初中數(shù)學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)：平面圖形的認(rèn)識(shí)

課題：小結(jié)與思考一、本章的知識(shí)框圖二、重點(diǎn)、難點(diǎn)突破重點(diǎn)：（一）平行線的條件與性質(zhì)1、平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。2、直線平行的條件：同位角相等，兩直線平行。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。平行線的性質(zhì)：（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（二）平移1、平移的現(xiàn)象在日常生活中，我們經(jīng)?？吹交┻\(yùn)動(dòng)員在平坦雪地上滑翔、大樓的電梯上上下下地運(yùn)送來(lái)客、火車在筆直的鐵路上飛馳、鋁合金窗葉左右移動(dòng)、升降機(jī)上下運(yùn)東西、這些現(xiàn)象都是平移現(xiàn)象．2、平移的概念在一個(gè)平面內(nèi)，將一個(gè)基本的圖形沿一定的方向移動(dòng)了一定的距離，這種圖形平行移動(dòng)稱為平移．3、平移的特征由平移后的圖形與原圖形比較，可得出，平移后的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒(méi)有發(fā)生變化，在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線段有時(shí)平行，有時(shí)還可能在同一直線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，有時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線也可能會(huì)在同一直線上．4平移作圖（1）已知原圖和一對(duì)應(yīng)點(diǎn)作出平移后的圖形．（2）已知原圖和一對(duì)應(yīng)角作出平移后的圖形．（3）已知原圖平移距離作出平移后的圖形．（三）三角形1、三邊關(guān)系三角形中任意兩邊之和大于第三邊是由“兩點(diǎn)之間的所有線段中，線段最短”這個(gè)結(jié)論得到的，要注意知識(shí)之間的前后聯(lián)系。2、按角分類在按角對(duì)三角形分類時(shí)，要明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，注意分類時(shí)要做到“不重不漏”，同時(shí)注意到三角形三條邊、三個(gè)角之間的關(guān)系與三角形的具體形狀無(wú)本質(zhì)關(guān)系，特殊三角形的特殊性質(zhì)與其具體形狀有關(guān)，如“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”。3、三線三角形中的高、角平分線、中線是三角形的幾條重要線段。三角形中的三條高、三條角平分線、三條中線必交于一點(diǎn)，其中角平分線和中線的交點(diǎn)都在三角形內(nèi)，而三條高的交點(diǎn)則要分類討論。三角形的高線的畫(huà)法實(shí)質(zhì)的對(duì)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這是畫(huà)出高線的關(guān)鍵，也是高線的本質(zhì)，從易到難是分散難點(diǎn)和突破難點(diǎn)的具體措施和方法。4、三角形內(nèi)角和理解三角形內(nèi)角和為180°時(shí)，要結(jié)合學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)平行線特征和識(shí)別的知識(shí)。5、多邊形多邊形（n邊形）：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形。凸多邊形：如果沿著多邊形任何一條邊作直線，多邊形均在直線的同側(cè)。

凹多邊型：多邊形存在若干這樣的邊，如果沿著這條邊作直線，多邊形在直線的兩側(cè)。正多邊形：多邊形的各邊都相等且各角都相等。對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段。n邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°任意多邊形的外角和都為360°（外角和是指：每個(gè)頂點(diǎn)取且只取一個(gè)外角）。

注意：(1)多邊形的內(nèi)角和僅與邊數(shù)有關(guān)，與多邊形的大小、形狀無(wú)關(guān)；

(2)凸多邊形的內(nèi)角α的范圍：0°＜α＜180°6、任意多邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°（這里n表示邊數(shù)），外角和是360°，需指出的是多邊形內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，而外角和是一個(gè)定值，它不隨邊數(shù)的變化而變化，此類題目類型大致可分為：

（1）已知邊數(shù)，求內(nèi)角和。其方法是直接將邊數(shù)代入公式即可。

（2）已知角度求邊數(shù)。

若已知內(nèi)角和，則直接用內(nèi)角和公式列方程可求邊數(shù)；

若已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，則列出這個(gè)角度乘以n等于(n-2)·180°的方程，求邊數(shù)；

若已知一個(gè)外角的度數(shù)，則只需用外角和除以已知角的度數(shù)，即求出邊數(shù)；

若已知內(nèi)、外角和的度數(shù)之比，則利用等于已知比，可求邊數(shù)。難點(diǎn)：1、找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。2、能夠運(yùn)用平移的基礎(chǔ)知識(shí)分析復(fù)雜圖的形成過(guò)程。3、理解平移的性質(zhì)．4、三邊關(guān)系的理解，5、多邊形內(nèi)角和的運(yùn)用整合拓展創(chuàng)新類型之一、平行線的條件和性質(zhì)例1如圖7-1，已知∠BED＝∠B+∠D，則AB(A)先向下移動(dòng)1格，再向左移動(dòng)1格(B)先向下移動(dòng)1格，再向左移動(dòng)2格(C)先向下移動(dòng)2格，再向左移動(dòng)1格(D)先向下移動(dòng)2格，再向左移動(dòng)2格7-7【思路分析】把圖（1）中的M視為靜止不動(dòng)的圖形，而運(yùn)動(dòng)的圖形是N，它可以先左右平移，后上下平移；也可以先上下平移后左右平移?？梢园l(fā)現(xiàn)應(yīng)選D2、將方格紙中的圖形向右平行移動(dòng)4格，再向下平移動(dòng)3格，畫(huà)出平移后的圖形。7-8【思路分析】按照題意平移而得如圖所示圖形。7-9類型之三認(rèn)識(shí)三角形例5、長(zhǎng)為2，3，5的線段，分別延伸相同長(zhǎng)度的線段后，能否組成三角形？【思路分析】設(shè)出各條線段伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，然后再用兩個(gè)較短邊的和與最長(zhǎng)邊進(jìn)行比較，若和大于最長(zhǎng)邊，則可以組成，若小于，則不可以。解：可以，設(shè)延伸部分為，則長(zhǎng)為，，的三條線段中，最長(zhǎng)，因?yàn)樗?，只要，長(zhǎng)為，，的三條線段可以組成三角形。【點(diǎn)評(píng)】看三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，就是看，兩條較短線段的和是否大于最長(zhǎng)線段，若和大于最長(zhǎng)線段則可以組成，若小于，則不可以。變式題1、某同學(xué)用長(zhǎng)分別為5、7、9、13（單位：厘米）的四根木棒擺三角形，用其中的三根首尾順次相接，每擺好一個(gè)后，拆開(kāi)再擺，這樣最多可擺出不同的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)【思路分析】進(jìn)行分類討論，共有如下情況：5、7、9；5、7、13；5、9、13；7、9、13；根據(jù)三邊關(guān)系，可取到5，7，9或5，9，13或7，9，13三種情況。解：選C。2、正在修建的中山北路有一形狀如圖7-10所示的三角形空地要綠化，擬將分成面積相等的4個(gè)三角形，以便種上四種不同的花草。請(qǐng)你幫助畫(huà)出規(guī)劃方案（至少兩種）。圖7-10【思路分析】可有以下分法：

根據(jù)中線性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等。7-11類型之四三角形內(nèi)角和例8、如圖7-12,D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°求：(1)∠B的度數(shù)；(2)∠C的度數(shù).7-12【思路分析】(1)由于∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，而∠ADC＝∠B＋∠BAD，于是∠B的度數(shù)可求。(2)由內(nèi)角和可求得。解(1)因?yàn)椤螦DC是△ABD的外角所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°又因?yàn)椤螧＝∠BAD所以∠B＝80°÷2＝40°；(2)在△ABC中，因?yàn)椤螧＋∠BAC＋∠C＝180°所以∠C=180°－∠B－∠BAC=180°－40°－70°=70°.【點(diǎn)評(píng)】適時(shí)運(yùn)用內(nèi)角和及“外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”，是三角形中求角和度數(shù)的有效方法。變式題1、如圖7-13，已知F是△ABC的連BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DF⊥AB，且∠A=56°，∠F=31°，求∠ACF的度數(shù).7-13【思路分析】直角三角形兩銳角互余；三角形內(nèi)角和180°；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰兩內(nèi)角和.求角度，聯(lián)系各角，這一題不難解出，注意到：∠B+∠F=90°則有∠B=59°，∠ACF=∠A+∠B=115°.解析：因?yàn)镕D⊥AB，所以∠B+∠F=90°.因?yàn)椤螦CF=∠A+∠B，所以∠ACF=∠A+90°-∠F=50°+90°-31°=115°2、已知，如圖7-14,△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)O．若∠BAC＝60°，求∠BOC的度數(shù)．7-14答案：120°；類型之五、多邊形內(nèi)角和與外角和例9、如果多邊形的每個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍還多30°，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和及對(duì)角線的總條數(shù)．【思路分析】由已知條件設(shè)出外角的度數(shù)，則與之相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為4x+30°，而它們是互為鄰補(bǔ)角，于是，可以構(gòu)造方程。解：設(shè)外角為x度，則內(nèi)角為（4x+30°）因?yàn)槊恳粋€(gè)內(nèi)角與它的外角互為鄰補(bǔ)角所以：x+(4x+30°)=180°x=30°因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°所以多邊形的邊數(shù)為360°÷30°=12這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為（12-2）×180°=1800°因?yàn)?2邊形從任意頂點(diǎn)出發(fā)均可以畫(huà)出9條對(duì)角線。所以對(duì)角線的總條數(shù)為：×9×12=54這個(gè)多邊形的對(duì)角線的總條數(shù)為×12×（12-3）=54【點(diǎn)評(píng)】方程思想是解決此類問(wèn)題的貫用方法。變式題1、已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和。【思路分析】設(shè)出這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則由于從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有n-3條，可得方程。解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，則從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有n-3條，根據(jù)題意，得方程2（n－3）=n解得n=6經(jīng)計(jì)算故此多邊形是六邊形，其內(nèi)角和是720°。2、過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形，則此多邊形是___________邊形?！舅悸贩治觥吭O(shè)此多邊形的邊數(shù)是n，則從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引n-3條對(duì)角線，這n-3條對(duì)角線把n邊形分成了（n－2）個(gè)三角形根據(jù)題意，得n－2=5解得n=7所以此多邊形是七邊形。3、已知一個(gè)多邊形的外角和等于內(nèi)角和的三分之一，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)?！舅悸贩治觥吭O(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180，而外角和是1080°由題意，得（n-2）×180°=1080°解之，得n=8答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8。例10、如圖7-15，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和．六邊形的外角和等于多少？7-15【思路分析】可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．關(guān)于外角問(wèn)題我們馬上就會(huì)聯(lián)想到平角，這樣我們就得到六邊形的6個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角的總和為6×180°．由于六邊形的內(nèi)角和為（6—2）×180°=720°．這樣就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六邊形的任何一個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角和為180°．∴六邊形的六個(gè)外角加上各自相鄰內(nèi)角的總和為6×180°．由于六邊形的內(nèi)角和為（6—2）×180°=720°∴它的外角和為6×180°一720°=360°【點(diǎn)評(píng)】解決內(nèi)外角的問(wèn)題，可以用平角來(lái)幫忙。變式題1、四邊形的內(nèi)角∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比為1：1：：1，求它的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)?！舅悸贩治觥繌?qiáng)調(diào)已知中的比怎么用！解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度數(shù)之比為1：1：：1∴可設(shè)∠A=x，則∠B=∠D=x，∠C=x又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴x+x++x=360°∴x=100∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×=60°2、在四邊形ABCD中，已知∠A與∠C互補(bǔ)，∠B比∠D大15°求∠B、∠D的度數(shù)?！舅悸贩治觥坑盟倪呅蔚乃膫€(gè)內(nèi)角和為360°。解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=180°①又∵∠B－∠D=15°②由①、②得∠B=°，∠D=°類型之五、綜合運(yùn)用例11、一個(gè)六邊形如圖7-16.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度數(shù)。7-16【思路分析】先觀察圖形，發(fā)現(xiàn)六邊形的內(nèi)角之間可能存在什么關(guān)系，設(shè)法用推理的方法予以說(shuō)明；再結(jié)合已知平行線的性質(zhì)并通過(guò)嘗試添加輔助線(連結(jié)對(duì)角線)，找到解題的途徑。解：連結(jié)AD，如圖7-16因?yàn)锳B∥DE，CD∥AF所以∠1＝∠2，∠3＝∠4所以∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F因?yàn)椤螰AB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°所以∠FAB＋∠C＋∠E=1／2×720°=360°【點(diǎn)評(píng)】借助于平行線，把多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四邊形的問(wèn)題，是本題解題的有效途徑。變式：引導(dǎo)學(xué)生一題多解，把多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形中去解決。可向兩個(gè)方向分別延長(zhǎng)AB，CD，EF三條邊，構(gòu)成△PQR。7-17因?yàn)镃D∥AF，所以∠1=∠R,同理∠2=∠R所以∠1＝∠2，所以∠AFE=∠DCB同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF因?yàn)椤螰AB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°所以∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=1／2×720°=360°例12、如圖7-18，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°,∠E=80°,試求∠F的度數(shù).7-18【思路分析】本題的思路與例11相仿。主要也是通過(guò)作輔助線，把六邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四邊形的問(wèn)題。解：連接AD在四邊形ABCD中∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=360°因?yàn)锳B⊥BC，所以∠B=90°又因?yàn)椤螩=124°所以∠DAB+90°+124°+∠CDA=360°∠DAB+∠CDA=146°因?yàn)镃D∥AF所以∠CDA=∠DAF（1）又因?yàn)椤螩DE=∠BAF所以∠BAD=∠EDA(2)由（1）,(2)得∠DAF+∠EDA=∠CDA+∠BAD=146°（3）在四邊形ADEF中∠DAF+∠EDA+∠F+∠E=360°（4）將(3)代入（4）得∠F+∠E=214°又因?yàn)椤螮=80°所以∠F=134°【點(diǎn)評(píng)】借助于平行線，把六邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四邊形的問(wèn)題，是本題解題的有效途徑。本題是例11的延伸。變式題已知：四邊形ABCD中(如圖7-19)，∠A與∠B互補(bǔ)，∠C=90°，DE⊥AB，E為垂足．若∠EDC=60°，求∠B、∠A及∠ADE的度數(shù)．7-19【思路分析】