數(shù)學試驗報告樣本

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試驗序號：3日期：2023年12月14日

班級試驗名稱應數(shù)一班姓名陳菲學號求代數(shù)方程的近似根1101114209問題背景描述：求代數(shù)方程f(x)?0的根是最常見的數(shù)學問題之一，當f(x)是一次多項式時，稱f(x)?0為線性方程，否則稱之為非線性方程．當f(x)?0是非線性方程時，由于f(x)的多樣性，尚無一般的解析解法可使用，但假使對任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認為求根的計算問題已經(jīng)解決，至少能滿足實際要求．本試驗介紹一些求方程實根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先確定求根區(qū)間[a,b]，或給出某根的近似值x0．試驗目的：1.了解代數(shù)方程求根求解的四種方法：對分法、迭代法、牛頓切線法2.把握對分法、迭代法、牛頓切線法求方程近似根的基本過程。１

試驗原理與數(shù)學模型：1．對分法對分法思想：將區(qū)域不斷對分，判斷根在某個分段內(nèi)，再對該段對分，依此類推，直到滿足精度為止．對分法適用于求有根區(qū)間內(nèi)的單實根或奇重實根．設f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)?0，即f(a)?0，f(b)?0或f(a)?0，f(b)?0．則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點?，使f(?)?0．下面的方法可以求出該根：a?bx0?2，計算f(x0)；令xf(x0)?0x?x0若，則0是f(x)?0的根，中止計算，輸出結果．b?x0f(a)?f(x0)?0a?x0b1?b，1，若，則令1，；ak?bkx?kba2．……，有k、k以及相應的ak?bkx?kf(xk)???2；(3)若(為預先給定的精度要求)，退出計算，輸出結果若f(a)?f(x0)?0，則令a1?ax1?a1?b12．反之，返回(1)，重復(1)，(2)，(3)．(a,b){[a,b]}以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列kk，在kk中含有方程的根．a(chǎn)k?bkx?kbk?ak2為根的近似值，顯然有當區(qū)間長很小時，取其中點1111xk???(bk?ak)???(bk?1?ak?1)??k?1(b?a)2222以上公式可用于估計對分次數(shù)k．2.迭代法迭代法的基本思想：由方程f(x)?0構造一個等價方程x從某個近似根0出發(fā)，令xk?1??(xk)k?0,1,2,??，{x}可得序列k，這種方法稱為迭代法．{x}若k收斂，即x??(x)limxk?x*k??，只要?(x)連續(xù)，有l(wèi)imxk?1?lim?(xk)??(limxk)k??k??k??即

２

{xk}xk*的極限x是x??(x)的根，也就是f(x)?0的根．x*??(x*)可知，當然，若迭代過程發(fā)散，迭代法就失敗．收斂的常用判別標準：x?[a,b]?'(x)當根區(qū)間[a,b]較小，且對某一0，明顯小于1時，則迭代收斂2)迭代法的加速：a)松弛法：*x?x?(1??k)xk??k?(xk)若?(x)與k同是x的近似值，則k?1是兩個近似值的加權平均，其中k稱?為權重，現(xiàn)通過確定k看能否得到加速．迭代方程是：x??(x)其中?(x)?(1??)x???(x)，令?'(x)?1?????'(x)?0，試確定?：當?'(x)?1時，有xk?1??(xk)????'(xk)11?k?1??k?1??'(xk)，1??'(xk)時，1??'(x)，即當xk?1?(1??k)xk??k?(xk)?k?，可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法：b)Altken方法：x*??(x*)，x*是它的根，x0是其近似根．11??'(xk)x??(x0)x2??(x1)設1，，由于x*?x2?[x*?x2]?x2?[?(x*)??(x1)]?x2??'(?)(x*?x1)，x2?x1?(x1)??(x0)?x?xx1?x0用差商10近似代替?'(?)，有x*?x2?*x2?x1*(x?x1)x1?x0，解出x，得(x2?x1)2*x?x2?x2?2x1?x0由此得出公式(1)xk??(xk)；(2)(1)xk??(xk)；(2)(1)2(xk?xk)(2)xk?1?xk?(2)(1)xk?2xk?xk，k?0,1,2,??

３

這就是Altken公式。3.牛頓(Newton)法（牛頓切線法）1)牛頓法的基本思想：f(x)?0是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法．f''(?)(x?x0)22!P(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)記：P(x)是一次多項式，用P(x)?0作為f(x)?0的近似方程．f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?P(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?0的解為x?x0?記為，一般地，記f(xk)xk?1?xk?f'(xk)k?0,1,2,??即為牛頓法公式。x1f(x0)f'(x0)(f'(x0)?0)試驗所用軟件及版本：MatlabR2023b主要內(nèi)容（要點）：分別用對分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛頓切法線等5種方法，求方程t?x?sin(x)的正的近似根，0?t?1．(建議取t?0.5．)４

試驗過程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常狀況記錄等）：1.對分法symsxfx;a=0.001;b=3;fx=0.5*x-sin(x);x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);ifffx==0;disp(['therootis:',num2str(x)])elsedisp('kakbkf(xk)')whileabs(ffx)>0.0001disp([num2str(k),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)])fa=subs(fx,'x',a);ffx=subs(fx,'x',x);iffa*ffx3.普通迭代法symsxfxgx;gx=sin(x)/0.5;fx=0.5*x-sin(x);disp('kxf(x)')x=1.1;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)>0.0001;disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx)]);x=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);k=k+1;enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx)])fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%d/n',x,k)01.1-0.3412111.7824-0.08648521.95540.05073931.8539-0.03323841.92040.02067751.879-0.01335761.90570.008443371.8889-0.00541681.89970.003443191.8928-0.0022023101.89720.0014028111.8944-0.00089584121.89620.00057125131.895-0.00036462141.89580.00023259151.8953-0.00014842161.89569.4692e-005所求的解是：x=1.895610,迭代步數(shù)是：163.松弛迭代法symsfxgxxdgx;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);dgx=diff(gx,'x');x=1.8;k=0;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);disp('kxw')whileabs(ffx)>0.0001;w=1/(1-dgxx);disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)])x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)])fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%d\\n',x,k)６kxw01.80.6875711.90160.6062421.89550.60624所求的解是：x=1.895515,迭代步數(shù)是：24.altken法symsfxgxx;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);disp('kxx1x2')x=1.5;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)>0.0001;u=subs(gx,'x',x);v=subs(gx,'x',u);disp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(u),'',num2str(v)])x=v-(v-u)^2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx,'x',x);enddisp([num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(u),'',num2str(v)])fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：%d\\n',x,k)kxx1x201.51.9951.822711.86721.91281.884221.89521.89571.895431.89551.89571.8954所求的解是：x=1.895494,迭代步數(shù)是：35.牛頓法symsxfxgx;fx=0.5*x-sin(x);gx=diff(fx,'x');x1=0.8;x2=1.5;x3=4;k=0;disp('kx1x2x3')fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=subs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);whileabs(fx1)>0.0001|abs(fx2)>0.0001|abs(fx3)>0.0001;disp([num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)])x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=subs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);enddisp([num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)])fprintf('所求的解是:x1=%f,x2=%f,x3=%f,迭代步數(shù):%d\\n',x1,x2,x3,k)７

kx1x2x300.81.541-0.813352.07661.610420.896791.91051.973-1.78561.89561.89844-1.90371.89551.89555-1.89551.89551.8955所求的解是:x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步數(shù):51.對分法簡單，然而，若在是有幾個零點時，只能算出其中一個零點，它不能求重根，在上有零點，也未必有。這就限制了對的實根。對分法的收斂速度較慢，它常用來試也不能求虛根.另一方面，即使分法的使用范圍。對分法只能計算方程探實根的分布區(qū)間，或求根的近似值．形式而，這時若初值素，其一，等價形式應滿足，由尋覓滿足定理條件的等價形式是難于做到的。事實上，假使的連續(xù)性，一定存在為的鄰域的零點，若能構造等價，其上有迭代也就收斂了。由此構造收斂迭代式有兩個要；其二，初值必需取自的充分小鄰域，這個鄰域大小決定于函數(shù)，及做出的等價形式。松弛法的加速效果明顯，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加速后也能獲得收斂．?'(xk)，在使用中有時不便利，而Altken公式，它的加速效果是十明顯顯的，松弛法要先計算它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂。5.牛頓法的收斂速度明顯快于對分法。牛頓法也有局限性。牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近，牛頓法是線性收斂的，且重根收斂很慢。另外，在牛頓法中，選取適當?shù)跏贾凳乔蠼獾那邦}，當?shù)某跏贾翟谀掣母浇鼤r迭代才能收斂到這個根，有時會發(fā)生從一個數(shù)值很小時。根附近跳向另一個根附近的狀況，特別在導數(shù)８

試驗結果報告及試驗總