全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題

八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形總結(jié)與復(fù)習(xí)練習(xí)題【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：

全等三角形復(fù)習(xí)與小結(jié)

二.教學(xué)目標(biāo):

1.回顧思考本章內(nèi)容，會(huì)靈活運(yùn)用本章知識(shí)進(jìn)行計(jì)算和證明。

２.進(jìn)一步鞏固三角形全等的性質(zhì)及判定三角形全等的方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

3．進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)幾何問題的解法,拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力。

三．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn):全等三角形的概念和性質(zhì),三角形全等的判定方法和直角三角形的性質(zhì)和判定。

難點(diǎn):三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,靈活選用判定三角形全等的方法解決問題,并能用基本尺規(guī)作圖進(jìn)行綜合作圖。

四．本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖：

五.本章知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)：

1.旋轉(zhuǎn)的定義：

將一個(gè)平面圖形F上的每一個(gè)點(diǎn),繞這個(gè)平面內(nèi)一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角α,得到圖形F'，圖形的這種變換叫旋轉(zhuǎn)。

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

性質(zhì)１：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

性質(zhì)2:對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等,且等于旋轉(zhuǎn)角。

性質(zhì)3：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。

3.全等三角形及其性質(zhì):

(１）全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形。

（2)全等三角形:能夠完全重合的三角形叫做全等三角形。

(３）全等三角形的表示方法:比如△ＢCD≌△AEF

(４)全等三角形的性質(zhì):

①全等三角形的對應(yīng)邊相等；

②全等三角形的對應(yīng)角相等;

③全等三角形周長、面積相等。

４.三角形全等的判定定理

(1）一般三角形：SAＳ，ASA,AＡＳ，ＳＳS。

（2）直角三角形：HL,ＳAＳ,ＡSA，AAＳ,ＳSS。

5.直角三角形：

(1)直角三角形的性質(zhì):

①直角三角形中兩銳角互余。

②如果一個(gè)銳角等于３０°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半。

④在直角三角形中,有一個(gè)角為９0°。

⑤在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的角等于3０°⑥在直角三角形中,兩直角邊a、b的平方和等于斜邊ｃ的平方，即ａ２＋ｂ2=c２。

（2）直角三角形的判定：

①有一個(gè)角為90°的三角形為直角三角形。

②有兩個(gè)角互余的三角形為直角三角形。

③如果三角形的三邊長a、ｂ、ｃ,有下面關(guān)系：

a２+ｂ２＝c２,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

6.作三角形

(１）已知三邊作三角形。

(2)已知兩邊及其夾角作三角形

（3)已知兩角及其夾邊作三角形

六、規(guī)律與方法

1.三角形的邊角關(guān)系:

（1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊。

(２）三角形內(nèi)角和等于1８0°。

（3）三角形的任一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

2．三角形的分類:

３.證明線段相等的方法：

(1)可證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。

(2）角平分線性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

（3）等角對等邊。

（４）等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

(５）垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

（６)等式的性質(zhì)。

（7）中點(diǎn)的定義。

４.證明角相等的方法：

(1）同角(等角）的余角相等。

（2)同角（等角)的補(bǔ)角相等。

（３)平行線的性質(zhì):

①兩直線平行,同位角相等。

②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

(4)全等三角形的對應(yīng)角相等。

(5)等邊對等角。

（６）角平分線的定義。

(7)等式的性質(zhì)。

（8)對頂角相等。

5.證明垂直的方法

（1）證鄰補(bǔ)角相等。

（2）證和已知直角三角形全等。

(3)勾股定理的逆定理。

６.常見輔助線的作法:

(１）在△AＢC中，如AD是中線,常采用的作法是：

①延長ＡＤ到E，使DE＝AＤ，連結(jié)ＢE（或過B作ＢE∥AC,交AＤ的延長線于E）,如圖甲。

②?。粒玫闹悬c(diǎn)E，連結(jié)DE(或過D作ＤE∥BA，交AＣ于E),如圖乙。

③延長ＢA至E，使AＥ＝AB,連結(jié)CＥ(或過Ｃ作CＥ∥AＤ交BＡ的延長線于Ｅ）,如圖丙。

（2)在△ABＣ中,若AD是∠BAC的平分線，常采用的作法是：

①延長BA至E,使AE=AＣ，連結(jié)CE（或過C作CE∥ＡD,交BA的延長線于Ｅ），如圖甲。

②在較長邊AB上截取AE=ＡC，連結(jié)DE，如圖乙。

③過Ｃ作CＥ∥AＢ，交AＤ的延長線于E，如圖丙。

④過D作DE∥AB，交AC于E,如圖丁。

（3)在△ABC中，若D是AB的中點(diǎn),常采用的作法是：

①過D作DE∥BＣ,交AＣ于E。

②?。罜的中點(diǎn)E,連結(jié)DE。

③連結(jié)ＣD,用中線的性質(zhì)。

④若已知△ABC為特殊三角形，可利用特殊三角形的性質(zhì)：如為等腰三角形，考慮頂點(diǎn)平分線；若為直角三角形，考慮斜邊中線；若為有一個(gè)角是30°的直角三角形,考慮斜邊中線及30°角所對邊之間的關(guān)系，?？勺鞒鲋芯€。

七、數(shù)學(xué)思想方法

1.通過學(xué)習(xí)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用分析、綜合、歸納、概括及類比的方法,逐步發(fā)展有條理的思考和表達(dá)能力。

2．轉(zhuǎn)化的思想：將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化,分解，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題解決。

3.圖形處理方法:

(1)分解圖形法：

復(fù)雜圖形都是由較簡單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。

(２）構(gòu)造圖形的方法:

當(dāng)直接說明問題有困難時(shí)，常添加輔助線，構(gòu)造圖形達(dá)到解題目的。

八、掌握以下８類問題及其解法,并領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想：

１．能夠利用三角形全等的判定及其性質(zhì),證明線段或角相等,領(lǐng)會(huì)全等形的思想。

2.能夠利用等腰三角形和直角三角形的特殊性質(zhì)解題，領(lǐng)會(huì)一般與特殊的關(guān)系。

3.能夠理解旋轉(zhuǎn),角平分線的概念及其性質(zhì)，領(lǐng)會(huì)對稱思想。

4.能夠理解逆命題與逆定理的概念，領(lǐng)會(huì)對立統(tǒng)一的思想。

5.通過幾何問題一題多解的研究和推理論證分析綜合的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想和辨證唯物主義觀點(diǎn)。

6.通過對實(shí)際問題的研究體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際的思想。

７.通過用代數(shù)方法解決幾何問題又體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方程的思想。

8.能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖,將作圖問題轉(zhuǎn)化為基本作圖，領(lǐng)會(huì)化歸思想。

【典型例題】（一）構(gòu)造全等三角形法:

例1．已知:如圖,AB∥CD,AD∥BC,證明:AＢ＝ＤC,AD＝BC

分析:需得到ＡB=ＤC，AＤ=BＣ，需構(gòu)造三角形，因此可添加輔助線:連結(jié)AＣ。

證明:連結(jié)AC

∵AB∥CＤ

∴∠1＝∠2

又∵ＡD∥BC

∴∠3=∠4

在△ＡDＣ和△CBA中

∴△ADC≌△ＣＢＡ(ASＡ)

∴ＡB＝ＤC，AD=BC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)

例２.如圖，△AＢC中,∠A＝９0°,AB＝AC,BD平分∠ABC交ＡC于Ｄ,CＥ⊥BＤ的延長線于E,求證：BD＝2CE。

分析:和ＣE⊥BＤ”，想到延長CE、ＢA相交于F，因此先證明ＣＦ＝2CE,再證明BD=CＦ。由此知需要證明△ABD≌△ACF。

證明:延長CＥ、BＡ相交于F

在△FBE和△ＣBE中

∴△BEF≌△BEC

∴CF＝2CE

在Rｔ△BEF中，∠2＝９0°-∠F

同理∠1＝90°－∠F

∴∠1＝∠2

在△ABD和△AＣＦ中

∴△AＢD≌△ACF

∴BD＝CＦ

∴ＢＤ=２CE

小結(jié):①在題目中如果含有角平分線且含有和這條角平分線垂直的條件時(shí),要想到翻折圖形,此題所作的輔助線,實(shí)質(zhì)上是將Ｒt△ＢCE以BE所在的直線為軸翻折過去得Rｔ△BＦE。

②此題圖中，可以把BE、ＣＡ看成是△FBC的兩條高,注意“∠1＝∠2”

（二）巧用勾股定理

例3.已知：如圖,△ABC中，ＡB＝ＡC，D為BC上任一點(diǎn)，求證:ＡＢ2－AＤ2＝BＤ·DC（ＡB＞AD)

分析:此題的求證中出現(xiàn)了AB２和AD2,由此可聯(lián)想到把它們放到兩個(gè)直角三角形中，利用勾股定理可得有ＡB2和ＡD2的式子,因此想到作輔助線AE⊥BC于Ｅ。

證明：過Ａ作ＡＥ⊥BC于E

∵AB＝AC，ＡE⊥ＢC

∴BE=CＥ，∠ＡEB=∠AEＣ=90°

在Rｔ△AＥＢ和Rｔ△AED中,由勾股定理得:

例4.如圖，已知四邊形ABＣＤ為正方形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD邊上,且ＡF

求證：EF⊥CＥ

分析:此題中的已知條件告訴了我們邊之間的關(guān)系，若設(shè)AF＝a,則可得正方形邊長為4ａ,AE=BE=２ａ，DF＝３a,由直角三角形和這些邊的關(guān)系，我們很容易想到勾股定理和其逆定理來證明兩條直線互相垂直。

證明：連結(jié)FC，設(shè)ＡＦ＝ａ,則正方形邊長為4ａ,

AE＝ＢE＝２ａ，DＦ＝3a

由勾股定理得：

在Rt△AEF中，

在Rt△BCE中，

在Rｔ△CDF中，

由勾股定理的逆定理知△EFC為直角三角形

且CＦ為斜邊

∴ＥF⊥EＣ

（三)截長補(bǔ)短法:

例5.如圖甲,△AＢC中,∠C＝2∠B,∠1=∠2，求證:AB=AC+CD

分析：此題是證兩條線段的和等于第三邊,這類型的題我們通常采用截長補(bǔ)短法,①截長法即為在這三條最長的線段截取一段使它等于較短線段中的一條，然后證明剩下的一段等于另一條較短的線段。②補(bǔ)短法即為在較短的一條線段上延長一段，使它們等于最長的線段，然后證明延長的這一線段等于另一條較短的線段。

證明一:截長法：

如圖乙，在ＡB上截取AE＝AC，連結(jié)DE

在△ADE和△AＤC中

∴△ADE≌△ＡDC（SAS)

∴DE=ＤＣ，∠AＥD＝∠C

∵∠Ｃ=∠ＡＥD＝∠Ｂ+∠BDE＝2∠B

∴∠EBD=∠EDB

∴BＥ=DE

∴BＥ＝DC

∴AB＝AＥ+EB＝AC+DC

即AB=AC+DC

證明二：補(bǔ)短法

如圖丙，延長AC至E，使AＥ=AB,連結(jié)DE

在△ABD和△ＡED中

∴△AＢＤ≌△ＡED

∴∠B=∠E

∵∠ACB＝2∠B=∠E＋∠EDＣ

＝∠B+∠ＥDC

∴∠Ｅ=∠EDC

∴CD=CE

∴AB=ＡE=AC＋CE=AC+CD

即AB=AC＋CD

【模擬試題】(答題時(shí)間：50分鐘）（一)填空題:

1.已知一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角是120°,腰長是a，則它腰上的高是________＿＿＿。

2.一直角三角形的兩邊長是12,5,則第三邊長是__＿_(dá)_______。

3．AＢ是Ｒt△AＢC的斜邊,中線AD=7,中線ＢE=4,則AB＝_______＿_(dá)__。

4.已知△ABC≌△DEF,且△DEF的周長為13，若AB=4，BＣ=6，則DF的長是___________。

5．如圖１，已知△ABC是直角三角形,∠C＝90°，∠A＝60°，AＢ＝8cｍ，ＣD是AＢ邊上的高,則AＤ＝＿_(dá)__＿＿_(dá)____，ＢＤ＝_________＿_(dá)。圖1

6．如圖２,已知AＢ＝AＣ＝10cm,ＡB∥CＤ，CD⊥ＡD，若∠B＝75°，則∠DAC=________＿_(dá)_,ＡD＝__＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)＿＿cm。圖2

7.等邊三角形繞它的三條高線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1２0°,24０°,…，都能與自己重合，它的旋轉(zhuǎn)中心是____＿_(dá)____＿,對應(yīng)線段是＿_(dá)__＿_(dá)_＿_(dá)__。

8．若圖形甲按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到圖形乙,那么圖形乙按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)＿_(dá)__＿＿_(dá)＿_(dá)__就得到圖形甲。

9．正五角星繞著它的中心至少旋轉(zhuǎn)_＿_(dá)_＿_(dá)_____可以與原圖重合。

10.已知線段ａ，求作等邊三角形，使其邊長為a，其作法是

（1)作線段AB＝__________＿。

（２)分別以Ａ、Ｂ為圓心,以___＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)_為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C。

(３)連結(jié)＿_(dá)__＿_(dá)____＿和___＿_(dá)____＿_(dá)。

則△ＡBC為所求的等邊三角形。

(二）選擇題：

1.下列作圖語言，敘述正確的是(

）

A．以A、B為端點(diǎn)，作直線AB

B.以B為端點(diǎn)，作射線ＡB

C．作線段AB，使ＡB＝a

D.連結(jié)ＡＢ，使AB⊥a

2.已知直角三角形的一直角邊為２，一銳角為６0°，則這個(gè)直角三角形的周長為(

)

Ａ.

B.

C.

D.

3.如圖3，AＢ⊥CD,△AＢD和△ＢCＥ都是等腰直角三角形,若CD=８，ＢE＝３，則AＣ為(

）圖3

A.８

B.5

C.3

D.

4．下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（

)

A.摩托車在急剎車時(shí)向前滑動(dòng)

Ｂ.空中飛舞的雪花

C.擰開自來水龍頭的過程

D.飛機(jī)起飛沖向空中的過程

５.某三角形三邊長分別是整數(shù)，周長是1１,一邊長是4,則這個(gè)三角形可能的最大邊長是（

)

Ａ.７

B.6

C.５

D.4

6.有六根細(xì)木棒,它們的長度分別是2，4,６,8，10，12(單位：ｃm）,從中取出三根首尾順次連結(jié)搭成一個(gè)直角三角形，則這三根細(xì)木棒的比度分別為（

)

A.2，4，8

B.4,8，1０

C.6，8,1０

D．8，10，12

７.下列條件中，能判定△ABC≌△A'B＇C＇的是（

）

①∠Ａ=∠A',∠Ｂ＝∠B＇，∠Ｃ＝∠C'

②AB＝A'B',∠Ａ＝∠Ａ＇,∠C＝∠C'

③AB＝Ａ'B＇,AC＝Ａ'Ｃ'，BC=B＇Ｃ'

④BC＝B＇C'，ＡC=A'C＇，∠Ｃ=∠Ａ'

A.只有③

Ｂ．只有②③

Ｃ.只有②③④

D.只有①③

8．如圖5,將△BAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至△DAE位置，若∠BＡC＝12０°，則△ABD是__＿_(dá)_＿_(dá)________三角形。圖5

A．等邊三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

Ｄ.等腰直角三角形

9．如圖６，AＤ⊥AB，AE⊥ＡC，ＡＤ=AB，AE＝AC，則下列各式中正確的是（

)圖6

A.△ABＤ≌△ＡCE

B.△ADF≌△AEG

Ｃ.△ＢMＦ≌△CMG

Ｄ.△ADC≌△ABE

(三）已知：在△ABC中，ＡD是BC邊上的高，AＢ=AＣ,∠BＡＣ=120°，DＥ⊥AB于E，ＤＦ⊥ＡC于F。

求證：。(四）如圖7，在△AＢC中,∠BＡC=90°，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),將△ADＢ繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△AD'C，△AD'C與△ADＢ能完全重合,求∠ＤAＤ'的度數(shù)。圖7(五)已知:如圖８△ＡBC是邊長為1的等邊三角形,△BDC是頂角∠BDＣ＝120°的等腰三角形,點(diǎn)M、N分別在ＡB、AＣ上,且∠MDN=6０°

求證:△AＭN的周長l＝２圖8

【試題答案】（一)

１.

2.

3．

4.3

5.2,6

６.６0°,5

7.三條高線交點(diǎn)，三邊

8.33０°

9.72°

10．a(chǎn)，a，ＡC，ＢＣ

(二)

1.C

2.D

３.D

4.C

５.C

解析:設(shè)最大邊長為x，則另一邊長為7－x,根據(jù)三角形三邊關(guān)系得:４+７－ｘ>ｘ，解得,因?yàn)椋钦麛?shù)，所以x＝5。

6．C

7．B

８.A

9．