初中數(shù)學(xué) 《圓周角》教案

．4圓周角一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)圓周角和圓心角的關(guān)系.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)能運(yùn)用圓周角的性質(zhì)解決問題．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。（2）在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

（3）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）如圖，在⊙O中，已知∠AOB=120°，則∠ACB=．（2）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=28°，則∠C的大小為．（3）如圖，AD為⊙O的直徑，∠ABC=75°，且AC=BC，則∠BED=．（4）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠A=36°，則∠O=．(二)課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；（3）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)（劣）弧相等．2.問題探究探究一圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系.★▲●活動(dòng)①以舊引新教師演示圖片：展示一個(gè)圓柱形的海洋館．教師：在這個(gè)海洋館里，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物．教師出示海洋館的橫截面示意圖，提出問題．問題1：如圖：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（和）有什么關(guān)系？教師：這兩個(gè)角所對(duì)的弧相同，頂點(diǎn)的位置不同：的頂點(diǎn)在圓心，的頂點(diǎn)在圓上。如何給起名較為恰當(dāng)？教師結(jié)合示意圖，給出圓周角的定義．利用幾何畫板演示，讓學(xué)生辨析圓周角。定義：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角,是圓周角。問題2：如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（和）和同學(xué)乙的視角相同嗎？與甲同學(xué)的視角（）相同嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生將問題2中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題：即研究同?。ǎ┧鶎?duì)的圓心角（）與圓周角（）、同弧所對(duì)的圓周角（、、等）之間的大小關(guān)系．教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究．【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作鋪墊.●活動(dòng)②大膽猜想，探究新知問題1：同弧（弧AB）所對(duì)的圓心角∠AOB與圓周角∠ACB的大小關(guān)系是怎樣的？問題2：同?。ɑB）所對(duì)的圓周角∠ACB與圓周角∠ADB的大小關(guān)系是怎樣的？方法一：度量法分別量一下圖中所對(duì)的圓周角，圓心角度數(shù)，即、、，比較一下你有什么發(fā)現(xiàn)？可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)差不多一樣，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半。為了進(jìn)一步探究上面的發(fā)現(xiàn)，需要嚴(yán)格的幾何證明。方法二：幾何證明法在⊙O任取一個(gè)圓周角，將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過圓心O和的頂點(diǎn)A，由于點(diǎn)A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：在圓周角的一條邊上；在圓周角的內(nèi)部；在圓周角的外部。（1）種情況證明：∵OA=OC，∴∠A=∠C。又∠BOC=∠A+∠C，∴∠BOC=2∠A，即∠A=∠BOC（2）種情況證明：∵OA=OC=OB，∴∠BAO=∠OBA，∠OAC=∠OCA。又∠BOC=2(∠BAO+∠OAC)，∴∠BOC=2∠BAC（3）種情況證明：∵OA=OC=OB，∴∠BAO=∠ABO，∠OAC=∠OCA.又∵∠BOC=180°-(180°-∠BAC-∠OCA)-∠ABO，∴∠BOC=∠BAC+∠OCA-∠ABO=∠BAC+(∠OAC-∠OAB)=2∠BAC定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧或等弧所對(duì)圓心角度數(shù)的一半。由此，還可以得到：同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，則它們的弧也相等。【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立自主解決問題，讓學(xué)生初步感受通過動(dòng)手操作來掌握幾何知識(shí)的相關(guān)概念。探究二直徑所對(duì)的圓周角.▲活動(dòng)大膽猜想，探究新知教師提問：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是多少度呢？學(xué)生猜想：90°如圖，已知BC為⊙O直徑，∠BAC為圓周角，求證：∠BAC=90°證明：∵∠BOC=2∠BAC=180°∴∠BAC=90°結(jié)論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。探究三：圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用●活動(dòng)①基礎(chǔ)性例題例1.如圖，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，則弦AB的長(zhǎng)是．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；等腰直角三角形．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OA，OB，∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，則AB===6．【思路點(diǎn)撥】連接OA，OB，可以證得△AOB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．【答案】6．練習(xí)1：如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，則∠BCD的大小是（）A．18° B．36° C．54° D．72°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是直徑，AB⊥CD，∴，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故選B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理推出，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解決問題．【答案】B．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理、圓周角定理，屬于中考?？碱}型．例2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB=32°，則∠BAC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵∠BOD與∠BCD為所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB為直徑，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°，故答案為：64°．【思路點(diǎn)撥】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．【答案】64°．練習(xí)2：如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數(shù)為．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所對(duì)的圓周角相等）；故答案是：60°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠BCD=90°，然后由直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同弧所對(duì)的圓周角相等求得∠A=∠D=60°．【答案】60°．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．●活動(dòng)2提升型例題例3.已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且∠BOC=80°，則∠BAC=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】解：①當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠BAC=∠BOC=40°；②當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)，則∠BAC=（360°﹣80°）=140°．故答案為：40°或140°．【思路點(diǎn)撥】由于三角形的外心的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部．所以此題要考慮兩種情況：根據(jù)圓周角定理，①當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠BAC=∠BOC=40°；②當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)，則∠BAC=（360°﹣80°）=140°．【答案】40°或140°．練習(xí)3：如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)為．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連結(jié)AD，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故答案為35°．【思路點(diǎn)撥】連結(jié)AD，由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，再根據(jù)互余計(jì)算出∠A的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理即可得到∠C的度數(shù)．【答案】35°．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．例4.如圖，在⊙O中，弦AC=2，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且∠ABC=45°，則⊙O的半徑R=．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；KQ：勾股定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵∠ABC=45°，∴∠AOC=90°，∵OA=OC=R，∴R2+R2=，解得R=．故答案為：【思路點(diǎn)撥】通過∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根據(jù)OA=OC就可以結(jié)合勾股定理求出AC的長(zhǎng)了．【答案】．練習(xí)4：已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度數(shù)是（）A．75° B．65° C．60° D．50°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故選B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ADB=90°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠B=65°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解．【答案】B．【設(shè)計(jì)意圖】此題主要是考查了圓周角定理的推論的運(yùn)用．●活動(dòng)3探究型例題例5.如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)⊙C上一點(diǎn)，∠BMO=120°，則⊙C的半徑長(zhǎng)為．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直徑，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)==3．故答案是：3．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．【答案】3．練習(xí)5：如圖，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)P是在弧AB上的一點(diǎn)，則∠CPD的度數(shù)是（）A．35° B．40° C．45° D．60°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠CAD=45°，又∵∠CPD=∠CAD，∴∠CPD=45°．故選C．【思路點(diǎn)撥】連AC，由四邊形ABCD為正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°．【答案】C．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．也考查了正方形的性質(zhì)．例6.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于D，若AC∶BC=4∶3，AB=10cm，則OD的長(zhǎng)為cm．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；三角形中位線定理；垂徑定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，又∵AC∶BC=4∶3，∴設(shè)AC=4x，則BC=3x，（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，則AC=8cm，BC=6cm．∵OD⊥BC于D，∴BD=CD，又∵OA=OB∴OD=AC=×8=4cm．故答案是：4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AB是直徑可以得到△ABC是直角三角形，依據(jù)勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理證得D是BC的中點(diǎn)，則OD是△ABC的中位線，依據(jù)三角形的中位線定理即可求解．【答案】4．練習(xí)6：如圖，⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠A=42°，∠APD=77°，則∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故選B．【思路點(diǎn)撥】由同弧所對(duì)的圓周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【答案】B．【設(shè)計(jì)意圖】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解答此題的關(guān)鍵．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。（2）在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

（3）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。重難點(diǎn)歸納1.在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

2.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。三、課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，若∠ACO=30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故選D．【思路點(diǎn)撥】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACO=30°，再由圓周角定理即可得出答案．【答案】D．2．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．﹣1 C． D．4【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故選A．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠COE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=OC=1，最后由垂徑定理得出結(jié)論．【答案】A．3．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．25° B．50° C．60°D．80°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵OA=OB，∠BAO=25°，∴∠B=25°．∵AC∥OB，∴∠B=∠CAB=25°，∴∠BOC=2∠CAB=50°．故選B．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)OA=OB，∠BAO=25°得出∠B=25°，再由平行線的性質(zhì)得出∠B=∠CAB=25°，根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【答案】B．4．已知：如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．45° D．70°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴，∴∠ADC=∠AOB=35°．故選B．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)垂徑定理得出，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【答案】B．5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．115° D．120°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故選B．【思路點(diǎn)撥】連接AC，根據(jù)圓周角定理，可分別求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度數(shù)．【答案】B．6．如圖，⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，CE．若AB=8，CD=2，則△BCE的面積為（）A．12 B．15 C．16 D．18【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，AB=8，∴AC=BC=AB=4．設(shè)OA=r，則OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE==6，∴△BCE的面積=BC?BE=×4×6=12．故選A．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，再設(shè)OA=r，則OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【答案】A．能力型師生共研7.如圖，⊙O中，弦AB，DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，如果∠AOD=120°，∠BDC=25°，那么∠P=（）度．A．15 B．25 C．35 D．45【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外角性質(zhì).【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵∠AOD=120°，∴∠DBA=60°，又∵∠BDC=25°，∴∠P=∠DBA﹣∠BDC=60°﹣25°=35°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)∠AOD=120°求出∠DBA的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和外角的關(guān)系，求出∠P的度數(shù)．【答案】C．8.如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則EC的長(zhǎng)為（）A．2 B．8 C． D．2【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；三角形中位線定理；垂徑定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，如圖，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，∵OC2+AC2=OA2，∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴OC=5﹣2=3，∴BE=2OC=6，∵AE為直徑，∴∠ABE=90°，在Rt△BCE中，CE=．故選D．【思路點(diǎn)撥】連結(jié)BE，設(shè)⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根據(jù)勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計(jì)算出CE．【答案】D．探究型多維突破9.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E，∠BAC=45°．給出以下五個(gè)結(jié)論：①∠EBC=°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì).【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接AD，AB是直徑，則AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BD=CD，故②正確；∵AD是∠BAC的平分線，由圓周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=°，故①正確；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正確；∵∠EBC=°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正確．∵AE=BE，BE是直角邊，BC是斜邊，肯定不等，故⑤錯(cuò)誤故選B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓周角定理，等邊對(duì)等角，等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角等知識(shí)，運(yùn)用排除法逐條分析判斷．【答案】B．10.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCO=∠D；（2）若CD=8，AE=3，求⊙O的半徑．【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）證明：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，又∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D.（2）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×8=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=r-3;在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2=OE2+CE2∴r2=(r-3)2+42解得：r=∴⊙O的半徑為：．【思路點(diǎn)撥】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；（2）由垂徑定理和勾股定理列方程，繼而求得半徑．【答案】（1）略（2）．自助餐1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACO=30°，則∠B的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：連接OA，如圖，∵OA=OC，∠ACO=30°，∴∠ACO=∠CAO=30°，∴∠AOC=120°，∴∠B=60°．故選C．【思路點(diǎn)撥】連接OA，要求∠B，可求與它同弧所對(duì)的圓心角∠AOC；而∠AOC是等腰三角形AOC的頂角，在已知底角的前提下可求出頂角．【答案】C．2．（2016?岳麓區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，線段AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（）A．20° B．30° C．35° D．70°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵弦CD⊥直徑AB，∴，∴∠BAD=∠BOC=×70°=35°．故選C．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)圓周角定理得∠BAD=∠BOC=35°．【答案】C．3．如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∵∠CBD=30°，∴∠D=60°，