數(shù)學(xué)20年21年強(qiáng)基計(jì)劃試題

2021年和2020年高校

強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

（北大，清華，復(fù)旦，交大，中科大等）

目錄

1.2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................5

2.2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................9

3.2021年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................15

4.2021年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.................17

5.2021年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.............18

6.2021年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（廣東）.....20

7.2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................23

8.2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................24

9.2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................30

10.2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................40

11.2020年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題................47

12.2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班數(shù)學(xué)試題..............52

13.2020年武漢大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................54

2

強(qiáng)基計(jì)劃簡(jiǎn)介

一、強(qiáng)基計(jì)劃

2020年1月，教育部（教學(xué)）1號(hào)文件指出，自2020年起，在部分高校開

展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃），取代原有的高校自主招生，突出

基礎(chǔ)學(xué)科的引領(lǐng)作用，重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、歷史及哲學(xué)等相關(guān)專

業(yè)招生.強(qiáng)基計(jì)劃的主要目標(biāo)是選拔并培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜

合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的人才.

二、36所強(qiáng)基計(jì)劃試點(diǎn)高校名單

北京大學(xué)、中國人民大學(xué)、清華大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、北京理工大學(xué)、中國

農(nóng)業(yè)大學(xué)、北京師范大學(xué)、中央民族大學(xué)、南開大學(xué)、天津大學(xué)、大連理工大學(xué)、

吉林大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、上海交通大學(xué)、華東師范大

學(xué)、南京大學(xué)、東南大學(xué)、浙江大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)、廈門大學(xué)、山東大學(xué)、

中國海洋大學(xué)、武漢大學(xué)、華中科技大學(xué)、中南大學(xué)、中山大學(xué)、華南理工大學(xué)、

四川大學(xué)、重慶大學(xué)、電子科技大學(xué)、西安交通大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、蘭州大學(xué)、

國防科技大學(xué).

三、強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)專業(yè)

強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物及歷史、哲學(xué)、古文字學(xué)等相關(guān)專業(yè)

招生.

3

四、錄取方式

高校強(qiáng)基計(jì)劃以考生綜合成績(jī)擇優(yōu)錄取，大部分高校校測(cè)成績(jī)占綜合成績(jī)的15%,

高考成績(jī)占綜合成績(jī)的85%.高校強(qiáng)基計(jì)劃主要考筆試、面試，考試時(shí)間集中安

排『2天內(nèi)進(jìn)行，考生在高考后得知自己是否入圍，并決定是否參加高校校測(cè).

另外，五大學(xué)科競(jìng)賽銀牌及以上的考生可以通過強(qiáng)基計(jì)劃破格入圍生報(bào)考，部

分高校會(huì)給予破格入圍考生校測(cè)滿分.

五、培養(yǎng)模式

強(qiáng)基計(jì)劃不僅聚焦拔尖人才的選拔，更注重人才的培養(yǎng).按照“一校一策”的

原則，高校對(duì)通過強(qiáng)基計(jì)劃錄取的學(xué)生單獨(dú)制定培養(yǎng)方案，單獨(dú)編班，配備一

流的師資和學(xué)習(xí)條件，實(shí)行導(dǎo)師制、小班化等培養(yǎng)模式，探索本-碩-博銜接培

養(yǎng)模式.

六、時(shí)間安排

3月底前，高校公布招生簡(jiǎn)章；

4月，考生網(wǎng)上報(bào)名；

6月，考生參加統(tǒng)一高考；

6月25日前，各?。▍^(qū)、市）提供高考成績(jī)；

6月26日前，高校確定參加考核的考生名單；

7月4日前，高校組織考核；

7月5日前，高校根據(jù)考生的高考成績(jī)、高校綜合考核結(jié)果及綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)等

折合成綜合成績(jī)，擇優(yōu)錄取.

4

2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

本試卷共20題，部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.

1.已知。為△A8C的外心，AB.AC與△08C的外接圓交于。、E.若OE=Q4,則

N08C二口

2.方程V+r="5的正整數(shù)解(),,/⑷的組數(shù)為?

3.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足以+bc+cd+而=1,則a?+26+3。2+4屋的最小值為.

2021r媼

4.已知y=，則y的個(gè)位數(shù)字是________.

i=oL7.

5.若平面上有100條二次曲線，則這些曲線可以把平面分成若干個(gè)連通區(qū)域，

則連通區(qū)域數(shù)量最大值為.

6.已知實(shí)數(shù)xe[O,l).數(shù)列｛x｝滿足：若x<1,貝(,若x則

oA〃-12〃M—1w—12

x“=2x,i-l(〃=1,2,…).現(xiàn)知XQ=X2O21，則可能的沏的個(gè)數(shù)為.

5

7.設(shè)為=122…21,若則〃的最小值為.

8.已知a、b、c是二個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)且滿足〃=ab+c、b=bc+a、

c=ca+b.貝|a+/?+c=_□.

9.如圖，AQ為aABC中ZA的平分線.過A作AD的垂線AH,過C作

CE"AD交AH于點(diǎn)E.若BE與4。交于點(diǎn)尸，且AB=6,AC=8,BC=1.貝|

CF=O.

W、、、、

%

10.如果一個(gè)十位數(shù)尸的各位數(shù)字之和為81,則稱尸是一個(gè)“小猿

數(shù)”.則小猿數(shù)的個(gè)數(shù)為__________.

6

11.設(shè)%是與g的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，兒是與病的差的絕對(duì)值

最小的整數(shù).記[1]的前〃項(xiàng)和為S的前〃項(xiàng)和為7.貝U2T-5的

n100100

值為________

12.設(shè)正整數(shù)走2021,且“5-5標(biāo)+4〃+7是完全平方數(shù).則可能的〃的個(gè)

數(shù)為.

13.方程r-2孫+3y2-4x+5=0的整數(shù)解的組數(shù)為.

14.現(xiàn)有7把鑰匙和7把鎖.用這些鑰匙隨機(jī)開鎖，則A，A

這三把鑰匙不能打開對(duì)應(yīng)的鎖的概率是.

15.設(shè)正整數(shù)加，”均不大于2021,旦＜聲竺\則這樣的數(shù)組（，〃，〃）

n+1n

且個(gè)數(shù)為.

16.有三個(gè)給定的經(jīng)過原點(diǎn)的平面.過原點(diǎn)作第四個(gè)平面內(nèi)使之與給

定的三個(gè)平面形成的三個(gè)二面角均相等.則這樣的。的個(gè)數(shù)是

7

17.若a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，且a?+〃2+。2_帥_歷_恒=25,貝|a+〃+c的

最小值為.

18.已知數(shù)列｛斯｝滿足6=2,%+i—2""?數(shù)列他｝滿足6=5,"=5瓦.若

正整數(shù)n滿足">"25，則機(jī)的最小值為.

19.若兩/2,…，巧為非負(fù)整數(shù)，則方程兩+%2+…+即=兩電…巧的解有

________組.

20.已知a,b,ceR+,且(a+b-c)(1+；-口|=3,求(4+〃+,4+工什1］的

最小值.

8

2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.

1.甲乙丙丁四人共同參加4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽第一名到第四名

的分?jǐn)?shù)依次為4、3、2、1分.比賽結(jié)束甲獲得14分第一名，乙獲得

13分第二名，則().

A.第三名不超過9分

B.第三名可能獲得其中一場(chǎng)比賽的第一名

C.最后一名不超過6分

D.第四名可能一項(xiàng)比賽拿到3分

以定義沙武,則（…（（2*3）*4）…）*21=（）.

3.已知在cosUisin：則（）.

55

A.x4+X3+x2i-①）G-涼）（工-“）（冗-4）

B.x4-x3+x2一x+l=（x—幼（X—〃）G—蘇）（x—4）

C.x4-x3-x2=-c3

D./+%3+^2-工-1=（工-0（工-蘇）（工-加）（工-冊(cè)）

9

4.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得A3-依-1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.（-003）B.Q3#C.沖:產(chǎn)

4k，？DU1）1,2b

5.已知區(qū)為高斯函數(shù)，「川+「川+「'Lx解的組數(shù)為（）.

團(tuán)團(tuán)

A.30B.40C.50D.60

6.已知膽，〃最大公約數(shù)為10!,最小公倍數(shù)為50!,數(shù)對(duì)（見〃）的組數(shù)

為（）.

A.29B.215C.221D.218

7.設(shè)a為常數(shù)，/(0)=1,/(x+y)=/(x)/(a-y)+/(y)/("x),則().

2

A./(?)=2B./(x)=J恒成立

22

c.f(x+y)=2f(x)f(y)D.滿足條件的“x)不止一個(gè)

10

8.已知四面體。-A8C中，AC=BC=AD=BD=\,則Q-ABC體積的最大

值為（）.

A.嚼B.哈在

D.謳

9.在△4BC中，。為BC的中點(diǎn)，ZC4D=15°,則NABC的最大值為(

).A.120°B.105°C.90°

D.60°

10.已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+8+c=l,則層（〃一4+/傘-'//，.-。）

的最大值為（）.

11.已知A，A。十等分圓周，則在其中取四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形為梯

形個(gè)數(shù)為（）.

A.60B.45C.40D.50

xJo,#,“X）M,

12.已知/(x)=sinxcosx+sinx+^COSR,設(shè)的最大值為

5I2”

最小值為則（).

?232-381

AM=一「M=__

A.8B.'"25D.『

11

13.已知集合。={0,1,2,…,2021},ScU,且S中任意兩項(xiàng)相加不是5的

倍數(shù)，求S的元素個(gè)數(shù)最大值.

14.將函數(shù)y=-+6x-/-2（尤e［（）,6］）的圖象逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)《0口先功，

得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角。，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖像，

則a的最大值為（）.

AarctanlRarctanZn2

15.在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)

原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A,8滿足08=2,則點(diǎn)集

仍02=可+加8,耳舛,肋￡耳所表示的區(qū)域的面積是（）

A.2&B.4x/2C.2省D.4夕

16.已知y2=4x,過A（-2,3）做拋物線兩條切線，交），軸于8,C兩點(diǎn),

則△4BC外接圓方程為（）.

2(3丫132213

B.(x+1)+(yT)=7

A.。+1)+廣廣了

(1Y(3￥9(3?217

C.Ix+I+|y-|=D.1Ix+1

乙乙乙2

+(y-i)=

12

17.橢圓,+9=1,4(-2,0),過戶(1,0)作直線/交橢圓于M、N,AM、

A7V交x=l于8、C,下面正確的有()

A.網(wǎng)+|尸4定值B.|PB“PC|為定值

C.附+|PC|可能為2D.網(wǎng).|pc|可能為2

18.如圖，四邊形AE8C為圓。外接四邊形，BC〃DE,BC為直徑:若BE=12,

DE=DC=]4,則AE-B￡)=1.

19.x,,看,西，與為互不相等的正實(shí)數(shù)，％,X,-,馬,再為其一個(gè)排

1234

列，X=max{min{玉，為,},min{因，%}},F=min{maxk；,xj,max何,4}},則

x>y的概率是.

13

20.有〃個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為外，

則質(zhì)心位置"三絲；對(duì)于一桿，長(zhǎng)3m,放于”［一1,2］間，且線密度

Lmk

滿足住2+x,則質(zhì)心位于().

A.￡B.3C.2D.f

15555

21.有限項(xiàng)等差數(shù)列公差為4,第二項(xiàng)起各項(xiàng)的和加首項(xiàng)的平方小于

100,則該數(shù)列最多可有項(xiàng).

14

2021復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.命題p:“△ABC的內(nèi)心與外心重合”是命題q:"A45C是正三角形”

的什么條件？

2已知/(x)周期為1,則命題p：'7(x)+/(x+百)=2”是命題q：”/(X)

恒為1”的什么條件？

3.AO是△ABC的角平分線，48=3,AC=8,BC=7,求AD的長(zhǎng).

4.求帛+l+y4+)f的常數(shù)項(xiàng).

Ixyy2J

5.已知(&口18,19/w+n=20212022,則"=匚

15

7.若g(x)="+［小2?+忖-2［,〃x)=iog2x,解不等式.

8.方程18x+4y+9z=2021的正整數(shù)解有多少組？

9.確定曲線k+y|=2^(x-3)2+(y+6)?的類型.

10.求由曲絹卜什/，工2+儼口2圍成的面積.

11.求極坐標(biāo)片弼曲線軌跡.

12.若數(shù)列｛a｝滿足4""2+4"""1-12x4%=0,求lim%

?->+<?n

13.求展開式］三丫注1丫中的常數(shù)項(xiàng).

16

2021上海交大強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

已知△ABC中，tanC=-3tanA,求tan8最大值.

2.求邊長(zhǎng)為1的正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng).

3.實(shí)數(shù)a,b>l,滿足lg(a+%)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-l)的值.

4.2個(gè)拋物線最多分平面為7份，3個(gè)最多分16份，求4個(gè)拋物線

最多分平面為幾份？

5.求方程卜^^的實(shí)根個(gè)數(shù).

17

2021年中科大強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1已知正實(shí)數(shù)”，二次函數(shù)/（x）=數(shù)2_彳+1,若任意長(zhǎng)度為1的區(qū)間上,

存在兩點(diǎn)函數(shù)值之差的絕對(duì)值不小于1,貝卜的最小值為.

2已知正實(shí)數(shù)孫滿足JLi,則必7的最小值為

3.已知正實(shí)數(shù)a,〃，c,滿足a+0+c=l,則層+按+。2+2"c的取值范圍為

4.拋物線>=如上有A,B兩點(diǎn)，AB=2,則A8中點(diǎn)的軌跡方程為

5.拋擲一個(gè)均勻的骰子（各面「6）〃次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為X,

則￡（%）=□.

18

6.有邊長(zhǎng)為1的正△ABC,。在邊AB上，E在邊AC上，DE//BC,沿DE

折起△相€：,求四棱錐ADEBC體積的最大值.

7.已知[Cn]=(4+2閭”的整數(shù)部分，證明：2,,+l|([C?]+l).

8.已知ae無、求2sin4a+3cos46+2COS4受范圍

10'2)4sin2a+5cos2)?4cos2a+5sin2p

9./(、)，g(x),〃(、)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且兩兩互素,

[f(x)]"+[g(x)]"=[力(叫"，證明：〃=1或2.

19

2021年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題(廣東)

一、填空題

20201

1?>sin---=□.

求￡2021—

2.設(shè)拋物線y=/與尤=4y2+]相切，貝!]〃=口

3.寫出一個(gè)函數(shù)人工)=旦使得

f(x-/(y))=/(/(y))+2xf(y)+/(x)-1對(duì)于任意的x,ye1R怛成立.

4.設(shè)空間區(qū)域｛(x,y,x)，+y2+z2m｝存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都是d,貝|d

的是大值為.

20

5設(shè)々個(gè)人進(jìn)行互相傳球游戲，每個(gè)拿球的人等可能地把球傳給其

他人中的任何一位，e3.若初始時(shí)球彳王甲手中，則第"次傳球之后，

叔回到甲手中的概率為.

二、解答題

6求函數(shù)/(%)=5+6cosx-3cos2x-4cos3x+Lsin上的取值范圍.

42

p-1〃T

7設(shè)“，的c是正整數(shù)，p是素?cái)?shù)，pU5且。整除“三+方2+c"證

明：p整除.

21

8設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=3,且對(duì)任意正整數(shù)機(jī)，”均有

a

a2m+〃=2am+n+2〃?2+4tnn?

求為的通項(xiàng)公式.

9設(shè)/(X)是"次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其中心，g(x)=/(x)-r(X).證明：若/(X)

的〃個(gè)根都是實(shí)數(shù)，則g(x)的〃個(gè)根也都是實(shí)數(shù).

22

2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題及其解析

1.求M=「[S及「[碼+…+[-021].

2.已知04〃+A,b+c,c+a<1,求M=加一4+一d+Ji。一4的最值.

23

2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

共20道選擇題，在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,

選對(duì)得5分，選錯(cuò)或不選得0分.

1.已知x,y,z,w均為正實(shí)數(shù)，且滿足

xNy之卬和x+y?2（z+vv）,則的最小值等于（）

九y

A.2B.1C.1D.前三個(gè)答案都不對(duì)

48

2.在（2019x2020）2⑼的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其中任意兩個(gè)

的乘積都不是平方數(shù)，則最多可選因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A.16B.31C.32D.前三個(gè)答案都不對(duì)

3.已知整數(shù)列｛斯｝（?□1）滿足m=1,改=4,且對(duì)任意有

一1=2"?,則%（）20的個(gè)位數(shù)字是（）.

A.8B.4C.2D.前三個(gè)答案都不對(duì)

4.設(shè)Q,b,c,d是方程d+2/++4尤+5=0的4個(gè)復(fù)根，貝!

佇1+"L+izl+Zl的值為（）.

。+2Z?+2c+2d+2

499

A---B.C._D.前三個(gè)答案都不對(duì)

333

24

5設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,過點(diǎn)。作以A3為直徑的圓的切線，交AB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，AD>BD,則△8C。的面積為().

A.服一VB.圓③/c.啦一2,口.前三個(gè)答案都不對(duì)

161616

6設(shè)尤，y,z均不為(％+；］兀，其中％為整數(shù)，已知sin(y+z-x),

I)

sin(x+z-y),sin(x+y-z)成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是().

A.sinx,siny,sinzB.cosx,cosy,cosz

C.tanx,tany,tanzD.前三個(gè)答案都不對(duì)

7.方程19x+93y=4xy的整數(shù)解個(gè)數(shù)為().

A.4B.8C.16D.前三個(gè)答案都不對(duì)

2

8.從圓爐+尸=4上的點(diǎn)向橢圓C：5一夕=1引切線，兩個(gè)切點(diǎn)間的

線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為

().

A--B.2C.fD.前三個(gè)答案都不對(duì)

234

25

9.使得5x+12向乙z（x+y）對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,y都成立的實(shí)數(shù)a的最小

值為（）.

A.8B.9C.10D.前三個(gè)答案都不對(duì)

10.設(shè)P為單位立方體ABCO-A4GR

的面對(duì)角線上的一點(diǎn)，則%1+PG的最小值為（）.

A.g+0B.,2+皿C.2-史D.前三個(gè)答案都不對(duì)

2

n.設(shè)數(shù)列｛《九」?jié)M足的=1,。2=9,且對(duì)任意rd有an+2-4a”+i-3an-20,

其前〃項(xiàng)和為S“，則S”的最大值等于（）.

A.28B.35C.47D.前三個(gè)答案都不對(duì)

12.設(shè)直線y=3x+〃z與橢圓上+21=1交于A,8兩點(diǎn)，。坐標(biāo)原點(diǎn),

2516

則△OAB面積的最大值為（）.

A.8B.10C.12D.前三個(gè)答案都不對(duì)

26

13.正整數(shù)加3稱為理想的,若存在正整數(shù)1□人□〃-1使得Ci,Ck,CA+,

nnn

構(gòu)成等差數(shù)列，其中承=,/〃［、為組合數(shù),則不超過2020的理想數(shù)

k\\n-ky.

個(gè)數(shù)為（）.

A.40B.41C.42D.前三個(gè)答案都不對(duì)

14.在AABC中，NA=15O。，D,,D2,…，依次為邊8。上的點(diǎn)，

且BD\=Z)]Z)2=D2Dy=---=02019°2020=02020。,I又NBAD]—Cf

)

Z￡iAD2=qZD2019AD2020=%2O，/02O2OAC=421，則

sinqsing…sin?的值為()

sinqsinq???sinq()2()

A.ic-WTD.前三個(gè)答案都不對(duì)

1.\J1\J4V//U4V/4L

15.函數(shù)/（為+23cosacos2分-2日cos分cos2分4sin8的最大

值為（）.

A.虎+6B.2鳳小C.6+2小D.前三個(gè)答案都不對(duì)

27

16.

方程yjx+5-4^+^+JX+2—2S^7T=1的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.前三個(gè)答案都不對(duì)

17.凸五邊形A8CDE的對(duì)角線CE分別與對(duì)角線8。和AD交于點(diǎn)尸和

G,已知8F:尸。=5:4,AG:G。=1:1,CF:FG:GE=2:2:3,S^CFD和S&ABE

分別為△CFD和△ABE的面積，則S&CFD:S'BE等于(

).A.8：15B.2：3

C.11：23D.前三個(gè)答案都不對(duì)

18.設(shè)2，q均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項(xiàng)式

/(x)=必+px+q的個(gè)數(shù)為().

A.99B.133C.150D.前三個(gè)答案都不對(duì)

19.滿足對(duì)任意《□有％旬=2"-3%且嚴(yán)格遞增的數(shù)列{%}“的個(gè)數(shù)為

().

A.0B.1C.無窮個(gè)D.前三個(gè)答案都不對(duì)

28

20.設(shè)函數(shù)〃x,y,z）=尤+一+%,其中x,y,z均為正實(shí)數(shù),

%+yy+zz+x

則有（）.

A./既有最大值也有最小值B./有最大值但無最小值

C./有最小值但無最大值D.前三個(gè)答案都不對(duì)

29

2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

共35道選擇題，為不定項(xiàng)選擇題.

1.若一+p也],則好+肛-V的取值范圍是（）.

A.|「一￡,孫B.C.|「y,沙|D.卜2,2]

L22JL22J

2.設(shè)”，力，c為正實(shí)數(shù)，若一元二次方程以2+以+°=0有實(shí)根，則（）

A.max{/?,(?}□_(a+b+0B.max{a,b,c}EL^(a+匕+c)

29

C.min{a,b,c}』(a+〃+)D.min{a,b,c}H(o+8+c)

43

3.在非等邊△ABC中，BC^AC,若。和P分別為AABC的外心和內(nèi)

心，。在線段8c上，且滿足則下列選項(xiàng)正確的是（）.

48,。，。，P四點(diǎn)共圓B.OD//AC

C.OD//ABD.PD//AC

4.已知集合48,C={1,2,3,…,2020},且A=B=C,則有序集合組(A,8,C)

的個(gè)數(shù)是().

A.22020B.32020C.42020D.52020

30

20

5.已知數(shù)列｛&”｝滿足?=0,|刎|=怛+1|?€]^)則4=￡久的值可能

k=l

是().

A.0B.2C.10D.12

22

6.已知點(diǎn)P在橢圓*—+21=1上，A(1,O),

43

5（1,1）,則1PAi+|PB|的最大值是（).

A.4B.4+6C.4+小D.6

7.已知P為雙曲線=1上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，A(-2,0),8(2,0),令

ZPAB=a,NPBA=p,下列表達(dá)式為定值的是().

A.tancrtan/?B.tan^tan

22

C.SZ^PABtan(cz+0)D.S^PABcot(a+0)

8.甲、乙、丙三位同學(xué)討論同一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，甲說：“我做錯(cuò)了

乙說：“甲做對(duì)了丙說：“我做錯(cuò)了老師看過他們的答案并

聽了他們的上述對(duì)話后說：“你們僅有一人做對(duì)且僅有一人說謊

了”，則根據(jù)以上信息可以推斷（）.

A.甲做對(duì)了B.乙做對(duì)了C.丙做對(duì)了D.無法確定誰做對(duì)了

31

9.在RtaABC中，ZABC=",AB=,BC=\,PA+PB+PC=0,

23廚廚|S|

則下列說法正確的是（）.

2

A.ZAPB=^LB.ZBPC=1C.PC=2PBD.PA=2PC

33

、(n2)

10.求值：limyarctan-i=().

/r2i

\A=1長(zhǎng))

A三B.現(xiàn)C.D.JK.

7442

11.從。到9這十個(gè)數(shù)中任取五個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)詼蘇（a可以等

于0）,則396P說的概率為（）.

A1BQD

A-396舊3T57TO

12.隨機(jī)變量X（=1,2,3,…），［（=0,1,2）,滿足P（X=。為1,且

y三x(mod3),則E(y)=().

A.1B.1C.乜D.”

7777

32

13.已知向量a,3c滿足同口1,忸口1,?25+昨”2m，則下列說

法正確的是（）.

A.同的最大值為4&B.時(shí)最大值為26

C.同的最小值為0D.卜|的最小值為2

14.若存在x,yeN*,使得％2+ky與丁+日均為完全平方數(shù)，則正整

數(shù)人可能取值為（）.

A.2B.4C.5D.6

15.sin|arctan1+arccos3+arcsin〔）=（）.

A.。B.1C.乎D.1

22

16.已知正四棱錐中，相鄰兩側(cè)面構(gòu)成的二面角為a側(cè)棱與底面夾

角為△則（）.

A.cosa+tan2住1B.seca+tan2-1

C.cosa+2tan2P=1D.sec?+2tan2/?=-1

33

17.已知函數(shù)/(x)=《，+sinx(x4-2,2]),則/(x)的最大值與最小

值的和是().

A.2B.eC.3D.4

18.已知函數(shù)“X)的圖像如圖所示，“X)的圖像與直線x=a,

x=r(a<r<c),x軸圍成圖形的面積為S(r),則下列說法正確的是

().

A.S(t)〈cf(b)B.S'(tC.S'(t)Df(^)D.S(f)n(c)

19.我們稱數(shù)列｛6｝為“好數(shù)列”，若對(duì)任意〃eN*存在meN*,使得

%=S.，其中S-fa,則下列說法正確的是().

/=19

A.若4=｛丫=入，則數(shù)列｛斯｝為“好數(shù)列”

B.若?4(左為常數(shù))，則數(shù)列｛如｝為“好數(shù)列”

C.若％｝,｛，”｝均為“好數(shù)列"，則%=2+c.為等差數(shù)列

D.對(duì)任意等差數(shù)列｛斯｝,存在“好數(shù)列”｛仇｝,｛c,,｝,使

%=b,,+c“(〃eN)

34

^__().

20」sin4x+cos4x

A.TiB.y/2nC.2KD.\[5TI

21.在△ABC中，AC=\,BC=V7AB=2,設(shè)M為AB中點(diǎn)，現(xiàn)將AABC沿

CM折起，使得四面體8-4CM的體積為更則折起后AB的長(zhǎng)度可能

12

為（）

A.1B.&C.73D.2

22.設(shè)復(fù)數(shù)馬，馬在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4，z2,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

若同=1,5￡+鎮(zhèn)一243=0,則的面積為（）

A.1B.3C.2D.2y

23.使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整數(shù)〃等于()

A.3B.4C.5D.6

35

1

24.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足,#一$2_z=],則()

Lz3-LJ^-X-1

[93

A.(x,y,z)有1組B.(x,y,z)有4組

C.x,y,z均為有理數(shù)D.X,y,z均為無理數(shù)

25.設(shè)實(shí)數(shù)xf…也滿足心口0,2,…,21),則的最大值為

()

A.110B.120C.220D.240

26.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，

且所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的內(nèi)

部有8個(gè)格點(diǎn)，邊界上有10個(gè)格點(diǎn)，則這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為

()

A.10B.11C.12D.13

36

27.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|3z-7i|=3,則z:另z+2的（）

z-1+1

A.最大值為0B.最大值為乙C.最小值為-D,最小值為1

3333

28.設(shè)僅為銳角，且cos（a+Q）='in匕_tana的最大值為（）

sin（3

A.坐B.9C.1D.也

29.已知函數(shù)/（%）=e*+a（x-l）+〃在區(qū)間［1,3］上存在零點(diǎn)，則層+方2的最

小值為（）

P2

A._B.eC.JDe2

22,

30.設(shè)A,8分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線

2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（）

A.工B.如C.4s-n.

555口?兀

37

31.已知實(shí)數(shù)“，〃滿足〃+〃+3必=1,設(shè)4+〃的所有可能值構(gòu)成的集合

為M,則（）

A.M為單元素集B.M為有限集，但不是單元素集

C.股為無限集，且有下界D.M為無限集，且無下界

32.已知數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和s“=（T）"y+：+"-3,且實(shí)數(shù)f滿足

(r-4Z?)(/-a?+i)<0,則f的取值范圍是()

A.艮4B.(利C.朋

33.《紅樓夢(mèng)》，《三國演義》，《水滸傳》和《西游記》四部書分列在四

層架子的書柜的不同層上.小趙，小錢，小孫，小李分別借閱了四部

書中的一部.現(xiàn)已知：小錢借閱了第一層的書籍，小趙借閱了第二層

的書籍，小孫借閱的是《紅樓夢(mèng)》，《三國演義》在第四層.則（）

A.《水滸傳》一定陳列在第二層B.《西游記》一定陳列在第一層

C.小孫借閱的一定是第三層的書籍D.小李借閱的一定是第四層的

書籍

38

34.設(shè)多項(xiàng)式/(x)的各項(xiàng)系數(shù)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且

“i)=r(i)=/'⑴=，’⑴=i,則fco的常數(shù)項(xiàng)的最小值為()

A.1B.1C.1DL.

2345

35.已知上)=/。+工+乩"+」，則()

A.〃z)=0存在實(shí)數(shù)解B.f(z)=o共有20個(gè)不同的復(fù)數(shù)解

C."z)=0復(fù)數(shù)解的模長(zhǎng)均為1D."z)=0存在模長(zhǎng)大于1的復(fù)數(shù)解

39

2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.設(shè)拋物線V=2px,過焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A,8兩點(diǎn)，滿

足AE=3FB.過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為點(diǎn)A，準(zhǔn)線交

x軸于點(diǎn)C,若SCFA、=12出，貝!!;?=_0.

2.已知實(shí)數(shù)x,y,滿足石+2孫=1,求小+尸的最小值.

3.已知/（x）=asin（27ix）+0cos（27ix）+csin（47ix）+4cos（47u）,若

1+x]+/（x）=/（2x）,則在a,b,c,d中能確定的參數(shù)是.

2）

4.若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一個(gè)根是純虛數(shù)，則

a=L.

5.在（|￡]+1+，1+丫°1]的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

I尤y）

6.,tol1，4+23]+…+1=?

40

7.點(diǎn)（4,5）繞點(diǎn)（1,1）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)為

8.方程5pcos?4Q3mos2砍D）所表不的曲線形狀是.

9.設(shè)％,若?3,coshr+31hd-2a=0,貝i」cos（x+2y）=_.

IE1[4y'+sinyco「sy+a=0,

10.實(shí)數(shù)x,y滿足/+y2=l,若*+2y-a+4+6-x-2y典值與x,y無

關(guān)，則a的取值范圍是.

11.在△ABC中，cosZBAC=l,若。為△ABC的內(nèi)心，且滿足

3

AO=xAB+yAC,則x+y的最大值為.

12.已知直線?。簓=xcosa和〃：3x+y=c,則有（）.

A.與〃可能重合

B.相與〃不可能垂直

C.直線機(jī)上存在一點(diǎn)尸，使得直線〃以P為中心旋轉(zhuǎn)后與加重合

D.以上都不對(duì)cta32

41

13.如圖15-2所示，拋物線3>2=工的焦點(diǎn)為尸，A在拋物線上，A點(diǎn)

處的切線與AF夾角為30度，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為

14.已知P為直線;[6=。上一點(diǎn)，且產(chǎn)到“2,5）和3（4,3）的距離

相同，則P點(diǎn)坐標(biāo)為.

15.已知x,ye{l,2,3,4,5,6,7,8,9}且龍，連接原點(diǎn)。和A（x,y）,B（y,x）

兩點(diǎn),則Z.AOB=2arctan1的概率為.

3

，八JT7+3/2.3

16.arcsin-------+arcsin_=.

84

17.已知三棱錐P-ABC的體積為10.5,且AB=6,AC=BC=4,

AP=BP=10,貝UCP的長(zhǎng)度為.

42

18.在aABC中，加=9,BC=6,C4=7,則BC邊上中線的長(zhǎng)

19.若=則/（/（x））的圖象大致為

20.定義人含，令M?N={尤山（x）人（x）=-1},已知

^，8={xk（x+3）（x-3）＞0},貝|A（8）B=.

21.方程3x+4y+12z=2020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為

22.已知加，Z,且OD/Cll,若滿足22（）2。+32）2|=12m+〃，則n_

23.若四邊形A8CO是凸四邊形，則N8AC=N8O。是ND4C=NO8。的

______條件.

43

24.設(shè)函數(shù)/（x）=3，-3-，的反函數(shù)為曠=尸（x）,則g（x）=尸（尤-1）+1在

[-3,5]上的最大值和最小值的和為.

25.若左＞4,直線米-2y-22+8=0與

2x+/y_4/_4=0和坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的取值范圍是.

26.已知