法存在n個不全為零的數(shù)

α1,α2,L,αn,使得

X(0)=α1V1+α2V2+L+αnVn,則X(k)kkλ2λn(n)k(1)(2)=λ1α1X+α2X+L+αnXλ1λ1

設α1≠0,k充分大時，λ21,λ31,L,λn1,當λ1λ1λ1且X(k)

≈λ1kα1V1不是零向量，則X(k)可近似地作為λ1對應

的特征向量。

1.冪法實際計算公式：

Y(k)=X(k)maxxi(k)1≤i≤n(k=0,1,2,L)(k+1)X=AY(k)當k充分大時，有：Y(k)≈V1maxxi(k)≈λ11≤i≤n

收斂速度用冪法計算矩陣的按模最大特征值的收斂速度主要是由r=收斂可能很慢。λ1λ2

決定的，但當r接近于1時，

2.冪法的冪法的MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)程序8-1計算nn矩陣A的按模最大特征值λ1和相應的特征向量

V1。設n個特征值滿足：λ1λ2≥λ3≥L≥λn0

function[lambda,V]=power1(A,X,epsilon,max1)%A為n*n矩陣。%X為n*1初始向量。%epsilon為上限。%max1為循環(huán)次數(shù)。%lambda為按模最大的特征值。%V為lambda對應的特征向量。%參數(shù)初始化。lambda=0;cnt=0;

程序8-1(其次部分)程序(其次部分)err=1;state=1;while((cnt=max1)(state==1))Y=A*X;[mj]=max(abs(Y));c1=m;dc=abs(lambda-c1);Y=(1/c1)*Y;dv=norm(X-Y);err=

max(dc,dv);X=Y;lambda=c1;state=0;if(errepsilon)state=1;endcnt=cnt+1;endV=X;

8.1.2原點平移法..引進原因：補救用冪法計算矩陣的按模最大特征值收斂速度慢的缺點。引進矩陣：B=Aλ0I其中λ0為選擇參數(shù)。設A的特征值為λ1,λ2,L,λn,則B相應的特征值應為λ1λ0,λ2λ0,L,λnλ0,而且矩陣A與

B的特征向量一致。

8.1.2原點平移法..若計算A的按模最大特征值，適選中擇λ0,使

λ1λ0是B的按模最大特征值，且

λ2λ0λ2。λ1λ0λ1

原點平移法：對矩陣B應用冪法，使得在計算B的按模最大特征值λ1λ0的過程中得到加速。

8.1.2原點平移法..當A的特征值是實數(shù)時，設A的特征值滿足λ1λ2≥Lλn1λn,選擇λ0使得λ1λ0λnλ0,且使收斂速度的比值λ2λ0λnλ0,ω=maxλλ10λ1λ0最小。

8.1.3反冪法..反冪法的基本思想：把求A的按模最小的特征值問題變?yōu)榍驛1的按模最大特征值，即把冪法用到A上。1

8.1.3反冪法..計算步驟：(1)對矩陣(Aλ0I)進行LU分解。(2)對任意非零向量X(0),分別?。孩賦(k)=maxxi(k),其中xi(k)為X(k)的第i個分量。1≤i≤n

②Y

(k)

X(k)=(k)。xLX(k1)=Y(k1)(k)(k1)UX=X

③解方程組：

即得X

(k)

。

8.2雅克比方法.雅克比方法適用對象：用于求實對稱矩陣的全部特征值和對應的特征向量。雅克比方法基本思想：用一系列正交變換對角化A,即逐步消去A的非對角元，從而得到A的全部特征值。雅克比方法實質：找一個正交矩陣V,A使對角化。

8.2.1平面旋轉矩陣..1.二階矩陣情形設二階實對稱矩陣為a11a12A=a21a22其對應的二次型為：2f(x1,x2)=a11x12+2a12x1x2+a22x2

1.二階矩陣情形在幾何上方程f(x1,x2)=c表示在x1,x2平面上的一條二次曲線，假使將坐標軸Ox1',Ox2'與該二次曲線的主軸相重合，在新的坐標系中，二次曲線的方程化為“標準型〞b11x1'+b22x2'=c:22

1.二階矩陣情形化標準型的實質：對坐標軸進行旋轉變換(也是正交變換)