考研數(shù)學(xué)三必背知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)_第1頁
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#常用運(yùn)算式：P-1ABP=(P-1AP)(P-1BP),PT(kA+IB)P=kPtAP+IPtBP若A和B相似or(A)=r(B)o|a|=IBotr(A)=tr(B)o|^E—a|=|XE—Bo九=XAB⑷若A和B相似oA-1和b-1相似oA和B相似于同一個(gè)對(duì)角陣A(5)若?=(a,Aa)T,卩=(b,Ab)T，則有tr(a卩T)=卩Ta=pTa=ab+ab+Aab1n1n1122nn4、矩陣對(duì)角化定義：n階矩陣A，若有P-1AP=A，則稱A可對(duì)角化n階矩陣A(特征值為九，九，A九且r(A)=r<n)可對(duì)角化的充要條件：12s若九，九，A九互不相等oA可對(duì)角化12s若九，九，A九中有k個(gè)九相等，且r(九E-A)=n-koA可對(duì)角化12s若九，九，A九中有k個(gè)九相等，且r(九E-A)>n-koA不可對(duì)角化12s5、正交矩陣A是正交矩陣oAAT=EoAT=A-1oAT，A-1也是正交矩陣A是正父矩陣n|a|=±1nA的各彳丁(列)是單位向量且兩兩正父A，B都是正交矩陣nAB是正交矩陣六、二次型1、基本概念二次型(三元二次型)：f=a11x12+a22x222+a33x323+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3標(biāo)準(zhǔn)二次型(三元二次型)：f=k1y12+k2y22+k3y322、矩陣合同定義：若AB矩陣有CTAC=B，則稱AB合同，記為A=B設(shè)AB均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則有相似n合同，相似n等價(jià)，反之不成立。若A=Bor(A)=r(B)且AB有相同的正慣性指數(shù)oA，B正負(fù)特征值個(gè)數(shù)相同3、正定二次型和正定矩陣(A為n階實(shí)對(duì)稱方陣)(1)定義：對(duì)陣矩陣A的二次型f=xTAx如果對(duì)于任何非零向量x都有xTAx>0則稱f=xTAx為正定二次型，稱矩陣A為正定矩陣。⑵A為正定矩陣o九>0，(i=1,2A)iA為正定矩陣oA-1,AT，A*為實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣oA的正慣性指數(shù)p=nA為mxn矩陣且r(A)=n<mnATA為正定矩陣A為正定矩陣且有非奇異矩陣C使得A=CTCoA=EA，B為n正定矩陣nA+B為正定矩陣，但AB，BA不能確定⑻A為正定矩陣nIaI>0且a>0(i=1,2An)ii(9)A為正定二次型oA各階順序主子

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