數(shù)學分析思考題集

數(shù)學分析思考題集

目錄

第一章函數(shù)............................................................1

第二章數(shù)列極限........................................................8

第三章函數(shù)極限.......................................................22

第四章函數(shù)的連續(xù)性...................................................28

第五章導數(shù)與微分.....................................................35

第六章中值定理與導數(shù)應用.............................................38

第七章極限與連續(xù)性（續(xù)）...............................................48

第八章不定積分.......................................................52

第九章定積分.........................................................57

第一章函數(shù)

思考題：

1.何謂函數(shù)，函數(shù)關系，函數(shù)值？

2.函數(shù)產f(x)與方程產f(x)在概念上有何區(qū)別？

3.怎樣確定函數(shù)的定義域？

4.怎樣才算完全確定了一個函數(shù)？應該如何規(guī)定兩個函數(shù)相等？下面各對函數(shù)是

否相等？

(l)f(X)=X,g(X)=(4R

x2

(2)f(x)=x-l,g(x)=-----；

x+1

⑶f(x)=|x|,g(x)=Vx?；

(4)f(x)=Jx+1?Vx-1,g(x)=Vx2-1；

⑸f(x尸"x"：，g(x尸J(x-1)2+X;

U，X<1

-1,x<-1

(6)f(x)=-x,一14x41,g(x)=y{|l+x|-|l-x|}.

1,X>1

5.若函數(shù)產f(x)的反函數(shù)就是它本身，試問此函數(shù)的圖象有什么樣的特點？

6.下列函數(shù)是否是初等函數(shù)？說明理由.

⑴f(x尸|x|；(2)f(x)=(x+sinx)x8sx

'sinxX<-C

x>0

(3)f(x)=FT'(4)f(x)=-c<x<c.

10，

x<0X>C

7.設f(u)與u=(p(x)能復合為f((p(x)),

(1)若f(u)遞增(遞減)，(p(x)遞減，試研究f((p(x))的單調性.

⑵若f(u)為奇(偶)函數(shù)，(p(x)為偶(奇)函數(shù)，試研究f((p(x))的奇偶性.

(3)若f(u)為任意函數(shù)，(p(x)為偶函數(shù),試研究f((p(x))的奇偶性.

?1?

(4)若f(u)為有界函數(shù)，<p(x)為任意函數(shù)，試問f((p(x))是否一定是有界函數(shù)？

(5)若f(u)為任意函數(shù)，<p(x)為周期函數(shù)，試問f((p(x))是否一定是周期函數(shù)？

8.判斷下列命題是否正確，為什么？

(1)若f(x)在W[a,p]c(a,b)上有界,則f(x)在(a,b)上有界.

(2)設f(x)在[a,b]上有定義,且在V(a,P)u[a,b]上有界,則f(x)在[a,b]上有界.

9.適合下列條件的函數(shù)存在嗎？為什么？

⑴在R=(-8,+8)上嚴格遞增的有界函數(shù).

(2)在R=(-8,+8)上嚴格遞增的偶函數(shù).

(3)在R=(-8,+8)上嚴格遞減的奇函數(shù).

(4)在內為偶函數(shù)，且在R=(-8,+8)上又為奇函數(shù).

(5)在R上嚴格遞增的周期函數(shù).

10.設取)在R上有定義，且滿足f(x)*0,f(x-y)=f(x)-f(y),試求f(1990).

11.用肯定語氣敘述：在(-8,+8)上

(l)f(x)不是偶函數(shù)；(2)f(x)不是周期函數(shù)；

(3)f(x)不是單增函數(shù)；(4)f(x)不是單調函數(shù).

12.用肯定語氣敘述：

(l)f(x)在[a,b]上無下界;

(2)f(x)在[a,b)上沒有零點；

(3)f(x)在(a,b)上沒有比中點函數(shù)值大的點.

13.若“X)是一一對應的奇函數(shù)，試證其反函數(shù)也是奇函數(shù).

14.設f(x)滿足關系式2f(x)+f(—)=2(k為常數(shù))，證明:f(x)為奇函數(shù).

XX

15.設f(x)為(-8,+8)上的奇函數(shù)，且在[0,+8)上嚴格增,求證:f(x)在(-8,+

8)上嚴格增.

16.設OWaWl,函數(shù)f(x)及g(x)對任意的X“X2分別滿足

f[aX]+(l-a)x2]>af(x1)+(l-a)f(x2)^.

g[aX[+(l-a)x2]<ag(x1)+(l-a)g(x2)

且g(x)為單減函數(shù)，試證:

?2?

g[f(ax)+(l-a)x2)]<ag[f(x,)]+(l-a)g[f(x2)].

17.設f(x)在(-8,+8)上嚴格增，且恒有f[?x))]=f(x),試證：必有f(x尸x.

18.若f(x)是在(-8,+8)上單增的偶函數(shù),且出0)=0,則f(x)=0.

19.若f(x)滿足條件：對VxeR有f(x+6尸-Rx)(2>0),

證明：f(x)是以。為周期的函數(shù).

20.設常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)*0,且f(x+a)=」一，xeR,試證：f(x)是以2a為周

f(x)

期的周期函數(shù).

21.若y=f(x)(xeR)的圖形關于兩直線x=a與x=b(a〈b)對稱，試證f(x)為周期函數(shù).

22.設f(x)和g(x)分別是以加和3為周期的函數(shù)，且5=三(m,n為互質的正整數(shù)),

Q,m

證明：

F(x)=f(x)+g(x),

G(x)=f(x)g(x),

是以0=m。i=n22為周期的函數(shù).

T

23.證明：若f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，則心x)(a>0)是以上為周期的周期函數(shù).

a

24.函數(shù)尸f(x)具有反函數(shù)的充要條件是什么？

25.選擇填空：

(1)奇、偶函數(shù)的定義域一定是.

(A)R(B)關于原點對稱的區(qū)間

(C)關于原點對稱的點集(D)A、B、C都不對

⑵函數(shù)f(x)=|xsinx|ecosx,xe(-oo,+oo)是.

(A)有界函數(shù)(B)單調函數(shù)

(C)周期函數(shù)(D)偶函數(shù)

l,x為有理數(shù)

(3)函數(shù)D(x尸是________

0,x為無理數(shù)

(A)非奇非偶函數(shù)(B)有界函數(shù)

(C)非周期函數(shù)(D)偶函數(shù)

?3?

(E)有界周期偶函數(shù)

(4)若f(x)為奇函數(shù)，則卜列款中的函數(shù)也是奇函數(shù).

(A)f(x)+a(a\O,為常數(shù))(B)f[f(x)]

(C))f(-x)+a(a#O,為常數(shù))(D)f(x)+f(-x)

2-x2,|x|<l[2,|x|<l

(5)設f(x)<(p(x)=

2+x2,|x|>110,|x|>l

則復合函數(shù)f[(p(x)]由.款表示.

-2,|x|<l6,|x|<l

(A)f[(p(x)]=(B)fl<p(x)]=

2,|x|>l2,|x|>l

2+x2,|x|<12+x2,|x|<1

(C)f[<p(x)]=(D)f[(p(x)]=

2,|x|>l2-x2,|x|>l

2X

⑹函數(shù)尸F(xiàn)7T的反函數(shù)是一

(B)y=log2x-log2(l-x)

(C)y=I唯自(D)y=lg±

補充題

1.(1)癡rhal對嗎？

(2)如果在|x|>b中去掉絕對值記號，應該怎樣寫？

(3)試用|a+b|,|a-b|表示Max{a,b},Min{a,b}.

2.證明下列不等式:

(l)n!>2n(n>3)

(2)2n>n2(n>5)

(3)nn<(n!)2(n>3)

/八132n-l1

(4)------------<―/

242n怎71

n+1

(5)n!<(n>D

?4?

(6)若x>-l,貝ll(l+x)n>(1+nx)(neN)(這個不等式稱為Bernoulli不等式)

⑺設%>0(i=l,2,n)Kaj-a2-*-an=L則ai+az+…+an>n.

⑻設ai>0(i=l,2,…,n),貝ij

我4-04-j~j-----------j-

------1---------1-,??d-------

(9)|X+X!+X2+---+Xn以X|-(|X]|+|X2|+--+|xnI)

(10)設ai,a2,an；b|,b2,…，bn為兩組實數(shù)，則

Eaibi

i=li=l

3.解下列不等式

(l)|2x+4|>10；(2)|x(x-l)|<0.1；

(3)|x-5|<|x+l|；(4)|x+l|-|x-l|<l；

(5)|x+2|+|x-2|412;(6)|x+2|-|x|>l;

⑺2<—'—<3.

|x+2|

4.設f(x)=arctgx,g(x)=tgx,求f[g(x)與g[f(x)].

、人fO,x<0f0,x<04

5.設f(x)=(,g(x)={2n(求f[g(x)]；g[f(x)]；flf(x)]；g[g(x)].

[x,x>0(-X2,x>0

ln(l+x),0<x<2

6.設f(x)={2x,2<x<4,求RI),f(2),人兀)，f(4.5).

6-x,4<x<6

7.驗證：

Max{f(x),g(x)}=y[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]

Min{f(x),g(x)}=^-[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]

8.設f(x),g(x)在(a,b)上單增，求證:

?5?

(l)Max{f(x),g(x)}(2)min{f(x),g(x)}

也在(a,b)上單增.

9.設f(x)在(0,+8)上有定義，X|>0,x2>0,求證：

若g單增，則f(X|+X2)2f(Xi)+f(X2).

X

10.泮徑為a的圓鐵片，自中心剪去一角形，將剩余部分(中心角為0)圍成一個

無底圓錐，試建立圓錐容積V與中心角。之間的函數(shù)關系.

11.證明：函數(shù)f(x尸a、(a>0,a*1),對一切實數(shù)x/x?恒有

f(2El±^)<l[f(Xi)+f(X2)].

12.設f(x)=ae*+be'(a^-b),證明：

a+b

f(2x)-f(-2x尸F(xiàn)(x)-F(-x).

13.設f(x尸1g：―,試證：

1+x

f(y)+f(z)=f(^).

l+yz

14.設忖=衛(wèi)3，解方程f(」一)=f(2).

2x-lx-13

15.⑴設fTx+LnxZ+l，求f(x).

Xx

(2)設f(sin')=1+cosx,求f(cos').

22

16.設一)為(-8,+8)上的奇函數(shù)，霞1內，且對任意*值均有：f(x+2)-f(x)=f(2)

⑴試用a表示f(2)與f(5)；

(2沖」a取什么值時，f(x)是以2為周期的周期函數(shù)？

17.研究下列函數(shù)有界性

(l)f(x)=}；

1+x-

⑵f(x)=x2分別在(a,b汲(-8,+8)上;

?6?

(3)f(x尸普;

x+2

(2-

18.在物理及工程技術中還用到“雙曲函數(shù)”，它們的定義為:

雙曲正弦shx=e*Y*

2

雙曲余弦chx=e'+e'

2

kQX_-x

雙曲正切thx=^c^Y=^~—

chxex+ex

雙曲余切91?=仝=吧匚

shxex-e-x

試證：

(l)ch2x-sh2x=l

(2)sh(x+y)=shxchy+chxshy

(3)ch2x=ch2x+sh2x,sh2x=2shxchx

(4)-^y-=l-th2x

chx

-I2

(5)shx=ln(x+Vx+1)(_oo<x<4-oo)

ch-Ix=ln(x+Vx2-1)(x>1)

?7?

第二章數(shù)列極限

思考題：

1.下列說法能否表明a是數(shù)列｛a，的極限(與lima=a的定義是否等價？)

n->oon

⑴對網(wǎng)>0,3N,當n>N時，Wan-a<￡.

(2)對0￡>0,存在無限多項使|an-a|<￡.

3)對V￡>0,3N,當n》N時，有

(4)對V￡>0,3N,當n〉N時，有

⑸對W￡>0,3N,當n>N時，有%-a|<k￡,(其中k是與￡,n無關的常數(shù)).

(6)對W￡>0,3N,當n>N時，有|an-a|<N￡.

⑺對V￡>0,3AeR,當n>A時，有

(8)3N,對V￡>0,當n>N時,^|an-a|<￡.

(9)^VeG(a,+oo)(a>0),3N,當n>N時，W|an-a|<￡.

(10)對TE：0<￡<l,3N,當n>N時，<|an-a|<s.

(11)對無限個￡>0,3N,當n>N時，有

(12)對TmeN,3N,當n>N時，有

m

(13)設為->0(k->8),￡k>0,對每個￡…3Nk,當n>Nk時有bn-a|<￡k.

2.有人說,limxn=a定義與“對V(a,p)(aw(a,p)),mN,當n>N時，有x0w(a,P)

nfoo

等價，對嗎？

3.?個數(shù)列去掉或添加或改變有限項是否會改變它的收斂性與它的極限值？

4.證明：設a,b為兩個定數(shù)，

⑴若對,>0都有a<b+e,則a4b；

(2)若對V￡>0都有|a-b|<E,則2=h

5.若｛aj收斂，｛bn｝發(fā)散,則｛an±bn｝、｛anbn｝收斂性如何?舉例說明.

6.｛aj與｛bn｝均發(fā)散，則也口士小｝、｛a/J是否發(fā)散?舉例說明.

?8?

7.若liman=a,是否必有l(wèi)ima.=a?又能否斷定lim=1.

n—>oon—>oon—>ooa

n

8.若對V￡>0,3N,當n>N時,?|an+1-an|<E,則｛a#是否收斂？

9.下列命題是否正確？為什么？

(1)設出1洱=0,出力為任意數(shù)列,則同@也=0.

n-?oon->oo

(2)若limxy=0,則可斷定或limXn=0或lim丫門=0.

nT8nnn->conT8

⑶limxn=0=>lim|xn|=0.

n->oon->oo

(4)若同｝收斂于a,則將an的順序重新排列后所得的數(shù)列｛a”｝仍收斂于a.

10.下面的計算方法有無錯誤，原因何在？

(1)1=lim—=lim(—+—+???+—)

nTconn->8nnn

=lim—+???+lim—=0.

n->xnnr8n

(2)lim(l+-)n=lim[(1+-)(1+-)???(!+-)]

n->8nnf8nnn

=lim(l+—)lim(l+—)???lim(l+—)=1.

nT8nn-?oonmoon

n個

111t—A—'

⑶lim(1--------)(1--------)???(1——)=1?1…1=1.

nfocn+1n+22n

(4)假設limq11=a(q>1),則因口e=q?q”，兩邊同時取極限得：q=q.a,從而a=0,

n->oo

故有l(wèi)imqn=O(q>l).

n->oo

(5)limVn=limnn=nO=1.

n->oonfoo

11.若lim(yn-Xn)=O,limXn=a,求證limya,請看下面的證法是否正確?

n->oon->oon->cc

?9?

,/0=lim(yn-xn)=limyn-limxn=limyn-a

n->oon—>aon->oon->8

/.limy=a.

nT8n

定義：在給定的數(shù)列ai,a2,…，a"，…中，如果任意地挑選出無窮多項，并按照原

有的次序排列出

a

an,>n2>…，a”，…(ni<n2<-<nk<--)

就得到一個足標為k的數(shù)列｛a。、｝,稱為原數(shù)列的子數(shù)列.

12.若數(shù)列｛a。｝的兩個子歹U｛a2n｝與都收斂，則｛aj是否也收斂？

13.舉例給出滿足下列要求的數(shù)列

(1)無界數(shù)列，但不趨于無窮；

(2)非單調的收斂數(shù)列；

(3)無收斂子列的數(shù)列.

14.若把滿足柯西準則條件的數(shù)列叫做柯西列(或基本列)

⑴若對X/￡>0,3N,當n>N時有|an-aN|<￡，能否斷定俑｝為柯西列？

⑵若對網(wǎng)>0和peN,3N,當n>N忖有|an+p-an|<￡,

能否斷定｛a”｝為柯西列？

(3)｛an｝、｛bn｝為兩個柯西列,能否斷定｛an+bn｝、履?卜｝也是柯西列？

15.下面的證法有無錯誤？

設Xn=l+:+…+!，(n=l,2,???)>證明｛X」收斂.

n+1n+1n+1

Vs>0,取N=[E-1]+1,則當n>N時,就有凡+…"<￡.

8

根據(jù)柯西準則知數(shù)列｛Xj收斂.

16.用“￡—N”語言敘述｛an｝不是柯西列.

?10?

17.數(shù)列｛X/收斂的充要條件有哪幾個？

18.證明數(shù)列｛Xn｝發(fā)散有哪些方法？

19.用肯定語氣敘述

(l)｛Xn｝不是單調數(shù)列；

(2)數(shù)列｛X0｝無上界；

(3)區(qū)間［a,b］上每個數(shù)都不是數(shù)列｛Xn｝的極限；

(4)limxnw+oo.

n->oo

若對任給次。對使|色片,

20.xeR,>0,VNeN,3n0>N,x?—x

能說明數(shù)列｛Xn｝具有什么性質？

22.證明：若limXn=+<?,則在｛Xn｝中至少有一?項Xn“，使

n—

Xn。、(n=l,2,-).

23.選擇填空

(1)若｛a。｝有界，則｛a。｝.

(A)收斂(B)發(fā)散

(C)可能收斂，也可能發(fā)散(D)A、B、C中結論都不對

(2)若｛a。｝無界，則｛a。｝.

(A)為無窮大量(B)發(fā)散

(C)可能收斂，也可能發(fā)散(D)A、B、C中結論都不對

(3)若佰計壯｝發(fā)散，則.

｛、｝都發(fā)散

(A)｛an｝>(B)｛an+bn｝無界

(C)｛aJ與｛b_｝中至少有一個發(fā)散(D)A、B、C中結論都不對

(4)若Hma-a,limb=a,則數(shù)歹(Ja］，也，a2,b2,…，a=b-…

n->8n->oon

(A)收斂，但極限未必是a(B)一定收斂于a

(C)未必收斂(D)A、B、C中結論都不對

(5)設｛aj中有無窮多項貝U｛an｝=.

?11?

(A)可能是正無窮大量(B)可能是無窮小量

(C)一定收斂于1(D)A、B、C中結論都不對

(6)若｛aj中有無窮多個子列都趨于a,則｛aj.

(A)—?定收斂于a(B)可能是無窮大量

(C)未必收斂，但一定不是無窮大量(D)A、B、C中結論都不對

(7)設非常數(shù)數(shù)列｛a。｝收斂，且lima_=a,則.

n—>co

(A)｛a。｝為單調有界數(shù)列

(B)｛a,J非單調有界數(shù)列

(C)在｛a0｝中必存在一個子列是單調有界數(shù)列

(D)在｛a」中不一定存在單調有界的子列

補充題

1.按定義證明下列極限

n2-n+5]_

(1)lim(2)lim[ln(n+l)-lnn]=0

n->83n2+2n-43n—>oo

2.求下列極限

n+Vn加「11+2+…+nn

(l)lim(2)hm--------------------

nT8-5nnrooln+22

N1人.(132n-l

⑶出*1+2+…+nnTco"nn

C32n-n(6)limV2sin2n+cos2n

I1TOO

(7)lim(l+x)(l+x2)(l+x4)---(l+x2")(|x|<l)

n->oo'八'\

aa

(8)lim--(a^-1)⑼lim(a>0)

n->8]+anf81+a+…+a

八1+/+%+…+詬

(10)lim---------------------------(11)lim；

n->8nn->oo'

(12)limVn(\/n+1-；Vn)

?12?

1

(14)lim(sinVn+l-sinVn)(15)lim-1

n—>oon2

135…(2n-l)2n2

(16)limni(17)lim^n+n

n->ooV245…(2n)moo

(18)lim(」-+」一+???+白

nT8(n+ln+22nJ

提小：利用limf1H—i---F——lnn]=C

C為歐拉常數(shù)

2nJ

n

(19)limVsi（提示：利用兩邊夾定理）

—8k=]

(20)lim1(21)limsin(兀Jn?+1)

m->oonfoo\/

3.設｛aj為正項數(shù)列，且lim9=0,證明｛a"當n充分大后為單調數(shù)列.

n->oo3an

4.證明：若數(shù)列｛a#無上界，則必有嚴格增加且趨于+8的子數(shù)列.

5.若lim%=*0￥0）且liman=0,貝Ulimb—O.

n->oobn->oonroo

6.設數(shù)列｛a#滿足Ova^vl,（l-ajan+i〉：，證明｛aj單調增加，且liman=：.

4n-?<?2

7.設｛aQ為單調數(shù)列，它的某一子列a->a（kfoo）,試證liman=a.

n->8

8,設limXn=a,limy=b,求證limMax(Xn，yj=Max(a,b).

nfoon—>oonn->oc

9.利用柯西收斂準則，判斷下列數(shù)列｛an｝的收斂性.

coslcos2!cosn!

(Da,,----------1------------+???+

1-22-3n(n+l)

acos2+bsin2acos3+bsin3acosn+bsinn

(2)a=------------+------------+…+——--------—（a,b是常數(shù)）

n2(2+sin2!)3(3+sin3!)n(n+sinn!)

⑶a0=1+*+*+…+2(hWl)

111

(4)an---------1---------1-???H----------(n=2,3,…)

In2In3Inn

?13?

(5)若對Vn2l,有%+2-211+||另*+|-21,|,證明色11｝收斂.

[八、4、TVxxxsinx

10.TAIIE：hmcos—cos-cos—=----.

n—oo242nx

11.利用單調有界定理求證下列極限

(1)求數(shù)歹卜力—————(n=l,2,…)的極限.

(2n-l)!!

(2)設數(shù)列｛xj滿足X]<1,且(2-Xn)Xn+i=1，求limXn.

n->oo

(3)證明數(shù)列xn=+++J)收斂.

12.^an>0(n=L2,…)且liman=a,證明：

⑴lim---：------r=a，

n-?oc11I

-------1----------F,??H-------

ala2an

(2)lim出港2…an=a.

n—>8

13.設an>0(n=l,2,…)且lim2田?=a,證明：lim=a.

14.設｛aj為單增數(shù)列，S-J+X…+%，試證：若HmSn=a,則lima^a.

nn->oon—>00

例題：

例1.試證：Xn=l+'+…+!-lnn收斂(其極限值稱為歐拉常數(shù)).

證:

(注意(1+J)嚴格增且趨于e)

xn>0,(n=L2,??,)

?14?

（?二［1+，）'且fe（當nf8時））

可見｛x"為單調減少，且有下界的數(shù)列，所以收斂.

記其極限值為C,故有

r11?1廠

hm1+—+…+——Inn=C.

nfoo12n7

Oo|A,

例2.設0<a[<b],a=~~Ir'n-',b=Van-ibn-i6=2，3,???)-試證{a1,}單增,

nan

n-i+bn-i

｛、｝單減，且有相同的極限.

證：①先證anWbn

由%L=--------2anib：T=2曲陽憶］.W1立明

bn（a.l+be）向KTan-l+bn-l

②次證｛an｝t

,,an+lan

③再證{>}I

bn+!=TaAwJbMn=bn

從而有aiWanW,Wbi，(n=l,2,,??)

=>{a},{bn}都收斂，設limaj,=a,limb”=b.

nnT8nT8

=>b>0

④后證a=b

在bn=Jan.bnT中令11->8得b=Tab

Vb(Vb-Vaj=0,J，bw0a=b.

例3.證明施篤茲（stolz）定理.

XnXn1

設!)yi>y(n=L2,…)2)limy=+oo3)lim--=a

n+nnroon

n—8yn-yn_I

?15?

則lim.ulim'n-Xn-i=a

…*zooyn-ynT

證：對V￡>0,3N,當n>N時有

XX

---n-------n---1---a<—.

yn-yn-i2

于是下面的分數(shù)

XN+1~~XNXN+2-XN+I…Xn-1Xn-X.]

yN+l-yJy“2-YN+1''yz-yn-2'Yn-Yn-l

都在a-三和a+工之間,從而

22

ex-xs

a一一<-n---N—<a+-

2yn-yN2

Xn-XN。8

即-------------------a

ynf2

可得

XaXX

鼠-aWN-YN!n-Na

ynYnYn-YN

由上知，當n>N時，右端第二項小于芻.

2

又當nf8時，第一項■*0,故mN，2N,當n>N，時，第一項<￡,于是，當n>N，

2

時，有3_—a<￡.

yn

/.lim—=a.

n—8Vc

注1：若將條件3）改為lim占口吐=+oo（或-oo）,結論仍然成立.

—8yn-yn_1

注2：吟型stolz定理）

?16?

設對一切充分大的n,｛，｝嚴格遞減，且liman=limbn=0,若lim殳~加11?存在,

n—>oon—>oonfooh—D,

則lim%也存在，且limK=lim%一,1

…、…刈n^xbn-bn+|

證：設1而%-%以=s,則對▼￡>(),3N,當n>N時有

n->Kbn-bn+1

S-￡<an-an+l<S+￡=

bn-bn+l

(S-￡)(bn-bn+1)<an-an+I<(S+￡)(bn-bn+1)

把上式中n改為n+1,n+2,—,n+p-1,并把結果相加得

(S-E)(bn-bn+p)<an-an+p<(S+￡)(bn-bn+p)

當p-8時，上式取極限得

(S-8)bn^an^(S+￡)bn

故當n>N時，有

%-SWe.

lim9=S.

n-?8bn

注3.應用stolz定理立得

⑴若liman=a,貝ljlim斯+%+_=a.

lk+2k4--+nk也加）=*

⑵lim

n-?oc

⑶若lim(an+i-an)=a，則lim~=a.

nT8n->oon

(4)設有兩個數(shù)列⑶]｝,｛3｝且bn>0,limYbk=+<?,

n^°°k=l

七「a+a

貝mIuJ有l(wèi)im-i------2--------*-~-an-=l..im-a.

n->8b]+b2+---+bnn—cobn

n

(5)設ak〉0,limVa=+co,limb=b,則

n->ockn->sn

k=l

?17?

+ab+---+ab

hrm5---2-2------n=bn,

n-83j+a2+---+an

(6)設空門｝滿足Xn—X「2fo(nf8),則

limXp+Xn-1=0.

n—oon

s+s++s

(7)設數(shù)列｛與｝,令￡=..o!-n.,(n=o,l,2,-)

n+l

對nNl,再設=Sn-Si，證明：

若limna*。，且｛￡｝收斂，則｛s#也收斂，且limSn=lim&.

n—oon—>8nfoo

in

(提示：vsn-5n=---yKak,再用stolz定理)

n+6

(8)若lima”=a,貝I」lim為+2.2+.一+叫=a

n->8n-?oo14-2+,,,+Fl

⑼若iiman=a則lim為+2a2、…+叫=a

nT8n->oo/2

例4.證明：lim(1+—+—+???4--)=e.

nTco1!2!n!

證：i己Xn=(l+1)n=l+nL+^^(L)2+-+(，)n

nn2!nn

=2+—(1--)+—(l--)(l--)4-?-+—

2!n3!nnk!nn

固定k,令nf+00,在上式兩端取極限

于是當k=n時

?18?

e22+2+」>xn

2!3!n!n

而limxn=e,lim(2+—+???+—)=e

n->oon->co2!n!

例5.證明limsinn不存在.

n->oo

證：“反證法”假定｛sinn｝收斂，設limsinn=a.

n->co

則limsin(n+2)=a,有

n—>QO

lim[sin(n+2)-sinn]=lim2sinlcos(n+l)=0

n-?oon->ao

=>limcos(n+1)=0,=limcosn=0

n-><x>n->8

=>limsin2n=lim2sinncosn=0

n—>oon—>8

=>a=0

從而limsinn=0,limcosn=0

n—>con-?oo

/.limsinn不存在.

n—8

例6.設liman=a,limbn=b,證明：

n->oon->oo

ajb+ab_+---+ab

lim—L-n°---2---n--1-------nL=1ab.

n->xn

證：由an->a,bn-b可得c,(n=1,2,…)

A』]@|+昆@|+…+*―a|

n

B_b|+b-b|+…+h)°

n

故對VE>0JN,當n>N時，An<￡,Bn<s,

?19?

從而當n>N時，有

aE+a2bni+…+amQb=⑶―-ab)+…+伯出-ab)

nn

_(a)bn-a1b+a1b-ab)4----+(anb1-anb+anb-ab)

n

<aQn-b)+a2(bz-b)+…+an(E-b)⑶⑹+㈣―a)+…+(an—a)

+|b|

n

<cBn+|b|An<C8+|b|e=(c+|b|)8

+ab_)+---+ab

/.hm°——7n----------!nL-L1=abu.

n->ocn

例7.證明lim旭2=0(a>l).

n->oon

證：Ve>0=>ae>1vlimVn=1,故

n->oo

3N,當n>Nff寸，有Viiva*

從而—logn<￡

na

即當n>N時有—logn-0=—logn<e

nana

lim—logan=0.

n->con,

例8.若已知lim盛二!―加p(p>0,為常數(shù))，

n->oo1

n

「..zVa+Vb+Vcn.

求hm(-----------------)(a>0,b>0,c>0).

n->co3

...(?+布+%n

3

%+五+存3

3

=(]?—+?+贓-3產+/+殍3

?20?

3

嗚+無+方-3「八嗚+V5+晚-3、峪+昕+丈一31

-----------------nln[(l+------------------)]

1../嗚-1蜥-1\/c-1T

—hm(—：—H---+-：—)ln[lim(l+h)h]

3nfsI?InTs

...原式=ennn

其中h=嗚+孤+--3…

-[lna+ln