第一章 矢量分析(lsf)

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電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

第一章矢量分析

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

本章內(nèi)容本章重點(diǎn)介紹與矢量場(chǎng)分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。

矢量代數(shù)常用正交坐標(biāo)系標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的旋度

拉普拉斯運(yùn)算亥姆霍茲定理

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

1.1矢量代數(shù)1.1.1標(biāo)量和矢量

標(biāo)量與矢量標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量(電壓U、電荷量Q、能量W等)矢量：既有大小，又有方向的物理量(作用力，電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的代數(shù)表示

EHBDe矢量可表示為：AeAA其中AA為模值，表征矢量的大??；eA為單位矢量，表征矢量的方向；

F

AA

A

矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來(lái)表示

矢量的幾何表示

說(shuō)明：矢量書(shū)寫(xiě)時(shí)，印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如D。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體。

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析z

矢量用坐標(biāo)分量表示

Az

AexAxeyAyezAzAxAcosAyAcosAzAcosx

AxO

AAyy

AA(excoseycosezcos)eAexcoseycosezcos

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

1.1.2矢量的運(yùn)算AexAxeyAyezAz矢量的加法和減法

BexBxeyByezBz

ABex(AxBx)ey(AyBy)ez(AzBz)說(shuō)明：

1、矢量的加法符合交換律和結(jié)合律：

ABBA

(AB)CA(BC)

2、矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解：

B

AB

A

BB

AB

A

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

矢量的乘法

矢量與標(biāo)量相乘

kAexkAxeykAyezkAzeAkA標(biāo)量與矢量相乘改變矢量大小，方向由k的正負(fù)定。

矢量的標(biāo)積(點(diǎn)積)

ABABcosABAxBxAyByAzBz說(shuō)明：1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分派律：

B

AB

A

0

ABBA

A(BC)ABAC

2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析AB

矢量的矢積(叉積)

exABenABsinABAxBx

eyAyBy

ezAzBz

B

ABsin

ex(AyBzAzBy)ey(AzBxAxBz)ez(AxByAyBx)說(shuō)明：1、矢量的叉積不符合交換律，但符合分派律：

A

ABBA

A(BC)ABAC

2、兩個(gè)矢量的叉積為矢量3、矢量運(yùn)算恒等式

A(BC)B(CA)C(AB)A(BC)B(AC)C(AB)

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

1.2三種常用的正交坐標(biāo)系三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正

交線的交點(diǎn)

來(lái)確定。三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為

正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析zzz0(平面)

1.2.1直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量

x,y,zo

ez

坐標(biāo)單位矢量ex,ey,ez位置矢量線元矢量

ex

P

ey點(diǎn)P(x0,y0,z0)

yyy0(平面)

rexxeyyezzdlexdxeydyezdz

x

xx0(平面)直角坐標(biāo)系

z

dSzezdxdy

面元矢量

dSxexdlydlzexdydz

dz

dSyeydxdz

dSyeydlxdlzeydxdzdSzezdlxdlyezdxdyox

dxdydSxexdydz

y

體積元

dVdxdydz

直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

《電磁場(chǎng)與電磁波理論》

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

在直角坐標(biāo)系中矢量的表示

例如：

《電磁場(chǎng)與電磁波理論》

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量與距離矢量

場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)場(chǎng)點(diǎn)矢徑

源點(diǎn)坐標(biāo)源點(diǎn)矢徑

《電磁場(chǎng)與電磁波理論》

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

第1章矢量分析

位置矢量與距離矢量位置矢量——由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)引向空間某一點(diǎn)的有方向線段，稱為該點(diǎn)的位置矢量或矢徑。

距離矢量——由源點(diǎn)出發(fā)引向場(chǎng)點(diǎn)的矢量稱為距離矢量。

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

1.2.2圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量,,z

坐標(biāo)單位矢量e,e,ez位置矢量線元矢量

reezzdrededezdzdSedldlzeddzdSedldlzeddzdSzezdldlezdd圓柱坐標(biāo)系

面元矢量

體積元

dVdddz圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

說(shuō)明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：

AeAeAezAz

BeBeBezBz

加減：ABe(AB)e(AB)ez(AzBz)標(biāo)積：AB(eAeAezAz)(eBeBezBz)

ABABAzBz

e矢積：ABA

eAB

ezAze(ABzAzB)e(AzBABz)Bzez(ABAB)

B

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第1章矢量分析

1.2.3球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量

r,,

坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量面元矢量

er,e,ererrdrerdrerdersind球坐標(biāo)系

dSrerdldler

r2sindddSedlrdlezrsindrddSedlrdlerdrd

體積元

dVr2sindrdd球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

說(shuō)明：球面坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：

AerAreAeA

BerBreBeB

加減：ABer(ArBr)e(AB)e(AB)標(biāo)積：AB(erAreAeA)(erBreBeB)

ArBrABAB

er矢積：ABAr

eAB

eAB

Br

er(ABAB)e(ABrArB)e(ArBABr)

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析ez001ezcossin0yeeyφ

1.2.4坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系

eezer

e

cossin0sincos0ex

ex

sincos0e

ey

eex

圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系

e

o

φ

單位圓

x直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

ee

001ey

z

ezθθ

ere

直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系

ersincosecoscos

e

sin

ezsinsincoscossinsincos0

θ

單位圓

er

o

柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

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第1章矢量分析

第1章矢量分析

幾點(diǎn)說(shuō)明：廣義坐標(biāo)系廣義柱坐標(biāo)系————(方向單位矢量)(方向單位矢量)

不同坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度元、面積元和體積元。線積分或、面積分或和體積分。

不隨位置坐標(biāo)而改變。隨著位置坐標(biāo)的改變而改變。

三種常用的正交坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換(坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換和方向矢量的轉(zhuǎn)換)。1-18

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1、直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈面對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限大面電荷分布產(chǎn)生電場(chǎng)分布。

2、柱面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生磁場(chǎng)分布。3、球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈點(diǎn)對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如點(diǎn)電荷

產(chǎn)生電場(chǎng)分布。

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第1章矢量分析

第1章矢量分析

物理量的分類

物理量與位置有關(guān)的量(場(chǎng)量)標(biāo)量場(chǎng)(只有大小)矢量場(chǎng)(大小+方向)

與位置無(wú)關(guān)的量時(shí)間、長(zhǎng)度、重量……

溫度、濕度、電位……

速度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)……

標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)1-20

電磁場(chǎng)與電磁波

第1章矢量分析

1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)確定空間區(qū)域

上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，