點(diǎn)的合成運(yùn)動

點(diǎn)的合成運(yùn)動第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日第六章點(diǎn)的合成運(yùn)動主要研究內(nèi)容點(diǎn)的合成運(yùn)動的概念

點(diǎn)的速度合成定理

牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理

剛體的平面運(yùn)動第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－1點(diǎn)的合成運(yùn)動的概念

采用不同的參考系來描述同一點(diǎn)的運(yùn)動,其結(jié)果可以不相同,這就是運(yùn)動描述的相對性。

雨滴M的運(yùn)動

起重行車起吊重物的運(yùn)動

小球M沿直管向外運(yùn)動

第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－1點(diǎn)的合成運(yùn)動的概念研究的點(diǎn)稱為動點(diǎn),習(xí)慣上把地面或機(jī)架稱為定坐標(biāo)系(簡稱定系),以0xyz表示；把固連于運(yùn)動物體(如行車梁、直管)上的坐標(biāo)系稱為動坐標(biāo)系(簡稱動系)，以O(shè)x′y′z′表示。三種運(yùn)動

1)絕對運(yùn)動動點(diǎn)相對定系的運(yùn)動。動點(diǎn)在絕對運(yùn)動中的軌跡、速度和加速度，分別稱為動點(diǎn)的絕對軌跡、絕對速度va,和絕對加速度aa。2)相對運(yùn)動動點(diǎn)相對動系的運(yùn)動。動點(diǎn)在相對運(yùn)動中的軌跡、速度和加速度,分別稱為動點(diǎn)的相對軌跡、相對速度vr，和相對加速度ar。3)牽連運(yùn)動動系相對定系的運(yùn)動。點(diǎn)的絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動的主體是動點(diǎn)本身,其運(yùn)動可能是直線運(yùn)動或曲線運(yùn)動；而牽連運(yùn)動的主體卻是動系所固連的剛體,其運(yùn)動可能是平移、轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的運(yùn)動。第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理設(shè)動點(diǎn)M沿與動系Ox′y′z′(圖中未畫出)相固連的剛性曲線段AB運(yùn)動，曲線段AB又相對于定系Oxyz運(yùn)動。在t瞬時(shí),動點(diǎn)M在曲線AB上的M位置。經(jīng)過時(shí)間間隔⊿t后,動點(diǎn)運(yùn)動到M′位置。動點(diǎn)M的絕對位移為MM′。M1M′是t瞬時(shí)與動點(diǎn)M重合的點(diǎn)在⊿t時(shí)間內(nèi)的位移,稱為牽連位移，即動系上與動點(diǎn)在考慮瞬時(shí)相重合的那一點(diǎn)的位移稱為動點(diǎn)的牽連位移。得到速度合成定理

va=ve＋vr

結(jié)論：在任一瞬時(shí)，動點(diǎn)的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和。牽連速度

相對速度

第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理

用點(diǎn)的速度合成定理解題時(shí),動點(diǎn)和動系的選擇很重要,常常是解題的關(guān)鍵，其選取原則如下：1)動點(diǎn)和動系不能選在同一個(gè)運(yùn)動物體上，也就是說，動點(diǎn)對于動系必須有相對運(yùn)動。2)動點(diǎn)相對于動系的相對運(yùn)動軌跡要明顯、簡單(如軌跡是直線、圓或某一確定的曲線)，并且動系要有明確的運(yùn)動(如平動、定軸轉(zhuǎn)動等)。

第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理例6-1車廂以勻速v1=5m／s水平行駛。途中遇雨，雨滴垂直下落。而在車廂中觀察到的雨滴的速度方向卻偏斜向后，與鉛垂線成夾角30o，如圖所示，試求雨滴的絕對速度。第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理解：按題意，以雨滴為動點(diǎn)，將定系固連于地面。將動系固連于車廂。這樣,雨滴的絕對運(yùn)動是它相對于地面的鉛垂下落，相對運(yùn)動是雨滴相對于車廂的與鉛垂方向成30o夾角的直線運(yùn)動，牽連運(yùn)動是車廂相對于地面的水平平動速度分析如下：

畫出速度平行四邊形,如圖所示，則第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理例6-2如圖所示，半徑為R的半圓柱形凸輪頂桿機(jī)構(gòu)中，凸輪在機(jī)架上沿水平方向向右運(yùn)動，使推桿AB沿鉛垂導(dǎo)軌滑動，在φ

=60o的圖示位置時(shí)，凸輪的速度為V，求該瞬時(shí)推桿AB的速度。第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－2點(diǎn)的速度合成定理

解：凸輪與推桿都作平動,且二者之間有相對運(yùn)動。取推桿上與凸輪接觸的A點(diǎn)為動點(diǎn)，動系與凸輪固連,定系與機(jī)架固連。相對運(yùn)動為動點(diǎn)A相對凸輪輪廓的圓弧運(yùn)動，牽連運(yùn)動是凸輪相對于機(jī)架的水平直線平動，絕對運(yùn)動為A點(diǎn)的鉛垂往復(fù)直線運(yùn)動。速度分析如下；

根據(jù)速度合成定理，畫出速度平行四邊形,如圖所示,得第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－3牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理設(shè)動點(diǎn)M沿相對軌跡曲線AB運(yùn)動，而AB又隨動系一起作平動,如圖所示。設(shè)在瞬時(shí)t，動點(diǎn)位于AB上的點(diǎn)M，其絕對速度、牽連速度和相對速度分別為：va、ve、和vr。根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理，有經(jīng)過時(shí)間間隔Δt后，曲線AB隨動系平動到A'B'位置。動點(diǎn)運(yùn)動到位置M'，則在t+Δt瞬時(shí)，動點(diǎn)的絕對速度、相對速度和牽連速度分別為v'a、v'r、v'e，由速度合成定理，得：v'a=v'r+v'

e牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理

第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－3牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理例6-3凸輪機(jī)構(gòu)如圖所示。半徑為R的半圓形凸輪沿水平方向向右移動，使頂桿AB沿鉛直導(dǎo)槽上下運(yùn)動。在凸輪中心O和點(diǎn)A的連線AO與水平方向的夾角φ=60°時(shí)，凸輪的速度為v0，加速度為a0，試求該瞬時(shí)頂桿AB的加速度。第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－3牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理解：取頂桿AB上的點(diǎn)A為動點(diǎn),將動系固連于凸輪,定系固連于機(jī)架。動點(diǎn)A的絕對速度vA和絕對加速度aA皆為鉛垂方向。相對速度vr沿相對軌跡在點(diǎn)A處的切線方向，而相對加速度ar應(yīng)有切向和法向兩個(gè)分量：切向分量aτr沿相對軌跡在點(diǎn)A處的切線方向,大小未知；法向分量anr=v2r／R，方向由點(diǎn)A指向點(diǎn)O。牽連運(yùn)動為凸輪的水平直線平動。作速度平行四邊形如圖

由畫出各加速度矢量關(guān)系圖如圖

第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動：在剛體的運(yùn)動過程中，如果剛體內(nèi)部任意點(diǎn)到某固定的參考平面的距離始終保持不變，,那么稱此運(yùn)動為剛體的平面運(yùn)動。

剛體的平面運(yùn)動是常見的一種運(yùn)動，可通過運(yùn)動合成和分解的方法，將平面運(yùn)動分解為平動和定軸轉(zhuǎn)動兩種基本運(yùn)動。然后應(yīng)用合成運(yùn)動理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動剛體上任意點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式。第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動如圖所示,設(shè)平面圖形S作平面運(yùn)動,其位置可以由形S內(nèi)任一線段AB的位置確定。選定系Oxy固連于地面，若動系A(chǔ)x'y'固連在平面圖形S的任一點(diǎn)A上，A點(diǎn)即稱為基點(diǎn)。

設(shè)瞬時(shí)t線段AB在位置Ⅰ

，經(jīng)過?t后的瞬時(shí)t+?t，AB從位置Ⅰ到位置Ⅱ，討論如下：

以A為基點(diǎn)，AB先隨固連于A的動系A(chǔ)x'y'平動至位置Ⅰ'，再繞A'轉(zhuǎn)過角度φ到達(dá)位置Ⅱ以B為基點(diǎn)，AB先隨固連于B的動系Bx'y'平動至位置Ⅱ'，再繞B'轉(zhuǎn)過角度φ'到達(dá)位置Ⅱ剛體的平面運(yùn)動方程

則剛體的平面運(yùn)動方程為：

第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動平面圖形的角速度、角加速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)。平面角速度：平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度平動的速度和加速度與基點(diǎn)位置的選取有關(guān)。平面角加速度：平面圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角加速度平動和轉(zhuǎn)動

第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動

基點(diǎn)法:用速度合成定理求解平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法設(shè)一平面運(yùn)動的圖形如圖所示,已知A點(diǎn)速度為vA。瞬時(shí)平面角速度為ω,求圖形上任一點(diǎn)B的速度。平面圖形上點(diǎn)的速度分析

第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動A點(diǎn)的速度已知，選A點(diǎn)為基點(diǎn),則牽連運(yùn)動是隨同基點(diǎn)的平動,B點(diǎn)的牽連速度ve就等于基點(diǎn)A的速度vA,即ve=vA。(圖a)。

相對運(yùn)動是繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動，B點(diǎn)的相對速度vr等于B點(diǎn)以AB為半徑繞A點(diǎn)作圓周運(yùn)動的速度vBA,即vr=vBA,其大小=AB·ω,方向與AB連線垂直，指向與角速度ω轉(zhuǎn)向一致(圖b)。由速度合成定理，如圖c)所示,得

結(jié)論：在某一瞬時(shí),平面圖形上任一點(diǎn)的速度,等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)相對于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動速度的矢量和

第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動例6-4在圖示四桿機(jī)構(gòu)中,已知曲柄AB=20cm,轉(zhuǎn)速n=50r／min,連桿BC=45.4cm,搖桿CD=40cm。求圖示位置連桿BC和搖桿CD的角速度。第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動

解：在圖示機(jī)構(gòu)中,曲柄AB和搖桿CD做定軸轉(zhuǎn)動,連桿BC做平面運(yùn)動。取連桿BC為研究對象,B點(diǎn)為基點(diǎn)，則vC=vB+vCB,其中vB大小為AB·ω,方向垂直于AB,v的方向垂直于AB,在C點(diǎn)做速度合成圖,由圖中幾何關(guān)系知連桿BC的角速度為

根據(jù)vCB的指向確定ωBC為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。搖桿CD角速度為

ωCD=vC/CD=60.4/40=1.51rad/s

根據(jù)vC的指向確定ωCD為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向

第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動

速度投影法:利用速度投影定理求平面圖形上某點(diǎn)速度的方法

由圖得α、β分別表示vA和vB與AB的夾角

平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)的連線上的投影相等，這就是速度投影定理

第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動例6-5在圖中的AB桿，A端沿墻面下滑，B端沿地面向右運(yùn)動。在圖示位置，桿與地面的夾角為30°，這時(shí)B點(diǎn)的速度vB=10cm／s，試求該瞬時(shí)端點(diǎn)A的速度。解：AB桿在做平面運(yùn)動，根據(jù)速度投影定理有第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動速度瞬心法

速度瞬心：把構(gòu)件上某瞬時(shí)速度為零的點(diǎn)稱為構(gòu)件平面運(yùn)動在該瞬時(shí)的瞬時(shí)速度中心，簡稱速度瞬心若以速度瞬心P為基點(diǎn),則平面圖形上任一點(diǎn)B的速度就可表示為

剛體作平面運(yùn)動時(shí),其平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)繞瞬心轉(zhuǎn)動的速度。其速度的大小等于構(gòu)件的平面角速度與該點(diǎn)到瞬心距離的乘積,方向與轉(zhuǎn)動半徑垂直,并指向轉(zhuǎn)動的一方。此即為剛體平面運(yùn)動的速度瞬心法。第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動確定構(gòu)件平面運(yùn)動的速度瞬心,有以下幾種情況：

1)如圖a)所示,已知A、B兩點(diǎn)的速度方向，過兩點(diǎn)速度作垂線，此兩垂線的交點(diǎn)就是速度瞬心。2)如圖b)、c)所示,若A、B兩點(diǎn)速度相互平行,并且速度方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必在AB與速度矢量vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)P上。3)如圖d)、e)所示,若任意兩點(diǎn)A、B的速度vA∥vB，且vA=vB,則速度瞬心在無窮遠(yuǎn)處，平面圖形作瞬時(shí)平動。該瞬時(shí)運(yùn)動平面上各點(diǎn)的速度相同。4)如圖f)所示,當(dāng)構(gòu)件作無滑動的純滾動時(shí),構(gòu)件上只有接觸點(diǎn)P的速度為零,故該點(diǎn)P為瞬心。瞬心的位置不固定第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6－4剛體的平面運(yùn)動例6-6如圖所示,車輪沿直線純滾動而無滑動,輪心某瞬時(shí)的速度為vC，水平向右，車輪的半徑為R。試求該瞬時(shí)輪緣上A、B、D各點(diǎn)的速度。第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期日§6