深圳大學高等數(shù)學A2補充題答案及自測題答案

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§7—1

1．在空間直角坐標系中，指出以下各點在哪個卦限？A(1?第IV卦限B(2,?3,2,3),第V卦限C(2?第VIII卦限D(zhuǎn)(?2,?3,1)第III卦限．,3?,4)2．證明：對角線相互平分的四邊形必是平行四邊形．證明：如下圖D?AM?MCBM?MD

?bM?aCAB?AD?AM?MD?MC?BM?BCAD與BC平行且相等，結(jié)論得證．

???????3．已知兩點M1(4,2,1)和M2(3,0,2),計算向量M1M2的模，方向余弦和方向角???????以及平行于向量M1M2的單位向量．解：M1M2??i?2j?k

M1M2?(4?3)2?(2?0)2?(1?2)2?2

方向余弦：cos???112，cos???，cos??．222方向角：??2?3??，??，??．343平行于向量M1M2的單位向量是?121i?j?k．2224．設(shè)m=3i+5j+8k,n=2i?4j-7k,p=5i+j?4k,求a=4m+3n?p在x軸上的投影及在y軸上的分向量．解：由于a?4m?3n?p

?4(3i?5j?8k)?3(2i?4j?7k)?(5i?j?4k)?13i?7j?15k

所以在x軸上的投影為ax?13．在y軸上的分向量為7j．

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§7—2

??????????????1．已知M1(1,?1,2)，M2(3,3,1)和M3(3,1,3)，求同時與M1M2，M2M3垂直的單位向量．

解：M1M2?2i?4j?k，M2M3??2j?2k，

??設(shè)所求向量為b?(a,b,c)，由于b?M1M2，所以2a?4b?c?0

?由于b?M2M3，所以?2b?2c?0，?222由于|b|?1，所以a?b?c?1

求得a??317，b??2173，c??217,?

??(?故所求單位向量為eb?17,?2172?方法二：所求向量b??M1M2?M2M2??24?1??(6,?4,?4)

0?2217?i)

?j?k??(6,?4,?4)??b322故eb????(?,?,?)

|b|36?16?161717172．設(shè)a=?3,5,-2?，b=?2,1,4?，問?與?有怎樣的關(guān)系能使?a+?b與z軸垂直．

解：?i??b??(3i?5j?2k)??(2i?j?4k)

?(3??2?)i?(5???)j?(?2??4?)k

由于與z軸垂直，所以?2??4??0???2?．

3．設(shè)m=2a+b，n=ka+b，其中a=1，b=2，且a?b．(1)k為何值時，m?n；

(2)k為何值時，m與n為鄰邊的平行四邊形面積為6？

??解：(方法一)設(shè)a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}，

由題意已知ax?ay?az?1，bx?by?bz?4，axbx?ayby?azbz?0

222222??m?{2ax?bx,2ay?by,2az?bz}，n?{kax?bx,kay?by,kaz?bz}

??(1)已知m?n，

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所以(2ax?bx)(kax?bx)?(2ay?by)(kay?by)?(2az?bz)(kaz?bz)?0

求得k??2．

??(2)根據(jù)題意，6?|m?n|，得k??1，或k?5．

?2?????????2(方法二)(1)?m?n，?m?n?0?(2a?b)?(ka?b)?0?2k|a|?|b|?0

2k?4?0?k??2.

??????(2)?S?6，?|m?n|?6?|(2a?b)?(ka?b)|?6?

?

????????|2(a?b)?k(a?b)|?6?|2?k|?|a?b|?6?|2?k|?|a|?|b|?6?|2?k|?3?k??1或k?5.

§7—3

1．一動點與兩定點(2,3,1)和(4,5,6)等距離，求這動點的軌跡方程．解：設(shè)動點坐標為(x,y,z)，根據(jù)題意，有

(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2

等式兩邊平方，然后化簡得4x?4y?10z?63?0．2．求以點O(1,3,?2)為球心，且通過坐標原點的球面方程．

解：設(shè)球面上點的坐標為(x,y,z)，根據(jù)已知條件，得

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?(0?1)2?(0?3)2?(0?2)2

整理得x2?y2?z2?2x?6y?4z?0．3．畫出以下方程所表示的曲面：(1)4x2?y2?z2?4；解：橢球拋物面(2)x2?y2?4z2?0；解：圓錐面

zx2y2(3)??．

349解：旋轉(zhuǎn)拋物面

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§7—4

1．畫出以下曲線在第一卦限內(nèi)的圖形：

?x?1(1)?；

?y?2解：

??z?4?x2?y2(2)?；

x?y?0??解：

?x2?y2?a2(3)?2．22?x?z?a

解：

?x2y2?1??2．方程組?4在平面解析幾何與空間解析幾何中各表示什么？9?y?3?x2y2?1與直線y?3(其實是過點(0,3)的一條切線)解：在平面解析幾何中，表示橢圓?49x2y2??1與其切平面y?3的交線(直線).的交點；空間解析幾何中，表示橢圓柱面

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3．求由上半球面z?a2?x2?y2，柱面x2?y2?ax?0及平面z?0所圍成的立體，在xOy面和xOz面上的投影．

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解：想象該立體的形狀，知向xoy面上的投影柱面的方程為x2?y2?ax，即為圓柱

面(x?a2a)?y2?()2，故該立體在xoy面上的投影為圓面：22a2a2?2?(x?)?y?()?22．

??z?0222??x?z?a消去y：z?a?x?y，在xoz面上的投影是?

??y?02222?x?ax?0?22柱面x?y?ax?0在xoz面上的投影是?

??y?0?x2?z2?a2,z?0,x?0故在xoz面上的投影是?.

?y?0

§7—5

1．求通過點(3,0,?1)且與平面3x?7y?5z?12?0平行的平面方程．解：設(shè)所求平面方程為3x?7y?5z?D?0，由于過點(3,0,?1)，所以

3*3?7*0?5*(?1)?D?0，得D??4，

故所求平面方程為3x?7y?5z?4?0

2．求過點M0(2,9,?6)且與連接坐標原點及點M0的線段OM0垂直的平面方程．解：由條件OM0?{2,9,?6}與平面垂直，

所以n?{2,9,?6}，所求平面方程為2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?