數(shù)學(xué)分析教案上

商洛學(xué)院教案

《數(shù)學(xué)分析》

之一

第一章實數(shù)集與函數(shù)（10+2學(xué)時）

教學(xué)大綱

教學(xué)要求：

1.熟練掌握實數(shù)集的基本性質(zhì)和確界存在原理

2.能夠利用有理數(shù)集的稠密性證明相關(guān)的命題

3.理解函數(shù)概念，熟練掌握函數(shù)的四則運算、函數(shù)的有界性和單調(diào)性

4.理解函數(shù)確界概念

5.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的概念，并掌握利用運算和復(fù)合來構(gòu)造新函數(shù)的方法

6.熟練掌握基本初等函數(shù)并熟悉它們的圖像，會通過它們構(gòu)造簡單的初等函

數(shù)

教學(xué)內(nèi)容：

實數(shù)概述，絕對值不等式，區(qū)間和鄰域，確界、確界原理，函數(shù)的幾種表示法，

分段表示的函數(shù)，具有某些特性的函數(shù)，函數(shù)的四則運算，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，

基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。

教學(xué)重點：

函數(shù)、確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)。

1

第頁

時-------月-------日課

學(xué)時）

間星期-------------題§1實數(shù)（4

教學(xué)目的使學(xué)生掌握實數(shù)的基本性質(zhì)

1.理解并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性；

教學(xué)重點2.牢記并熟練運用實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式.（它們是分析論

證的重要工具）

教學(xué)難點實數(shù)集的概念及其應(yīng)用

課型理論講授（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)媒體

教法選擇講練結(jié)合

教法運用及板書

教學(xué)過程

要點

復(fù)習(xí)引新：實數(shù)及其性質(zhì)

1.實數(shù)

*黛:學(xué)成有限小數(shù)和虎膽小數(shù).

有理數(shù)<（

［無理數(shù):）

書無限不循環(huán)小數(shù)表示

R={xlx為7實數(shù)企體實數(shù)的集合.

［問題］有］里數(shù)，無理數(shù)的表示不統(tǒng)一，這對統(tǒng)一討論實數(shù)是不利的.為

以下討論的需要，我們把“有限小數(shù)”（包括整數(shù)）也表示為“無限小數(shù)”.為

此作如下規(guī)定：

對于正有限小數(shù)X=%%…4,其中

0<a,.<9,/=1,2,尸0,旬為非負(fù)整數(shù)，

記X=..q-9999…；對于正整數(shù)x=a。，則己x=（%）—1）.9999…；

對于負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,則先將-y表示為無限小數(shù)，現(xiàn)在所

得的小數(shù)之前加負(fù)號.0=0.0000…

例：2.001-2.0009999…

3->2.9999…

-2001->-2.009999--?

-3――2.9999…

此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁

2

第頁

利用上述規(guī)定，任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示.但新的問題

又出現(xiàn)了：在此規(guī)定下，如何比較實數(shù)的大??？

2.兩實數(shù)大小的比較

1）定義1給定兩個非負(fù)實數(shù)％=%a.…，>=瓦仇…〃，…。其

中丹,瓦為非負(fù)整數(shù)，%,比優(yōu)=1,2,…）為整數(shù)，04449,0*49。

若有6=①，4=1,2,…，貝?麻x與y相等，記為x=y；若劭>瓦或存在

非負(fù)整數(shù)/，使得％=瓦/=1,2,,而a->仇+1,則稱x大于y或y

小于x,分別記為》>>或）<X。對于負(fù)實數(shù)x、y,若按上述規(guī)定分別

有一x=->或一x>-y或一無<一y,則分別稱為x=y或x<y或x>y。

規(guī)定：任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù).

實數(shù)比較大小的等價條件（通過有限小數(shù)來比較）.

定義2（不足近似與過剩近似）：若x=…％…為非負(fù)實數(shù)，稱

—1

x“=40巧。2…%為實數(shù)X的〃位不足近似；稱X"=%+而7為實數(shù)X的

n位過剩近似。若x=-aoay?■????為負(fù)實數(shù)，稱xn--anat???an---

為實數(shù)x的〃位不足近似；稱工=-旬4…a,…為實數(shù)》的〃位過剩近似。

注：實數(shù)》的不足近似七當(dāng)〃增大時不減，即有與4玉4%<…4x;過剩

近似七當(dāng)n增大時不增，即有與Nx^xN…

命題：記x=…實數(shù)X的不足近似X,,當(dāng)〃增大時不減，即有

x0<xi<x2<-<x;過剩近似當(dāng)n增大時不增，即有

xo>X]>X>->Xa

記x=〃oq,,,〃”…，y=瓦瓦…b〃…為兩個實數(shù),則的等價條

件是：存在非負(fù)整數(shù)n,使（其中％為1的〃位不足近似，覺為

y的〃位過剩近似）。

命題應(yīng)用-------例1

例1.設(shè)為實數(shù)，x<y,證明存在有理數(shù)一，滿足x<r<y.

證.由x<y,知：存在非負(fù)整數(shù)n,使得當(dāng)<先.令廠=；「〃+%），

3

第頁

則r為有理數(shù)，且

x<xn<r<yn<y.即x<r<y.

3.實數(shù)常用性質(zhì)

封閉性（實數(shù)集R對+,-,x,+）四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)的和、

差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實數(shù).

有序性：任意兩個實數(shù)。力必滿足下列關(guān)系之一：a<b,a>b,a=b.

傳遞性；a<b,b>c=>a>c.

阿基米德性：e>a>On三〃eN使得〃a〉b。

稠密性：兩個不等的實數(shù)之間總有另一個實數(shù).

實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系.

例2.設(shè)X/a/eR,證明：若對任何正數(shù)￡,有“</?+￡,則

（提示：反證法.利用“有序性”，取￡=。一匕）

數(shù)相等的充要條件：a=b^Vs>Q,\a-b\<￡

二、絕對值與不等式（分析論證的基本工具）.

1.絕對值的定義實數(shù)。的絕對值的定義為lal=,

[-aa<0

2.幾何意義：從數(shù)軸看，數(shù)。的絕對值lai就是點。到原點的距離。認(rèn)

識到這一點非常有用，與此相應(yīng)，\x-a\表示就是數(shù)軸上點x與。之間的

距離。

3.性質(zhì).

1）lal=l-al>O;lal=O??=O（非負(fù)性）；2）-lal<a<|?|；

3）\a\<ho-h<a<h,\a\<ho-h<a<〃.（〃>0）；

4）對任何有l(wèi)al-lbKla±6IMal+lbl（三角不等式）;

5）\a\=ba\-\b\；6）-L—"HO）.

I4\b\

2.其他不等式：

（1）<72>2ab,

4

第頁

|sinx|<l.|sinx\<\x\.

⑵均值不等式：對Vq,乙,…記

M(%)=.+勺+—+”“二巷％,(算術(shù)平均值)

〃〃,=1

G(《)=《。刈2…|口4，(幾何平均值)

\/=!>

〃1n

"(《)=T—i------------f=「7~F=丁1.(調(diào)和平均值)

一+-+???+——X—

?1?2an〃什%

有平均值不等式：

H(ai)<G(ai)<M(al),等號當(dāng)且僅當(dāng)％=電=一=4時成立.

(3)Bernoulli不等式：(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)

Vx>—1,有不等式(l+x)n>\+nx,neN.

當(dāng)x>—1且xwO,〃eN且〃N2時，有嚴(yán)格不等式

(1+X)">1+HX.

證：由l+x>0且

1+x力0,=>(1+x)"+〃一l=(l+x)"+1+1+…+1〉

>〃4(l+x)”=n(1+x).=>(1+x)">1+nx.

(4)利用二項展開式得到的不等式：對V〃>0,由二項展開式

,rt(n-l),2〃("一1)(〃一2),3,?

(1+A)=\+nh+—-----h~+-----------A5+■■■+/2,

2!3!

有(1+4)”>上式右端任何一項.

f一實數(shù)及其性質(zhì)

［練習(xí)］P4.習(xí)題3.5［課堂小結(jié)］:實數(shù)：之…―

二絕對值與不等式

5

第頁

-------月-------日課

時間§2數(shù)集?確界原理（2學(xué)時）（一）

星期-------------題

教學(xué)目的使學(xué)生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念

1.掌握鄰域的概念：

教學(xué)重點

2.理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用

教學(xué)難點確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）

課型理論課教學(xué)媒體

教法選擇講授

教法運用

及板

教學(xué)過程

書要

點

一區(qū)間與鄰域

區(qū)間用來表示變量的變化范圍)

設(shè)eR且a<bo

開區(qū)間：{x￡R1aVX</?}=(。,力),

有限區(qū)間，閉區(qū)間：{%w/?1。VxW。}=[a,切.

半開半閉區(qū)間!閉開區(qū)間:⑼

[開閉區(qū)間:"￡對4<%"}=(〃向

區(qū)間<

[xeR\x>a]=[a,+oo).

{xeR\x<a]=(-oo,a].

無限區(qū)間<{x￡R1%>Q}=(a,+8).

[xeR\x<a\=(-oo,a).

{xe7?1-oo<x<4-oo)=R.

鄰域

點、a的b領(lǐng)域：

點a的空心3領(lǐng)[域：

點a的方左領(lǐng)域::

點、a的5右領(lǐng)域::

+0C的領(lǐng)域：

—0C的領(lǐng)域：

a的3鄰域：設(shè)。￡R,b〉0,滿足不等式1x—Ql<5的全體實數(shù)X的集合稱為點

a的3鄰域，記作U(a;3),或簡記為U(〃),即

6

U（a;S）={x|lx-a\<-（a-6,a+3）.

點a的空心8鄰域

U"（a；^）={x|0<1x-al<^}={a—8,a）<J（a,a+3）.

a的b右鄰域和點a的空心b右鄰域

U+（a；3）={x\a<x<a+3}=[a；a+3）

U°+（a；^）={x|a<x<a+§\-{a-,a+8}

點a的3左鄰域和點a的空心S左鄰域

U_（a；<5）={x|a-6<x<a]=（a-6；a]

U°-（a；<5）={x|a-8<x<a]-（a-3；a）

（5）8鄰域，+8鄰域，—8鄰域

U（oo）={x|lxl〉M},（其中M為充分大的正數(shù)）；

t/（+oo）={x[x>M^,U（-oo）={x[x<-M}

二、有界數(shù)集與確界原理：

1.有界數(shù)集：定義（上、下有界，有界），閉區(qū)間、（a,6）（。力為有限數(shù)）、

鄰域等都是有界數(shù)集，集合E={yly=sinx,xe（-oo,+oo）}也是有界數(shù)

集.

無界數(shù)集：定義,（—8,+00）,（-8,0）,（0,+8）,等都是無界數(shù)集，

集合E={yly=',xe（0,1）}也是無界數(shù)集.

X

注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）無界集的定義

2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義.

三確界與確界原理

1、定義

定義2（上確界）設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)〃滿足：（1）對一切

xeS,有（即77是S的上界）；（2）對任何a<7，存在X（）GS,使

得x0>a（即〃是S的上界中最小的一個），則稱數(shù)〃為數(shù)集S的上確界，

記作〃=supS.

7

第頁

定義3（下確界）設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)J滿足：（1）對一切xeS,

有xNj（即q是S的下界）；（2）對任何/?>《，存在/eS,使得與</

（即J是S的下界中最大的一個），則稱數(shù)片為數(shù)集S的下確界，記作

J=infS.

上確界與下確界統(tǒng)稱為確界。

例1⑴S=h+^-|〃=l,2,…J,則

n

supS=___,infS=—

（2）E={y1y=sinx,x￡（0,4）}則

supE=________,inf￡=_________.

例2非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.

例3設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有SnA則有

supS>supA,infS<infA

例4設(shè)A、B為非空數(shù)集，滿足：對一切xeA和yeB有xWy.證明：

數(shù)集A有上確界，數(shù)集B有下確界，且supAWinfB.

證由假設(shè)，數(shù)集B中任一數(shù)），都是數(shù)集A的上界，A中任一數(shù)x都是B

的下界，故由確界原理推知數(shù)集A有上確界，數(shù)集B有下確界.

對任何yeB,y是數(shù)集A的一個上界，而由上確界的定義知,supA是數(shù)集

A的最小上界，故有supA<y.而此式又表明supA是數(shù)集B的一個下界，

故由下確界定義證得supA<infB.

三、確界原理：

設(shè)S為非空數(shù)集，若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有

下確界。

小結(jié)：區(qū)間與鄰域，有界數(shù)集與確界原理：作業(yè)：P9：5；

此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁

8

f曰甘n月日營§2數(shù)集?確界原理（2學(xué)時）（續(xù)）

間星期-------------題

教學(xué)目的使學(xué)生掌握確界原理，建立起實數(shù)確界的清晰概念

1.掌握鄰域的概念；

教學(xué)重點

2.理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用

教學(xué)難點確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)（確界原理）

課型理論+實踐教學(xué)媒體

教法選擇講練結(jié)合（部分內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生自己完成）

教法運用及板書

教學(xué)過程

要點

敘述有界集，無界集的概念

敘述上、下確界的定義

證明：

（1）任何有限區(qū)間都是有界集；

（2）無限區(qū)間都是無界集；

（3）由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集。

辨析：

1.數(shù)集與確界的關(guān)系：

確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.

2.確界與最值的關(guān)系：設(shè)百為數(shù)集.

⑴下的最值必屬于總，但確界未必，確界是--種臨界點.

⑵非空有界數(shù)集必有確界（見下面的確界原理），但未必有最值.

（3）若maxE存在，必有max￡*=sup￡1.對下確界有類似的結(jié)論.

三、確界原理：

設(shè)S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有

下確界

9

例A和8為非空數(shù)集，S=AUA試證明

infS=min{infA,inf8}.。

證VxeS,有xwA或xe8,由infA和inf8分別是A和B的下界,

有x2infA或x>infB.=>x>min{inf/I,infB).即

min{infA,inf8}是數(shù)集S的下界，ninfS>min{infA,infB}.

又SnA,0S的下界就是A的下界,infS是S的下界，ninfS是A

的下界，ninfS<infA;同理有infS4inf8.于是有

infS<min{infA,inf5}.綜上，有infS=min{infA,inf8}

習(xí)題輔導(dǎo)

p.92設(shè)S為非空數(shù)集，試對下列概念給出定義

(1)S無上界；(2)S無界.

解：(1)S無上界，我小，3"焉>”.

(2)$無界<=>VM>0,卻eS,V恍|>M.

p.93試證明S={y：y=2-*，xeR}有上界而無下界.

證：因為VyeS,y42,所以s有上界；

又VM>0,?。?J3+MeR,

%=2-%；=2-3-〃=-l-M<-M,故s無下界.

P.96設(shè)S非空數(shù)集，定義S-={x：-xeS},證明

(1)infS~=-supS；(2)supS-=-infS.

證：(1)、設(shè)supS=J,則VxwS"-xwS,師~x<^,相xN-J,

由此知—supS是s-的下界.又V￡>0,瑞eS,，于是

故inf=-supS.同理可證supS-=-infS.

小結(jié)：確界的概念及其有關(guān)性質(zhì)(確界原理)

作業(yè)：p.9習(xí)題2.習(xí)題6(2)

10

第頁

1星期-土――5§3函數(shù)概念(2學(xué)時)

深刻理解函數(shù)的定義以及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和初等函數(shù)的定義，熟悉函數(shù)的各種表

教學(xué)目的示方法；牢記基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。會求初等函數(shù)的存在域，會分

析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。

教學(xué)重點初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象

教學(xué)難點初等函數(shù)復(fù)合關(guān)系的分析

課型理論教學(xué)媒體

教法選擇講授+演示(部分內(nèi)容自學(xué))

教法運用及板書

教學(xué)過程

要點

引言：關(guān)于函數(shù)概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中已有了初步的了解。為便于今后的學(xué)

習(xí)，本節(jié)將對此作進(jìn)一步討論。

-函數(shù)的定義

1.定義1設(shè)D,MuR,如果存在對應(yīng)法則/,使對X/xe。，存

在唯一的一個數(shù)yeV與之對應(yīng)，則稱/是定義在數(shù)集D上的函數(shù)，記作

/:。M(xIfy).

函數(shù)/在點X的函數(shù)值，記為/"),全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)/的值

域，記作即

/(D)={yly=/(x),xe￡>}?

(1)函數(shù)定義的記號中“f:DTM”表示按法則/建立D到M的函數(shù)

關(guān)系，xlfy表示這兩個數(shù)集中元素之間的對應(yīng)關(guān)系，也記作xlf—(x)。

習(xí)慣上稱x自變量，y為因變量。

(2)函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域。

我們說兩個函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應(yīng)法則。

(3)函數(shù)的定義域與存在域(自然定義域)。

(4)“映射”的觀點來看，，函數(shù)/本質(zhì)上是映射，對于ae。，/(a)稱

為映射了下a的象。。稱為/(a)的原象。

此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁

II

第頁

二函數(shù)的表示方法

1主要方法：解析法(分式法)、列表法和圖象法。

2可用“特殊方法”來表示的函數(shù)。

分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示。

l,x>0

例如sgnx=<0,x=0，(符號函數(shù))

—1,x<0

(借助于Sgnx可表示f(x)x1,即f(x)=1x1=xsgnx)。

(2)用語言敘述的函數(shù)。(注意；以下函數(shù)不是分段函數(shù))

例1)y=[X](取整函數(shù))

~當(dāng)X為有理數(shù)，—、

2)O(x)=〈八北班H工1H將(Dirichlet)

[0,當(dāng)x為無理數(shù)，

當(dāng)x=R(p,qeN+,K為假分?jǐn)?shù))，蟲

3)R(x)=〈qqq(Riemman函數(shù))

0,當(dāng)》=0,1和(0,1)內(nèi)的無理數(shù).

三函數(shù)的四則運算

給定兩個函數(shù)eO],g,XeQ,記。=￡)|口。2，并設(shè)。定

義/與g在D上的和、差、積運算如下：F(x)=f(x)+g(x),xeD；

G(x)=/(x)-g(x),xe。；H(x)=/(x)g(x),xeD

若在D中除去使g(x)=0的值，即令

D=O\{x|g(x)H0,xer>2}*"，后在D上定義/與g的商運算如

下：L(x)="^,xeO

g(x)

注：1)若。=Ac。2=。，則/與g不能進(jìn)行四則運算。

2)為敘述方便，函數(shù)/與g的和、差、積、商常分別寫為：

f+g,f-g,fg,L

g

12

第頁

四復(fù)合運算

1.例子

例：質(zhì)量為m的物體自由下落，速度為v,則功率E為

尸12])

E=—mv1,

2>=>E=7

v=gtJ2

1,

我們得到兩個函數(shù)/(V)=]?w2,v=gf,把v(f)代入/,即得

/(%))=

這樣得到函數(shù)的過程稱為“函數(shù)復(fù)合”，所得到的函數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”。

[問題]任給兩個函數(shù)都可以復(fù)合嗎？考慮下例；

y-f(u)-arcsinw,MeD=[-1,1],M-g(x)-2+x2,xeE-R

就不能復(fù)合，結(jié)合上例可見，復(fù)合的前提條件是“內(nèi)函數(shù)”的值域與“外

函數(shù)”的定義域的交集不空(從而引出下面定義)。

2.定義(復(fù)合函數(shù))設(shè)有兩個函數(shù)y=/(?),?eDu=g(x),x&E

記E={x1g(x)eZ)}cE手(/),則對每一個xeE*.可通過函數(shù)g對應(yīng)D

內(nèi)唯一的一個值”，而“又通過函數(shù)f對應(yīng)唯一的一個值)，.這就確定了一

個定義在E*上的函數(shù)，它以x為自變量，y為因變量，記作

y=/(g(x))，xeE*或y=(/og)(x)=/og,xe￡"

稱為函數(shù)/和g的復(fù)合函數(shù)，并稱/為外函數(shù)，g為內(nèi)函數(shù)，N為中間變

量。

3.例子

例1討論函數(shù)y=/(w)=V^,we[0,+oo)與函數(shù)

U-g(x)=1-e(-8,+8)能否進(jìn)行復(fù)合，求復(fù)合函數(shù)。

4注：

1)復(fù)合函數(shù)可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成。每次復(fù)合，都要驗證能否進(jìn)行？

在哪個數(shù)集上進(jìn)行？復(fù)合函數(shù)的最終定義域是什么？

例如：y=sinu,u=y/v,v=1-x2,復(fù)合成：y=sin--^2,1,1].

13

第頁

2)不僅要會復(fù)合，更要會分解。把一個函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù)，在

分解時也要注意定義域的變化。

①V=log?Vl-x2,xe(0,l)->y=log?u,u=z=l-x2.

②y=arcsiny/x2+1fy=arcsinw,M=dx2+1.

③y=2sin2jtfy=2",〃=v=sinx.

五、反函數(shù)

1反函數(shù)概念

設(shè)函數(shù)y=/(x),xw。。滿足：對于值域/(。)中的每一個值y,D中有

且只有一個值x，便導(dǎo)/(x)=y,則按此對應(yīng)法則得到一個定義在/(D)上

的函數(shù)，稱這個函數(shù)為一的反函數(shù)，記作

P'：/(。)?(yIfx)或x=ye/(D)

2注

a)并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點看，函數(shù)/有反函數(shù)，意

味著/是D與/(￡))之間的一個一一映射，稱/T為映射/的逆映射，它

把/(。)一。；

b)函數(shù)/與尸互為反函數(shù)，并有：/-'(/(x))=x,xeD,

(c)在反函數(shù)的表示了=/一1(/,、€/(。)中，是以y為自變量，x為

因變量。若按習(xí)慣做法用x做為自變量的記號，y作為因變量的記號，

則函數(shù))的反函數(shù)/t可以改寫為

y=/-l(x),x6/(D).

應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個函數(shù)，因為其定義域和對

應(yīng)法則相同，僅是所用變量的記號不同而已。但它們的圖形在同一坐標(biāo)系

中畫出時有所差別。

六初等函數(shù)

1-基本初等函數(shù)(6類)

14

第頁

常量函數(shù)y=C(C為常數(shù))；

幕函數(shù)y=xa(eeR)；

指數(shù)函數(shù)y=a'(a〉O,awl)；

對數(shù)函數(shù)y=log(,x(a>0,a1)；

三角函數(shù)y=sinx,y=cox,y=fg^cy-ctgJ；

反三角函數(shù)y=arcsinx,y-arccosx,y=arctgx,y=arcctgx。

注：爆函數(shù)y=x?aGR)和指數(shù)函數(shù)？=優(yōu)(。>0,。力1)都涉及乘塞，而

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中只給了有理指數(shù)乘基的定義。下面我們借助于確界來定

義無理指數(shù)暴，便它與有理指數(shù)事一起構(gòu)成實指數(shù)乘塞，并保持有理批數(shù)

累的基本性質(zhì)。

定義2.給定實數(shù)。>0,4工1,設(shè)x為無理數(shù)，我們規(guī)定：

'sup｛/lr為有理數(shù)｝，當(dāng)a>l時，

ax=<

鶴典有理數(shù)當(dāng)｝,OM<1

［問題］:這樣的定義有意義否？更明確一點相應(yīng)的“確界是否存在呢？”

2.初等函數(shù)

定義3.由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與復(fù)合運算所得到的函數(shù)，

統(tǒng)稱為初等函數(shù)

91_1

如：y=2sinx+cos2x,y=sin(—),y=1og-冗+--------,y=\x\.

XX

不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù)。如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、

取整函數(shù)等都是非初等函數(shù)。

注：初等函數(shù)是本課程研究的主要對象。為此，除對基本初等函數(shù)的圖象

與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，還應(yīng)常握確定初等函數(shù)的定義域。確定定義域時應(yīng)

注意兩點。

例2.求下列函數(shù)的定義域。

(1)y-J］；(2)y-Insinx

小結(jié)：確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的復(fù)合與分解

P.15習(xí)題5.6.7.

15

第頁

R日出，月日,§4具有某些特性的函數(shù)習(xí)題課（2+2=4課時）

間星期-----------題

理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性.并利用定義證明函數(shù)是否具有上述

教學(xué)目的性質(zhì)，.掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的圖形特征，并加以合

理地應(yīng)用.

教學(xué)重點有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.

教學(xué)難點有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.

課型理論+實踐教學(xué)媒體

教法選擇講練結(jié)合（部分例題學(xué)生完成）

教法運用及板書

教學(xué)過程

要點

-有界函數(shù)

定義1設(shè)/為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)V。），使得對每一個

有/（x）〈用（/（x）2L）,則稱/為D上的有上（下）界函數(shù)，M（L）稱

為了在D上的一個上（下）界。

根據(jù)定義，/在D上有上（下）界，意味著值域/（。）是一個有上（下）

界的數(shù)集；又若"（L）為了在D上的一個上（下）界，則任何大于M（小

于L）的數(shù)也是/在D上的上（下）界。所以，函數(shù)的上（下）界若存在，

則不是唯一的。

定義2設(shè)/為定義在D上的函數(shù)。若存在正數(shù)M,使得對每一個xe。有

\f{x）\<M,則稱/為D上的有界函數(shù)。

根據(jù)定義，/在D上有界，意味著值域/（。）是一個有界集.又按定

義不難驗證：/在D上有界=/在D上既有上界又有下界;.

幾何意義是：/為D上的有界函數(shù)，則/的圖象完全落在y=M和

y=-M之間；

此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁

16

第頁

例如，y=sinx,y=cosx為R上的有界函數(shù)，因為對每一個X￡〃者［5

eIsinx|<1Icosx|<1

有i?和??.

關(guān)于函數(shù)/在數(shù)集D上無上界、無下界或無界的定義，可按上述相應(yīng)

定義.

的否定說法來敘述.例如，設(shè)/為定義在D上的函數(shù)，若對任何M（無論M

多大），都存在使得/（/）>”,則稱/為D上的無上界函數(shù).

例1證明/（》）=,為（0,1］上的無上界函數(shù).

X

證對任何正數(shù)M,?。?,1］上的一點/=—!—,則有

M+1

/（x0）=—=M+1>M,故

%

按上述定義，/為（0,1］上的無上界函數(shù)。

例2設(shè)/,g為D上的有界函數(shù)。證明：

（1）in+m自（x）〈inf/（x）+g（x）｝；

（2）suE/（x）+g（x）｝Vsu「（x）+su區(qū)（x）.

XEDxeDxeD

二單調(diào)函數(shù)

定義3設(shè)/為定義在D上的函數(shù)，Vx,,x2e<x2,（1）

若/（再）</。2），則稱/為D上的增函數(shù)：若/（蒼）</。2），則稱/為

D上的嚴(yán)格增函數(shù)。（2）若/（占）2/（々），則稱/為D上的減函數(shù)；若

/（外）>/（》2）,則稱/為D上的嚴(yán)格減函數(shù)。

17

第頁

增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)

格單調(diào)函數(shù).

函數(shù)y=X，在R上是嚴(yán)格增的.因為對Vx,,x2G(-oo,+oo)R,當(dāng)％]<4時

總有

J一

2—o

X：—X；—(%2—X|)(X2H~~~)~+^X：>0,“一o

-2-1O1234

-1

即；；

X<X.—<-2

例4函數(shù)y=[幻在R上是增的.因為對圖1-3

,x2e(-00,+00),設(shè)匹<工2，顯然有[xjW足]?但此函數(shù)在R上不是

嚴(yán)格增的，若取項=0,x2=0.5,則有[X]]=[X2]=Q,所以函數(shù)丁=[幻

在R上是增函數(shù)。，即定義中所要求的嚴(yán)格不等式不成立.此函數(shù)的圖象如

圖1—3所示.

嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直線至多有一個交點，這一

特性保證了它必定具有反

函數(shù).

定理1.2設(shè)y=/(x),xe。為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則/必有反函

數(shù)/T,且/t在其定義域/(。)上也是嚴(yán)格增(減)函數(shù)。.

證設(shè)/在。上嚴(yán)格增.對任一ye/(O),有xe。，使/(x)=y,

下面證明這樣的x只能有一個.

事實上，對于。內(nèi)任一由/在。上的嚴(yán)格遞增性，當(dāng)項<工時

/(X|)<y，當(dāng)X]>x時/(X1)>y，總之/(X。Hy?這就說明，對每一

個yw/(D),都只存在唯一的一個xGD,W/(x)=y,從而函數(shù)f存

在反函數(shù)x=/T(y),ye/(D).

現(xiàn)證廣|也是嚴(yán)格增的.任取力,為G/(￡>),y,<乃?設(shè)

18

第頁

/=/T(%),無2=尸(％)，則％=/(。)，為=/(尤2)-由%<為及

一的嚴(yán)格增性，顯然有/<乙，即/7(乃)</7(為).所以反函數(shù)/T是

嚴(yán)格增的。

例5函數(shù)y=V在(_oo,0]上是嚴(yán)格減的，有反函數(shù)(按習(xí)慣記法)

y=-Vx,>xw(0,+oo),y=/在(0,+00)上是嚴(yán)格增的，有反函數(shù)

y=4x,xe[0,+oo)o但y=/在整個定義域R上不是單調(diào)的，也不存在

反函數(shù).

上節(jié)中我們給出了實指數(shù)基的定義，從而將指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>0,〃w1)

的定義域拓廣到整個實數(shù)集R.下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴(yán)格單調(diào)性.

例6,證明：y=優(yōu)當(dāng)。〉1時在R上嚴(yán)格增，當(dāng)0<。<1時在R上

嚴(yán)格遞減。

證設(shè)。>1.給定尤],12￡R，X]<?由有理數(shù)的稠密性，可取到有

理數(shù)八，使玉v八<弓V工2，(參見§1例1)，故有

a”=sup卜卜為有理數(shù)｝a"sup沙卜為有理數(shù)j=d,這就證

r<Xjr<x2

明了y=/當(dāng)a>1時在R上嚴(yán)格增。類似可證y="當(dāng)0<a<1時在R上

嚴(yán)格遞減。

注由例6及定理1.2還可得出結(jié)論：對數(shù)函數(shù)>=l°g“x當(dāng)。>1

時在(0,+8)上嚴(yán)格遞增，當(dāng)0<。<1時在(0,+00)上嚴(yán)格遞減.

三奇函數(shù)和偶函數(shù)

定義4設(shè)D為對稱于原點的數(shù)集，/為定義在D上的函數(shù)。若對每一個

XW。有(1)/(-X)=-/(%),則稱f為D上的奇函數(shù)；(2)

/(-X)=/(%),則稱/為D上的偶函數(shù)。

從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象則關(guān)于y

軸對稱.

例如，正弦函數(shù)？=$抽》和正切函數(shù))'=tanx工是奇函數(shù)，余弦函數(shù)

19

第頁

y=cosx是偶函數(shù)，符號函數(shù))'=sgnx是奇函數(shù)(見圖[一]).而函數(shù)

7T

y=sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因若取光。二彳，則

/(%)=&

/(一%)=°,顯然既不成立/(_/)=_/5),也不成立

/(-X。)-f(x0).

四周期函數(shù)

設(shè)/為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在

cr>0,使得對一切xe。有//////

\-2-InI231

/(x±b)=/(x)須稱/為周期函數(shù)，。

圖1-4

稱為/的一個周期。

顯然，若cr是/的周期，則"b(〃wN+)也是/的周期，所以周期若存在，

則不唯一。因此有如下“基本周期”的說法，即若在周期函數(shù)/的所有周

期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為/的“基本周期”，簡稱“周期二

例如，sinx的周期為2兀，tanx的周期為1.

函數(shù)/(x)={x}=x-[x],xwR,周期為1；(見圖1一4).

函數(shù)/(x)=C(C為常數(shù))，xwR,任何正數(shù)都是周期，但無基本周期；.定

1,x為有理數(shù)

義在R上的。譏函數(shù)。(x)=4,十是以任何正有理數(shù)數(shù)

10,x為無理數(shù)

為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.

小結(jié)與提問:本節(jié)要求學(xué)生掌握函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性，

并在有關(guān)命題中加以運用，要求學(xué)生課堂上給出函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)、奇(偶)

函數(shù)、周期函數(shù)的定義.

課外作業(yè)：尸2。3、6、7、8、9、10、11、12.

2()

商洛學(xué)院教案

《數(shù)學(xué)分析》

之二

第二章數(shù)列極限（10+2學(xué)時）

教學(xué)大綱

教學(xué)要求：

1.理解并熟練掌握數(shù)列極限的定義、

2.熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們證明相關(guān)命題

3.熟練掌握單調(diào)有界定理，掌握數(shù)列的子列的概念

4.掌握Cauchy收斂準(zhǔn)則，并能夠用它來判斷數(shù)列的斂散性

教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)列極限的￡-N定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性、保號性、不等式性

質(zhì)、迫斂性、有理運算），單調(diào)有界定理，極限存在性的證明。

本章重點是數(shù)列極限的概念；難點則是數(shù)列極限的定義及其應(yīng)用.

21

第頁

時-----月------日

課2§1數(shù)列極限概念（4學(xué)時）（一、二）

間星期-----------題

理解數(shù)列極限1概念并利用定義證明數(shù)列是否收斂..掌握無窮小數(shù)列概念并利用其證

教學(xué)目的

明數(shù)列是否收;及于指定的常數(shù).

教學(xué)重點數(shù)列極限的概念，數(shù)列極限的￡-N定義及其應(yīng)用

教學(xué)難點數(shù)列極限的￡一N定義及其應(yīng)用

課型理論課教學(xué)媒體

教法選擇講授

教法運用及板書

教學(xué)過程

要點

一、數(shù)列的定義

若函數(shù)/的定義域為全體正整數(shù)集合N+,則稱