數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)方法

教育資料教育資料二、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 方法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 是由著名運籌學(xué)家 和于197年8提出的，它以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線性規(guī)劃為工具，計算比較具有相同類型的決策單元 ， 之間的相對效率，依此對評價對象做出評價［1］。方法一出現(xiàn)，就以其獨特的優(yōu)勢而受到眾多學(xué)者的青睞，現(xiàn)已被應(yīng)用于各個領(lǐng)域的績效評價中。在介紹方法的原理之前，先介紹幾個基本概念:1.決策單元一個經(jīng)濟系統(tǒng)或一個生產(chǎn)過程都可以看成是一個單位(或一個部門)在一定可能范圍內(nèi)，通過投入一定數(shù)量的生產(chǎn)要素并產(chǎn)出一定數(shù)量的“產(chǎn)品”的活動。雖然這種活動的具體內(nèi)容各不相同，但其目的都是盡可能地使這一活動取得最大的“效益”。由于從“投入”到“產(chǎn)出”需要經(jīng)過一系列決策才能實現(xiàn)，或者說，由于“產(chǎn)出”是決策的結(jié)果，所以這樣的單位或部門被稱為決策單元M因此，可以認(rèn)為，每個第個常記作 都表現(xiàn)出一定的經(jīng)濟意義，它的基本特點是具有一定的投入和產(chǎn)出，并且將投入轉(zhuǎn)化成產(chǎn)出的過程中，努力實現(xiàn)自身的決策目標(biāo)。在許多情況下，我們對多個同類型的 更感興趣。所謂同類型的 M是指具有以下三個特征的集合：具有相同的目標(biāo)和任務(wù)；具有相同的外部環(huán)境；具有相同的投入和產(chǎn)出指標(biāo)。生2產(chǎn).可能集設(shè)某個 在一項經(jīng)濟生產(chǎn)活動中有項投入，寫成向量形式為X=(X,,X)7；產(chǎn)出有項，寫成1m向量形式為y=(y,,y)。于是我們可以用(x,y)來表示這個 的整個生產(chǎn)活動。1s定義 稱集合T={(x,y)I產(chǎn)出丁能用投入X生產(chǎn)出來為所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的生產(chǎn)可能集。在使用 方法時，一般假設(shè)生產(chǎn)可能集滿足下面四條公理公理平凡公理(x,y)eT,j=1,2,,n。jj公理凸性公理集合為凸集。如果'(x,y)eT,j=1,2,,n且存在0滿足Z〃入=1jj j j=1jTOC\o"1-5"\h\z則(Zn入X,Zn入y)eT。 …j=1jj j=1jj公理無效性公理：若(X,y)eT,X>x,y<y則(X,y)eT。 ，公理錐性公理集合 為錐。如果(x,y)eT那么(kx,ky)eT對任意的k〉0。若生產(chǎn)可能集T是所有滿足公理 和的最小者，則有如下的唯一表示形式T=](x,y)IZX九<x,Zy九>y,九>0,j=1,2, ,njj jj jj=1 j=1技術(shù)有效與規(guī)模收益

技術(shù)有效：對于任意的(X,y)eT，若不存在y>y，且(x,y)eT，則稱(x,y)eT為技術(shù)有效的生產(chǎn)活動。規(guī)模收益：將產(chǎn)出和投入的同期相對變化比值k=d//稱為規(guī)模效益。若k>1,說明規(guī)模收益yx遞增，這時可以考慮增大投入；若k<1,說明規(guī)模收益遞減，這時可以考慮減小投入；若k=1,說明規(guī)模收益不變，且稱為規(guī)模有效。(一) 方法原理與 模型方法的基本原理是：設(shè)有個決策單元DMU(j=1,2,,n),它們的投入，產(chǎn)出向量分別為：j???X=(x,x,,x)t>0,,Y=(y,y,,y)t>0,j=1,,n。由于在生產(chǎn)過程中各種投入和產(chǎn)出的地位j 1j2j mj j 1j2jsj與作用各不相同，因此，要對 進(jìn)行評價，必須對它的投入和產(chǎn)出進(jìn)行“綜合”，即把它們看作只有一個投入總體和一個產(chǎn)出總體的生產(chǎn)過程,這樣就需要賦予每個投入和產(chǎn)出恰當(dāng)?shù)臋?quán)重。假設(shè)投入、產(chǎn)出的權(quán)向量分別為V=(V#,")T和u=(u,u,,u)T，從而就可以獲得如下的定義。12m 12s…V…

乙uyuTY定義 稱0=B=%—,(j=1,2,n)為第j個決策單元DMU的效率評價指數(shù)。jVTX m jjV^vxiij …i=1根據(jù)定義可知，我們總可以選取適當(dāng)?shù)臋?quán)向量使得0<1。如果想了解某個決策單元，假設(shè)為jDMU(。e{1,2,,n})在這個決策單元中相對是不是“最優(yōu)”的，可以考察當(dāng)u和v盡可能地變化時，0的oo最大值究竟為多少為了測得0的值， 等人于 年提出了如下的 三位作者名字首字母縮o寫模型：MaximizesubjecttoZuyr=1'rMaximizesubjecttoZuyr=1'r=0Zovxiioi=1Zsuyrrj胃一<1,j=1,2,Zvxiiji=1u>0,v>0,Vr,i.ri,n,利用 和 提出的分式規(guī)劃的變換pt=e1/rZmvxi=1iio日=tu日=tu,(r=1,

rr,s)o=tv,(i=1,,m)變換后我們可以得到如下的線性規(guī)劃模型:iiMaximizeZ日yMaximizeZ日y=0,

rroo

r=1subjecttoZ①x=1,iioi=1trrjr=1 i=1口，①>0,rir=1,,s;i=1, ,m.根據(jù)線性規(guī)劃的相關(guān)基本理論，可知模型(2的)對偶問題表達(dá)形式：Minimize0osubjectto￡x九<0x,i=1,2,,m,ijjoioj=1ZyX>y,r=1,2,..,s,rjjroj=1X>0,j=1,2,,n.j …(3)???上述的模型是基于所有決策單元中“最優(yōu)”的決策單元作為參照對象，從而求得的相對效率都是小于等于的。模型或者 將被求解次，每次即得一個決策單元的相對效率。模型 的經(jīng)濟含義是：為了評價DMU(oe{1,2,,n})的績效，可以用一組假想的組合決策單元與其進(jìn)行比較。模型 的第一和第o二個約束條件的右端項分別是這個組合決策單元的投入和產(chǎn)出。從而，模型(3意)味著，如果所求出的效???率最優(yōu)值小于1，則表明可以找到這樣一個假想的決策單元，它可以用少于被評價決策單元的投入來獲取不少于該單元的產(chǎn)出，即表明被評價的決策單元為非有效。而當(dāng)效率值為時，決策單元為有效。有關(guān)有效根據(jù)松弛變量是否都為零還可以進(jìn)一步分為弱有效與有效兩類。即通過考察如下模型中的s-(i=1,m)與s+(r=1,,s)的值來判別。irZ Z…、Minimize0-￡("s-+"s+)o iri=1r=1ZnsubjecttoxX+s-=0x,i=1,,mijjioioj=1 (4Zdy.九.-s+=y,r=1,,srjjrroj=1九.,s-,s+>0,Vi,j,r. …jir其中e為非阿基米德無窮小量。根據(jù)上述模型給出被評價決策單元DMU(oe{1,2,,n})有效性的定義：o定義若模型 的最優(yōu)解滿足0*=1,則稱DMU為弱 有效。o ???o定義若模型 的最優(yōu)解滿足0*=1，且有s-=0，s+=0成立，則稱DMU為有效。o ir o定義若模型 的最優(yōu)解滿足e*<1,則稱DMU為非有效。oo對于非有效的決策單元，有三種方式可以將決策單元改進(jìn)為有效決策單元：保持產(chǎn)出不變，減少投入；保持投入不變增大產(chǎn)出；減小投入的同時也增大產(chǎn)出。 模型容許在減小投入的同時也增加產(chǎn)出。對于模型，可以通過如下投影的方式將其投向效率前沿面，從而投影所得的點投入產(chǎn)出組合即為有效。X=e*x一s—*=x一(1-e*)x-s—*<x,i-1,,miooioi io oioiioy-y+s+*>y,r-1,,s.rororro上述投影所得值與原始投入產(chǎn)出值之間的差異即為被評價決策單元欲達(dá)到有效應(yīng)改善的數(shù)值，設(shè)投入的變化量為口x，產(chǎn)出的變化量為ny：□io UJronx=x-x=x-(0*x-5-*),i=1,,m口ioioioiooioi …H0+s：*)-匕0，”I，...，-(二)模型模型是假設(shè)生產(chǎn)過程屬于屬于固定規(guī)模收益，即當(dāng)投入量以等比例增加時，產(chǎn)出量應(yīng)以等比增加。然而實際的生產(chǎn)過程亦可能屬于規(guī)模報酬遞增或者規(guī)模報酬遞減的狀態(tài)。為了分析決策單元的規(guī)模報酬變化情況，與 以生產(chǎn)可能集的四個公理以及 距離函數(shù)為基礎(chǔ)在 年提出了一個可變規(guī)模收益的模型，后來被稱為 的模型。線性形式的 模型可表示為:MaximizeZ日y-u,

rroo

r-1subjecttoZ①x-1,

iioi-1ZNy-Z①xrrj iij一u<0,j-1, ,n,or-1i-1日,①>0,r-1,,s;i—1, ,m.ri含松弛變量形式的 對偶模型Maximizee-(Zs-+Zs+)

o iri-1r-1subjecttoZnx^x九+s--ex,i=1,,mijjioioj-1ZyA.-s+-y,r=1,…，srjjrroj-1Z入—1jj-1九.,s-,s+>0,Vi,j,rjir其中E為非阿基米德無窮小量。根據(jù)模型中的U的取值大小， 和 提出如下判o別方法來判斷模型(5的判規(guī)模收益。定理 假設(shè)含有投入產(chǎn)出組合(x,y)的DMU是有效的，那么下面的條件可以判別模型 之下TOC\o"1-5"\h\zoo oDMU的規(guī)模收益：o對于投入產(chǎn)出組合(x,y)規(guī)模收益不變當(dāng)且僅當(dāng)在某個最優(yōu)解情況下有u*=0;oo o對于投入產(chǎn)出組合(x,y)規(guī)模收益遞增當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有u*<0;oo o對于投入產(chǎn)出組合(x,y)規(guī)模收益遞減當(dāng)且僅當(dāng)在所有最優(yōu)解情況下都有u*>0。oo o其中u*代表模型 中的最優(yōu)解。該定理的證明參見文獻(xiàn) 。o模型或者 模型計算出來的效率可能存在多個效率值為的情形，為了進(jìn)一步區(qū)分這些有效決策單元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及雙前沿數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型。下面依次做個簡單介紹。(三)超效率模型模型在計算效率值時，經(jīng)常會出現(xiàn)多個有效的決策單元效率值為的情形，從而使得有效決策單元之間無法進(jìn)行比較分析。 和 為了實現(xiàn)決策單元的完全排序，將被評價的決策單元從效率邊界中剔除，以剩余的決策單元為基礎(chǔ)，形成新的效率邊界，計算剔除的決策單元到新的效率邊界的距離。由于剔除的決策單元不被效率邊界所包圍，對于有效的決策單元而言，其計算出來的新效率值就會大于1，而對于無效的決策單元而言，其所得的效率值不變，仍小于1，從而使得全體決策單元可以實現(xiàn)完全排序。由于有效的決策單元效率大于，從而就有了超效率 的概念?；?模型的超效率 模型為：Minimize9subjecttoXx九<9x,i=1,2,,m,ijj io六ijjoXy\>y,r=1,2，…,s,rjjro六1jjo九>0,jjo. ...j和 證實了超效率極易受離群值的影響，因此該方法可以用來檢測數(shù)據(jù)集中是否存在離群值。(四)交叉效率模型為了解決有效決策單元的排序和比較問題， 等人 提出了交叉效率評價的概念。所謂交叉效率評價就是每個分別確定一組輸入輸出權(quán)重，供所有的 評價使用，其中：用自身確定的權(quán)重評價自己的效率，稱為自我評價效率；用其它確定的權(quán)重評價自己的效率，稱為交叉效率或同行評價效率。以表一為例，交叉效率評價的實質(zhì)是對每個同時進(jìn)行自評和同行評價，這樣不僅考慮自評的最好相對效率，而且還考慮了同行評價給出的交叉效率，利用自我評價和交叉效率

的平均值作為衡量 績效的綜合指標(biāo)，該指標(biāo)不僅較好地解決了間排序和比較問題，而且解決了模型由于輸入輸出權(quán)重不一致性導(dǎo)致的不可比較問題。的平均值作為衡量 績效的綜合指標(biāo)，該指標(biāo)不僅較好地解決了等人 通過引入二級目標(biāo)來確定輸入輸出權(quán)重、消除權(quán)重的不唯一性。隨后和Green（19[1,0[]1從同9行9評5價）的角度解釋了交叉效率的含義，并給出了后來的到廣泛引用的二級目標(biāo)函數(shù)-攻擊型計算方式和仁慈型計算方式，下面兩個模型依次為攻擊型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型：表5—1 交叉效率示意表決策單元 交叉效率 算術(shù)平均值1911912… 91n1Xn9n j=1=1,,m=1,,m.299… 91Xn921222nn j=12jn99… 91Xn9n1n2nnnj=1nj攻擊型交叉效率模型：Xu'Xy、rkrj7r=1”,j豐kXmvfXxx、=1,ikij7i=1[j=1,j-kMinimizeSubjecttoX〃yrkrk-9*l^vx=0,kkiikr=1i=1X〃yrkrjr=1u>0,rkX〃yrkrjr=1u>0,rkv>0,iki=1r=1,,s,i=1,,m.仁慈型交叉效率模型MaximizeSubjecttoXsurkr=1XmMaximizeSubjecttoXsurkr=1Xmviki=1j=1,評kXn、j=1,j-kXsuyrkrkyrj7=1,-9*Xmvx=0,

kkiikrr=1Xsuyrkrjr=1u>0,rkv>0,iki=1-Xmvx<0,j=1,

ikiji=1r=1,,s,

然而，至今仍無一個準(zhǔn)則來判別什么情況下使用攻擊型或者是仁慈型。為了避免目標(biāo)函數(shù)選擇上的兩難，和 提出了一種中性交叉效率模型。其模型形式如下所示:Maximize8=Minimize<rorore{1,Maximize8=Minimize<rorore{1,,s}mvxsubjecttooo笈uy\r=1-ro■_■Xmvxi=1 ioio9joi=9joi=1suyj=1,,s,roj=1,,s,vxi=1ioiju>0,r=1,rov>0,i=1,,m.io利用 的變換公式，可得中性交叉效率模型的線性模型Maximize8subjecttoXsubjecttoXmvx =1,ioioi=1r=1Xsu yrorjr=1r=1Xsu yrorjr=1uyroro_￡vx<0,j=1,,n；j豐o,

ioiji=1v>0,i=1,,m.io8>0.交叉效率模型還有其他一些改進(jìn)方式，例如： 等人 口年提出了個可供選擇的二級目標(biāo)計算方式； 等人 將非合作博弈理論與交叉效率評價方法結(jié)合起來，提出了博弈交叉效率的概念，并設(shè)計了算法求解博弈交叉效率值，同時證明了該博弈交叉效率值即為納什均衡點； 和提出了一些可選擇性交叉效率評價模型；和在交叉效率的研究中率先引入有序加權(quán)平均算子，很好的體現(xiàn)了決策者的各種偏好，尤其是對不合理的交叉效率評價值賦予較小的權(quán)重，從而使得最終的評價結(jié)果更為科學(xué)合理。有興趣的讀者可以進(jìn)一步參閱其他有關(guān)交叉效率的相關(guān)論文。（五）幾何平均效率模型為了區(qū)分有效決策單元的排序難問題，等人于提出了悲觀效率模型，并將其與樂觀效率模型相結(jié)合，提出了基于幾何平均值的雙前面數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法?；诒^前沿面的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型為：

Minimizesubjectto。二Z日y,rror=1￡v.i,iioMinimizesubjectto。二Z日y,rror=1￡v.i,iioi=1￡”一￡vxrrj iijr=1 i=1>0,j=1,2,日,v>0,r=1,2,,s;i=1,2,ri,n,,m,其中口和y是非負(fù)權(quán)重。模型 與模型 的區(qū)別在于：模型ri ??? ???計2）算所得效率均大于等于1，而模型所）得的效率值均小于等于1?；趲缀纹骄档碾p前沿數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法就是將模型（12所得）的效率與模型（2所）得的效率通過幾何平均的方式加以綜合，即：①*=:。*.0*

o oo其中3*為綜合后的DMU（oe{1,2,,刈）的效率值，而0*和0*分別對應(yīng)該決策單元在模型 與模型o下的最優(yōu)效率值。oo下圖為有效前沿面和無效前沿面的一個演示圖。1 2 4 6 8產(chǎn)出1/投入圖5-1決策單元的有效和無效前沿面（六）最優(yōu)決策單元的選擇在實際應(yīng)用中，決策者有時候關(guān)心的是哪個方案或者哪個決策單元是最優(yōu)的，而對于其他單元的排序并不在意。因此，如何利用 模型直接尋求最優(yōu)決策單元成為學(xué)者們所感興趣的問題。 和提出了一個混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，采用兩步法以期實現(xiàn)尋求最優(yōu)決策單元。然而隨后（20[1發(fā)）現(xiàn)這種兩步法有時會產(chǎn)生兩個或者兩個以上的最優(yōu)決策單元，因此他提出一個非線性混合整數(shù)模型。 發(fā)現(xiàn) 的非線性規(guī)劃模型在有些情況下是不可行的。不過

提）出了三種混合整數(shù)線性規(guī)的模型存在著一些冗余的約束且對輸入輸出權(quán)重給定了保證域，并且該模型易受離群值 的影提）出了三種混合整數(shù)線性規(guī)響，從而導(dǎo)致所選擇的最優(yōu)決策單元不正確。因此， 和劃模型來改進(jìn)的模（型2中0所1存1在）的問題。這三種最優(yōu)決策單元選擇的模型分別為：劃模型來改進(jìn)基于不變規(guī)模收益的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)決策單元選擇方法￡V]ZxJZ{Zy,i=11j=1)r=11j=1)t￡st￡sutyorrjr=1^^Lvxiiji=1j=1,…，n￡nI=1,jj=1Ie{0,1}j=1,…,nj1u^~ ; ;r=1,…，sr(m+s)max{y}jrj1v",一i=1,…，mi (m+s)max{x}jij其中i （=1,,n是二元變量且只有一個變量可以取非零值。如果I=1那么約束條件joTOC\o"1-5"\h\z￡uy-ILvx<I對應(yīng)的DMU的約束為￡suy-￡mvx<1即允許DMU的效率值大于，而rrjiijj o r=1rro i=1iio or=1 i=1其余的的約束iLuy-l^vx<I與原始的 模型的約束相同也就是iLuy-l^vx<0對于任意rrj iijj rrj iijr=1 i=1 r=1 i=1的je{1,,n}除了jwo。因此只有最有效的決策單元的效率值會大于，而其余決策單元的效率均小于等于。權(quán)重約束沿用 提出的松弛變量模型中的形式，該約束形式在實際應(yīng)用中被廣泛采用，即u>(1/((m+s)max{y}))rjjr=1,,sv>(1/((m廣泛采用，即u>(1/((m+s)max{y}))rjji jij基于投入導(dǎo)向的 模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法模型（，是3基）于不變規(guī)模收益下的最優(yōu)決策單元的選擇方法。該方法可以拓展到可變規(guī)模收益的情形如下所示，該模型的形式是基于投入導(dǎo)向的 模型下的形式：ii=1j=1)ii=1j=1)xij)-nv0r=1j=1)y.rj)<Ij￡ut-￡vx+<Ijrrj iij0r=1 i=1￡nI =1,jj=1

Iw{0,1}j=1,…,nj1u^~ ; rr=1,…，sr(m+s)max{y}jrj1丫-7 ； ;; i=1,…,mi (m+s)max{x}jijv無符號限制.0基于產(chǎn)出導(dǎo)向的 模型的混合整數(shù)線性規(guī)劃最優(yōu)決策單元選擇方法同理可得，基于產(chǎn)出導(dǎo)向的可變規(guī)模收益的形式下的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型如下:同理可得，基于產(chǎn)出導(dǎo)向的可變規(guī)模收益的形式下的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型如下:工ve工vex—Zu￡iij ri=1 1j=1 ) r=1 1j=1yrj)—nu0etsetsutyrrjr=1—emvxiiji=1j=1,…，nZuy+u-0j=1,…,nrrj0r=1ZnI =1,jj=1Iw{0,1}j=1,…,nj1u-/ ?】r=1,…，sr (m+s)max{y}jrj1v-7 ； C-T i=1,…，mi (m+s)max{x}jij其中約束條件^^uy+u-0（=1,…，n是為了保證全體產(chǎn)出是非負(fù)的，因為負(fù)的產(chǎn)出沒有意義。rrj0r=1（七）舉例說明下面用個例子來說明 方法的應(yīng)用。例1假設(shè)現(xiàn)有七個被評價的決策單元，投入、產(chǎn)出項各有一項，投入項為X產(chǎn)出項為Y輸入如下表所示。此時七個決策單元的相對位置如圖一所示。在 模型下，連接原點與點的射線構(gòu)成前沿面，如圖中所示，其余的點均位于該前沿面的下方。表5—表5—七個決策單元的投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)圖5—2七個決策單元的分布及其在生產(chǎn)前沿面上的投影從圖中可以看出，只有決策單元位于生產(chǎn)前沿面上，而其他所有決策單元均位于該生產(chǎn)前沿面的下方，即 均為非有效，從表一最后一列的效率值大小也很容易得到確認(rèn)。為了使非有效決策單元為 有效，可依圖中箭頭所示的方向?qū)⒎?有效的決策單元往前沿面上投影。均為減小投入而保持產(chǎn)出不變；而給出了三種投影方式減小投入產(chǎn)出不變；保持投入不變增大產(chǎn)出；或者同時減小投入和增大產(chǎn)出）。例 五個先進(jìn)制造技術(shù)的甄別數(shù)據(jù)來源于和表5—表5— 投入 產(chǎn)出決策單元XXY樂觀效率值 悲觀效率值幾何平均值

對于每一個決策單元而言，可通過求解模型和獲得全體的樂觀和悲觀效率，結(jié)果如上表所示。下面簡單介紹一下求解過程和技術(shù)實現(xiàn)。以第一個決策單元的效率即樂觀效率為例，將數(shù)據(jù)代入模型（2即得得模型（16，得顯然這是個較為復(fù)雜的線性規(guī)劃模型，需要借助軟件計算才會更為簡便。因此本書分別給出了 以及下的模型的編程。 的編程一次也只能計算一個見下面程序后的計算說明，而 程序相對而言更為簡便，其可以很快地計算出所有決策單元的效率。此例中通過軟件計算所得，在樂觀效率下，所得效率為表5—3的第五列所示，全體單元的優(yōu)序關(guān)系為：。，決策單元與均為有效，而為非 有效。在悲觀模型下，所得的效率值為表一的第六列所示，決策單元為無效，而其他單元均為非無效，其優(yōu)序順序為： A的最后一列的值為樂觀和由此可見，在樂觀前沿面和在悲觀前沿面下的排序存在著一定的差異。表的最后一列的值為樂觀和悲觀效率的幾何平均值，顯然等人提悲觀效率的幾何平均值，顯然等人提0出7的得該幾何平均值較好的綜合了樂觀和悲觀前面的兩部分信息，從而五個單元合理的排序為：Maximize0Maximize01=210日1subjectto例2subjectto例2的程序?qū)崿F(xiàn)：以計算第一個決策單元的樂觀效率為例4031+732=1,210印—(4031+732)<0,105^1—(3231+1232)<0,304『(5231+2032)<0,200『(3531+1332)<0,150『(3231+832)<0,日>0,3>0,3>0.112的程序:下面給出的程序:在上述程序中，的值 分別替換為可得5個決策單元的最優(yōu)效率值依次為1.00，00 0，.例的 程序?qū)崿F(xiàn)運行上述程序，即可得全體 的效率值。例現(xiàn)有家國際航空公司，數(shù)據(jù)來源于 。已知投入有三項，產(chǎn)出有兩項，分別為:x:飛機容量噸公里1x:營業(yè)費用2x:其他資產(chǎn)（預(yù)定系統(tǒng)，便利性以及流動資產(chǎn)）3y:每公里乘客數(shù)1y:非客運收益2表一 家航空公司的數(shù)據(jù)投入產(chǎn)出DMU x x x y y 1 3 3 1

表5—效率表5—效率效率及其非有效決策單元的改進(jìn)

投入產(chǎn)出利用 模型以及將非有效 改進(jìn)為有效 的投影公式，可得表一的結(jié)果。從表中可知，決策單元 ， 為 有效，而其它單元為非 有效。對于非有效決策單元，例如對第一家航空公司而言，它的第一項投入應(yīng)減少75，3第二項投入應(yīng)減少91，6第三項投入應(yīng)減少26，4同時保持產(chǎn)出不變，這時該航空公司可達(dá) 有效。4和與 類似也均需減少該三項投入。而對 而言，其前三項投入應(yīng)分別減少 ，和，第一項產(chǎn)出需增加，第二項產(chǎn)出保持不變可達(dá)有效。而 和 在減少三項投入的同時，還需要增加第二項產(chǎn)出才會有效。利用攻擊型交叉效率模型，我們可得如下表（表5—）所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。從表中可以看出第5家航空公司的相對效率為0.7，9為8所3有航空公司中最優(yōu)，其次是第11家航空公司，其交叉效率值為0.7。7而4第22家航空公司的交叉效率值為0.1，6為5214家航空公司中最差。利用仁慈型交叉效率模型，我們可得如下表（表5—）所示的14家航空公司的交叉效率表以及其排序。

從表中可以看出第11從表中可以看出第11家航空公司的相對效率為1，為9所3有航空公司中最優(yōu)，其次是第13家航空公司，其交叉效率值為0.9。1而9第02家航空公司的交叉效率值為0.18，為9414家航空公司中最差。此結(jié)果與攻擊型交叉效率模型所得的結(jié)果又較大的差異，然而至今仍無一個準(zhǔn)則可以清晰的告訴決策者何時該選擇攻擊型模型或者是仁慈型模型。因此均對不同的決策問題，選擇的模型的不同，所得結(jié)果可能出入較大。為此，學(xué)者們提出了一些改進(jìn)模型，例如和的中性交叉效率模型，以及 等人為此，學(xué)者們提出了一些改進(jìn)模型，例如和的中性交叉效率模型，以及 等人的博弈交叉效率模型都可以較好的避免這個問題。表5—目標(biāo)表5—目標(biāo)平均

交叉

效率表一仁慈型交叉效率值表平均排目標(biāo)交叉序效率應(yīng)用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析需注意的事項：作為一種非參數(shù)方法，將數(shù)學(xué)、經(jīng)濟和管理的概念與方法相結(jié)合，是處理多目標(biāo)決策問題，解決在經(jīng)濟和管理中評價具有多個投入、多個產(chǎn)出問題的有力工具。主要適合于同種類型部門或單位間的相對有效性排序和評價，可以通過在生產(chǎn)前沿面上的投影分析，發(fā)現(xiàn)非有效的產(chǎn)生原因以及改進(jìn)方向，調(diào)整資源投入量和效益產(chǎn)出量使決策單元達(dá)到有效。應(yīng)用模型進(jìn)行評價，不必事先確定指標(biāo)權(quán)重，只需假定由決策單元的投入產(chǎn)出指標(biāo)組成的狀態(tài)可能集滿足凸性、無效性、錐性以及最小性等條件即可。方法本身包含指標(biāo)的權(quán)重分配過程，在計算不同決策單元的最大有效性時，指標(biāo)的權(quán)重是動態(tài)可變的，最后排序的結(jié)果是每個決策單元在最有利于自身的權(quán)重下的結(jié)果。應(yīng)用方法進(jìn)行評價分析時，一般要求決策單元數(shù)目應(yīng)大于投入產(chǎn)出變量數(shù)目之和。根據(jù)經(jīng)驗法則,最好是決策單元數(shù)目應(yīng)大于投入產(chǎn)出變量數(shù)目之和的兩倍，這樣計算所得的結(jié)果才能具有較好的區(qū)分性，否則容易出現(xiàn)多個決策單元有效而無法進(jìn)一步區(qū)分的情形。此時，可以采用超效率模型或者是交叉效率模型進(jìn)行相對效率分析。也可以將這些有效決策單元再采用其他綜合評價方法進(jìn)行分析。投入產(chǎn)出指標(biāo)的確定，一般是根據(jù)資源投入量與效益產(chǎn)出量確定。模型求解時，一般要求投入產(chǎn)出指標(biāo)具有非負(fù)性。如果遇到負(fù)的投入指標(biāo)，一些學(xué)者認(rèn)為可以考慮將取絕對值后納入產(chǎn)出指標(biāo)進(jìn)行考慮，不過這種方法的合理性以及此方面的研究還尚未取得一致的認(rèn)識。5.在實踐中，通常有兩種導(dǎo)向的模型可以供決策者選擇，一類是投入導(dǎo)向模型（即在相同產(chǎn)出水平下，比較投入資源的使用情況），一類是產(chǎn)出導(dǎo)向模型，人們通常只從投入導(dǎo)向或者產(chǎn)出導(dǎo)向的角度去分析決策單元的相對有效性，不過這兩種角度在很多時候計算所得的結(jié)果是不一致的，只有 模型計算所得的投入導(dǎo)向與產(chǎn)出導(dǎo)向的效率是一致的。對于采用其他 模型時所得結(jié)果存在的不一致性，在實際中也可以將兩個角度通過加權(quán)綜合的方式一起考慮，相關(guān)研究可以參考最新的國內(nèi)外文獻(xiàn)。方法不僅能對管理效率進(jìn)行橫向?qū)Ρ?，也可以進(jìn)行縱向、動態(tài)的分析，即評價樣本的數(shù)據(jù)可以選擇截面數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)或者是面板數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)常用的方法為視窗分析法與生產(chǎn)力指數(shù)法。當(dāng)前已有較多的現(xiàn)成的 軟件可以用于求解模型，例如， 以及 等。不過這些軟件只能求解常見的 模型，對于改進(jìn)型的 模型，通常需要編程，此時可借助于：的線性規(guī)劃求解器， 軟件以及 軟件等編程軟件。習(xí)題：現(xiàn)有10家醫(yī)院，每家醫(yī)院有2個投入（醫(yī)生人數(shù)以及護(hù)士人數(shù)）和2個產(chǎn)出（門診病人人數(shù)以及住院病人人數(shù)），投入產(chǎn)出表如下所示，試用方法分析這家醫(yī)院的相對有效性。表一十家醫(yī)院投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)表投入醫(yī)生（人）護(hù)士（人）產(chǎn)出門診病人（人）住院病人（人）第7節(jié)案例分析本節(jié)以一個實例來說明數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法的使用，評估對象為中國臺灣的森林經(jīng)營。寶島臺灣面積為360平0方0公里，臺灣森林覆蓋面積占全省土地總面積的一半以上，在198年9以前有13個林區(qū)，主要以保護(hù)林地和木材為主要任務(wù)。森林的經(jīng)營具有非盈利性質(zhì)，了解各個林區(qū)的經(jīng)營效率，檢討投入資源的使用是否有效，是一個值得探討的問題。以下將以臺灣省各林區(qū)的效率評估，探討使用的各個步驟，來說明方法在實際中的應(yīng)用。案例分析中主要集中探討三個部分內(nèi)容：確認(rèn)投入產(chǎn)出項，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，結(jié)果的分析與解釋。使用方法首先需要選擇適當(dāng)?shù)耐度氘a(chǎn)出項目。根據(jù)森林經(jīng)營的多目標(biāo)性及其非營利性等特點，其目標(biāo)包括實質(zhì)產(chǎn)出（如：木材、野生動物）以及森林效用（如：凈化空氣，調(diào)節(jié)氣溫，美化環(huán)境，潔凈水源，保持水土，旅游等），為了篩選投入產(chǎn)出項以衡量森林經(jīng)營目標(biāo)，參考和 的研究）高強等人（20[0236編]）寫的書籍。篩選的步驟如下：（1）訪問林業(yè)局的管理層，確立其組織目標(biāo)及其管理目標(biāo)。（2）要求受訪者確認(rèn)投入產(chǎn)出項目。進(jìn)行過程中間研究者從文獻(xiàn)以及經(jīng)驗得知的各種投入產(chǎn)出種類列出，以供受訪者參考（3要）求受訪者確定投入產(chǎn)出的衡量指標(biāo)。進(jìn)行過程中間研究者從文獻(xiàn)以及經(jīng)驗得知的各種投入產(chǎn)出衡量指標(biāo)列出，以供受訪者參考（4收）集并整理投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)（5確）認(rèn)投入產(chǎn)出項目及衡量指標(biāo)并完成數(shù)據(jù)收集整理后，進(jìn)一步與受訪者探討，分析其含義。產(chǎn)出項目根據(jù)森林一般多目標(biāo)經(jīng)營的想法，例如美國 年頒布的 法案，森林的功能包括木材生產(chǎn)、野生動物、水源涵養(yǎng)、放牧、森林游樂等五項。通過與林業(yè)局的深訪，決定臺灣省林業(yè)經(jīng)營目標(biāo)有林產(chǎn)、水源涵養(yǎng)、游樂三項，而采用以下三個指標(biāo)來衡量：主產(chǎn)物：木材的產(chǎn)量，度量單位為立方公尺；平均蓄積：用以衡量水土保持、調(diào)節(jié)氣溫、潔凈水源等森林功效，以林地林木蓄積量表示，單位為千立方公尺；游樂：用以衡量森林之游樂功效，單位為游客人數(shù)。投入項依據(jù)生產(chǎn)經(jīng)濟理論，基本上是土地、資本與勞力，在森林經(jīng)營中，林地上林木蓄積量亦可視為資本。因此，林業(yè)局的相關(guān)人員認(rèn)為因采用如下四項指標(biāo)來衡量投入，即：預(yù)算：以千元為單位；原始蓄積：林地之林木蓄積量越大，其林木的生產(chǎn)量也越大，水源涵養(yǎng)效果也越佳，因此以評估期開始的林地為林地蓄積為指標(biāo)，單位為千立方公尺；勞動力：投入的人力，單位為人；土地面積：單位為千公頃。投入產(chǎn)出項經(jīng)過專家篩選出來以后，下一步就是投入產(chǎn)出項的數(shù)據(jù)的收集與整理。使用不受指標(biāo)單位的限制，為了避免各年資料一時的波動造成績效評估的誤判，本案例中選取十年的數(shù)據(jù)(1978-，各指標(biāo)取十年的平均值，并將貨幣價值以197年5的物價銷售指數(shù)為基底進(jìn)行平減。因為臺灣省在此段時間的林區(qū)總數(shù)為13個，未能滿足投入產(chǎn)出項目個數(shù)兩倍之最少受評單位的要求，因此加入四個與十三個林區(qū)大致相當(dāng)?shù)牧謪^(qū)經(jīng)營單位：林區(qū)開發(fā)處、林業(yè)試驗所、臺大實驗林以及中興實驗林。因此獲得了1個受評單位，其數(shù)據(jù)如下表所示。表一 原始數(shù)據(jù)表投入 產(chǎn)出林區(qū) 面積勞力預(yù)算原始蓄積主產(chǎn)物平均蓄積游樂文山TOC\o"1-5"\h\z竹東 108.46597.99.3 13.4547.1918.86 7大甲 79.06421.46.35 8.2721.5710.4833.大雪山 59.66860.112.2810.958.4111.719.埔里 84.5 271 4.33 9.93 39.04 12.25 0巒山 127.28 592 10.45 13.36 57.11 13.81 0玉山 98.8 863 12.15 8.14 42.81 12.43 399楠渡恒春 86.37 285 5.35 8.62 39.24 6.88 1081關(guān)山 227.2216.15.87 24.0444.08 27.28 0玉里 146.43205 4.08 15.76 37.3 19.3 0木瓜 173.48774.912.6 23.03 9.63 23.53 41.蘭陽 171.121722.714.51 17.84 19.73 18.86 8開發(fā)處 93.651399128.94 17.5842.11 17.3 0林試所 13.65350.90.91 1.4219.07 1.58 0教育資料教育資料教育資料臺大 33.52165 1.73 0.3813.57 0.51061中興通過相應(yīng)的計算，可得 模型， 模型，超效率模型，原始交叉效率模型，攻擊型交叉效率模型，仁慈型交叉效率模型的結(jié)果如下表所示。表一 各種 模型下的效率值及其排序結(jié)果林區(qū) 超效率排序原始交叉效率排序攻擊型交叉效率排序仁慈型交叉效率排序文山竹東 1.0010.0010.015276 0.73025 0.67575 0.95381大甲 0.8906.19101.3891621 0.573411 0.536611 0.78338TOC\o"1-5"\h\z大雪山 1.0010.0010.004108 0.438314 0.412315 0.6706 12埔里 1.0010.0010.019656 0.79681 0.73953 0.91482巒山 0.8811.4000.088134 0.60379 0.549110 0.7343 10玉山 1.0010.0010.009197 0.603210 0.55769 0.85514楠濃 0.7615.7000.07615570.478412 0.441313 0.568616恒春 1.0010.0010.017368 0.63748 0.57198 0.7073 11關(guān)山 1.0010.0010.034049 0.73824 0.72654 0.78777玉里 1.0010.0010.011786 0.78942 0.76611 0.86003木瓜 0.819.3000.0811943 0.434215 0.416214 0.6363 14蘭陽 0.7403.97804.9741369 0.344417 0.340717 0.5257 17開發(fā)處 0.9714.6000.0971416 0.404516 0.358616 0.6517 13林試所 1.0010.0030.00627 0.65426 0.63816 0.73459臺大 1.0010.00220.025610 0.63997 0.59997 0.82126中興從表一中可知， 模型和 模型中存在多個有效決策單元，因此如果分析的目的是實現(xiàn)所有林區(qū)的全排序，顯然選擇這兩個模型難以達(dá)到要求。而后四種方法：超效率模型，原始交叉效率模型，攻擊型交叉效率模型以及仁慈型交叉效率模型可以較好的實現(xiàn)對所有林區(qū)的全排序。原始交叉效率模型與攻擊型交叉效率模型所得的排序結(jié)果最為接近，如玉里林區(qū)在原始交叉效率模型中排在第二位，而在攻擊型交叉效率模型中排在第一位；而與之類似的林區(qū)還有中興和玉山。差異最大的是埔里林區(qū)的排序，在原始交叉效率模型中排第一位，而在攻擊型交叉效率模型中排在第三位。而攻擊型交叉效率與仁慈型交叉效率所得的排序結(jié)果的差異較大，在仁慈型交叉效率中排在第一位的是竹東林區(qū)，而竹東林區(qū)在攻擊型交叉效率模型中排在第五位。在超效率模型中，臺大林區(qū)以相對有效值22.2遙5遙6領(lǐng)先于其他林區(qū)排在第一位，第二位的林試所以3.06排2在7第二位，中興林區(qū)以1.63排4在2第三位，也就是說后面加入的四個決策單元與林區(qū)具備類似功能的單元占據(jù)了所有林區(qū)排序的前三位，超效率的結(jié)果與其他三種可以實現(xiàn)全排序的排序結(jié)果均存在較大差異。決策單元本部分基本概念：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析決策單元CharnesA,CooperWW,RhodesE.Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,1978,2:429-444.CookWD,SeifordLM.Dataenvelopmentanalysis(DEA)-Thirtyyearson[J].EuropeanJournalofOperationResearch,2009,192(1):1-17.LiuJS,LuLYY,LuWM,LinBJY.Dataenvelopmentanalysis1978-2010:Acitation-basedliteraturesurvey[J].Omega,2012,doi:10.1016/j.omega.2010.12.006.(Inpress)CharnesA,CooperWW.Programmingwithlinearfractionalfunctional[J].NavalResearchLogisticsQuarterly,1962,9:181-185.BankerRD,CharnesA,CooperWW.Somemodelsforestimatingtechnicalandscaleefficienciesindataenvelopmentanalysis[J].ManagementScience,1984,30:1078-1092.BankerRD,ThrallRM.Estimationofreturnstoscaleusingdataenvelopmentanalysis[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,1992,62:74-84.AndersenP,PetersenNC.Aprocedureforrankingefficientunitsindataenvelopmentanalysis[J].ManagementScience,1993,39:1261-1264.BankerRD,ChangH.Thesuper-efficiencyprocedureforoutlieridentification,notforrankingefficientunits[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2006,175:1311-1320.SextonTR,SilkmanRH,HoganAJ.Dataenvelopmentanalysis:Critiqueandextensions[J].In:R.H.Silkman,Editor,MeasuringEfficiency:AnAssessmentofDataEnvelopmentAnalysis,Jossey-Bass,SanFrancisco,CA,1986,73-105.DoyleJR,GreenRH.Efficiencyandcross-efficiencyinDEA:derivations,meaningsanduses[J].JournalofOperationalResearchSociety,1994,45:567-578.DoyleJR,GreenRH.Cross-evaluationinDEA:ImprovingdiscriminationamongDMUs[J].INFOR,1995,33:205-222.WangYM,ChinKS.AneutralDEAmodelforcross-efficiencyevaluationanditsextension[J].ExpertSystemswithApplications,2010a,37(5):3666-3675.LiangL,WuJ,CookWD,ZhuJ.TheDEAgamecross-efficiencymodelanditsNashequilibrium[J].OperationsResearch,2008a,56,1278-1288.LiangL,WuJ,CookWD,ZhuJ.AlternativesecondarygoalsinDEAcross-efficiencyevalua