高數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題及答案

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)題PAGE1一、是非題：函數(shù)在上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使．錯誤∵不滿足羅爾定理的條件。２．若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)處處可微，且，則函數(shù)必在處取得極值．錯誤∵駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如：，是其駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)。３．若函數(shù)在處取得極值，則曲線在點(diǎn)處必有平行于軸的切線．錯誤∵曲線在點(diǎn)有平行于軸的切線，但不是極值點(diǎn)。４．函數(shù)在內(nèi)無極值．正確∵，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增，無極值。５．若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則曲線在內(nèi)單調(diào)減少且是向上凹．正確二、填空：設(shè)（為常數(shù)）在處有極值，則（），（）．∵，當(dāng)時(shí)，，，解之得２．函數(shù)的極值點(diǎn)是（）．∵，令，得。又，；，，∴函數(shù)在取得極小值。３．曲線的拐點(diǎn)是（）．∵，，令，得。又，；，，∴函數(shù)的拐點(diǎn)是。４．曲線的凸區(qū)間是（）．∵，，使無意義的點(diǎn)為。當(dāng)時(shí)，，∴曲線的凸區(qū)間是。５．若，則（1），（1）．∵，即又當(dāng)時(shí)，～，∴。三、選擇填空：１．下列函數(shù)中，在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（c．）a．b．c．d．∵在端點(diǎn)的值不相等；在區(qū)間上不連續(xù)；對在不可導(dǎo)；在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件?！郼是正確的。２．羅爾定理的條件是其結(jié)論的（a．）a．充分條件b．必要條件c．充要條件３．函數(shù)在區(qū)間上（a．）a．滿足拉格朗日定理?xiàng)l件b．不滿足拉格朗日定理?xiàng)l件∵，，∴函數(shù)在連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)。４．解５．解原式６．解７．解８．解９．解10．求函數(shù)的極值．解定義域?yàn)镽對函數(shù)兩邊取自然對數(shù)得（不妨設(shè)）所以令，得；，為不可導(dǎo)點(diǎn)列表＋不存在＋0－不存在＋拐點(diǎn)極大值極小值所以極大值為，極小值為．11．若直角三角形的一直角邊與斜線之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形．解設(shè)兩直角邊分別為、，則面積（）設(shè)常數(shù)為．由，得．所以（），令，得，所以駐點(diǎn)唯一，故當(dāng)兩直角邊分別為，時(shí)直角三角形的面積最大．12．求乘積為常數(shù)，且其和為最小的兩個正數(shù)．解設(shè)其中一正數(shù)為、則另一正數(shù)為；設(shè)這兩個正數(shù)之和為．（），令，得駐點(diǎn)唯一，故當(dāng)兩個正數(shù)均為時(shí)其和為最?。?3．設(shè)圓柱形有蓋茶缸V為常數(shù)，求表面積為最