數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案第二章

第早

1.

2e…，x>0

f（X）=

0,x<0

r+co.

E(x)=[00f(x)-xdx=2xe-xdx

J—00Jo

d(4x)

從而有

2.

l).E(x)=Zk(l-p)2P=p￡k(l-p)i

X=lX=1

11

令3P=x

所以有P=T

n>%-n

〃P)=ITI—0)'"p=p"(i—P)T

2).其似然函數(shù)為泊

lnL(P)=?lnp+(^X,.-n)ln(l-p)

/=i

dinLn1/、八

—；-----=-------------('Xv,-n)=0

dpP1-Pi=\

An1

P=-----=彳

解之得&，、'

3.

解：因為總體X服從U(a,b)所以

E(x)=aD(X)=(a-b)2”!

2_12r!("-r)!

令E(X)=JTD(X)=S)

s2=-Z(x,-x)2

,n工

2

(a—b)2

--------------=32

12

a=X-V3S

b=X+x/35

4.解：(1)設“1'"2，?"”及為樣本觀察值則似然函數(shù)為：

L(6?)=6?"([7<x,<l,z=1,2,…,n

i=I

InL(9)=nIn0+(，-1)ZInxy

i=i

JInLn

一+XInX,.=0

d001=1

n

0n

Zin

i=i

0n

ZInX,

解之得:i=I

(2)母體X的期望

p+8flH

E(x)=[xf(x)dx=[Oxn3dx=-------

j-ooJoe+]

而樣本均值為:

1?

令E(x)=又得

AV

0=—=

l-x

5.o

解：其似然函數(shù)為:

〃1-同1

s)q萬e=------e

(2W

1〃令

In3)=-nln(2b)--Z|x,|=0

b,=i

A1〃

得:b=—丑聞

bi=l

(2)由于

+ocX

P+00X———廣+8X___一_—r+8—

E=-----eadx=2----eadx=-xe。+eadx=(T

J—2(yJo2bJo

0

A|"1"1

E(cr)=E(一工|x/)=3W=T?n(7

nf=I所

A1"

b=-力

以“引為。的無偏估計量。

6.

解：其似然函數(shù)為：

n

)〃n巧(％—l)e一夕干

z=l

nn

InL{/3)=nkIn^+()l-l)ln(ZX,)—，ZX,

i=1i=1

d\nL(J3)=nk丫_()

dB二『Ji一

解得

。=>=小~x)=%,a工xw/3,

/=1

7.解：由題意知：均勻分布的母體平均數(shù)〃=鋁=§,

方差總正<上

1212

用極大似然估計法求夕得極大似然估計量

似然函數(shù)：M/?)=fl^

0<minxi<max七<(3

/?=16(i)[^i<n

A

選取△使L達到最大取/?=maxx

國攵i

由以上結論當抽得容量為6的子樣數(shù)值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,時

「ccEin八月一2"2.2X2.2八,八“

尸=2.2即〃=匕=1.1,b=匚=-------?0.4033

21212

8.

解:取子樣值為（再,%2,…尤,），（匕2。）

則似然函數(shù)為：L（，）=fje-""Xi>0

/=1

InL(^)=一2(匕一。)=+n0

(=1i=\

要使似然函數(shù)最大，則需夕取min?,/，…，￡）

即0=min(x1,乙，…尤“)

9.

解：取子樣值區(qū),工2,…，％〃）（巧>。）

n-A7Xi

則其似然函數(shù)L（2）=fl&-禍=九26

lnLU)=nlnA-2^x,.七Z：=--n=—1

i=idAXj=]3X

i=l

由題中數(shù)據(jù)可知

-1

x=——(365X5+245X15+150X25+100X35+70X45+45X55+25X65)=20

1000

則A=—=0.05

20

10.設正態(tài)母體分布X的分布為N3/),試在下列情況下用子樣極差估計

a：

(1)取得子樣值1.5,6.2,2,3.3,2.7；

(2)取得容量為20的子樣，其數(shù)值見表2-2,等分成兩組，前10個和后

10個數(shù)據(jù)各為一組。

解：(1)由題中子樣值及題意知：

極差/?=62-1.5=4.7

查表2-1得-!-=0.4299

“5

故2=0.4299x4.7=2.0205

(2)平均極差元=0.115,查表知工=0.3249

"10

2=0.3249x0.115=0.0455

解：設2為其母體平均數(shù)的無偏估計，則應有2=嚏

XISx=—(8x1+40x3+10x6+2x26)=4

60

即知2=4

12.

解：：X~N(〃,l)

,A12

E(X,)=A,。區(qū))=1，(/=1,2)則E(從)=§EX1=〃

A13

既〃2)=嚴1+嚴2=〃

AJ1

+-￡X=〃

Eg、EXi2

所以三個估計量小,均為〃的無偏估計

A9141415

0(〃)=D{-XX+-X2)=-DX^-DX2=-+-=-

同理可得O(Z)=：，D&)=；

o2

可知23的方差最小也亦z最有效。

13解：VX-P(2)E(X)=2,D(X)=2

*21￡—、21g7—2

E(S*-)=E[--^(X;-X)]=-7b￡(X,)-〃E(X)]

〃-1i=in-\日

1nQ1

=—[y(2+22)-n(-+/l2)](n2-2)=2

〃一1Mnn-1

即5*2是丸的無偏估計

又因為成文)=成[￡乂,)=24力乂,)=，才用,=/1

n/=!n/=!n/=1

即又也是2的無偏估計。

又Vae[O,1JE{aX+(1-a)S*2)=aE(X)+(l-a)E(S*?)=a2+(l-2)2=2

因此a5+(l-MS*?也是4的無偏估計

14.解：由題意：X~N(〃Q2)

人”-1

因為EM)2=C￡E(X,M—X,)2=C￡[0(XR-X,)+(E(X,*]—XJ2]

/=1

,一[,一]

2

=C^[D(X,.+1)+D(X,)+O]=CZ2不=2C(n-l)A

i=li=l

2112

要使E。)=萬只需c=――所以當c=—―時比為萬的無偏估計。

2(〃+1)2(71-1)

15.證明：?.?參數(shù)。的無偏估計量為1,依賴于子樣容量〃

則V￡〉0,由切比雪夫不等式

vlimZ>6=0故有l(wèi)imp<0-0<8

n->oo?->oo

即證)為。的相合估計量。

16證明：設X服從B(N,p),則分布律為P(X=k)=c\p￡(l_py

(k=l,2”..N)

這時E(X)=NPD(X)=NPQ-P)EX2=DX+(EX)2=NP(l-P)+N2P2

例4中p=工所以E(P)-g工==P(無偏)

NNN

DXNP(1—P)P(1-P)

DP=——=--------------=-------------

N2N2nN〃

羅一克拉美下界滿足

；="￡嚀L〃CKFQ-P用『C：pK(1-P)j

/Rk=0OP

No

=匯焉(L〃CN+KLnP+(N-P)L〃(1—P))『P，(1-P)N-K

K=0OP

=唔4-守]七產(chǎn)(1-尸產(chǎn)

222

rEX2NEX-2EXN-2NEX+EX\

=n[-5----------------------------+-------------------5---------]

P-P(l-P)(1-P)2

「NP(1-P)+N2P2%2尸一NP(1—尸)一N2P2N?-2N?P+NPQ-P)+N2P2

n[--------------；--------------2------------------------；-------------+-----------------------------；------------------

P2(1—尸)(1-P)2

nN[-+-^~]

P\-P

nN

P(l-P)

所以〃=丁=蠟即.為優(yōu)效估計

17.解：設總體X的密度函數(shù)

/（X）

y[27rcr

￡(七-〃)2

ni(3〃)2Wr=l

似然函數(shù)為L(/)=「[上)五二(2〃/)?e2。-

I=IV2TT<T

￡區(qū)-〃)2...￡(々-4

2

L/?L(<T2)=--Ln2^-—Lna----------：---------典=_Jn______=0

222a2da22cr22cr4

i?

…2

(Xi))121

因為匚(陪)/x)"x=口]——e202dx

2cr42cr2V^rcr

1

[E(X-^4-E(X-^22(72+(y4]=二

4cr82b

故的羅一克拉美下界

,一24

IR=—b

n

A21?1n

又因"居”"丁吟區(qū)-⑼…

且o(/)=odt(x,「〃)2)=2/

〃r=l

22222

所以b是<7的無偏估計量且/R=D(cr)故cr是cr的優(yōu)效

估計

18.

解：由題意：n=100,可以認為此為大子樣,

所以U=V近似服從N(O,1)

沏

呻5}=~

2

得置信區(qū)間為(X-“a：x+ua

2VM2

已知1-a=0.95s=40x=1000查表知“0=1.96代入計算得

所求置信區(qū)間為(992.161007.84)

19.解:(1)已知b=0.01cn則由U=與幺~%(0,1)

瞼

P[\U\<ua}=l-a

~2

解之得置信區(qū)間(5-g?文+(冬)

將n=16X=2.125ua-w005=1.645a=0.01

2

代入計算得置信區(qū)間(2.12092.1291)

(2)b未知丁=。￡~?〃一1)

沏

P^r\<ta]=\-a

2

解得置信區(qū)間為京-白匕

2

將n=16%(15)=小5(15)=1.75352=0.00029代入計算得

2

置信區(qū)間為(2.11752.1325)。

20.o

解：用T估計法丁=口~"1)

7^

P{\T\<t^n-\)}=l-a

2

解之得置信區(qū)間(又-卷匕—s*

2

將歹=6720S*=220n=10查表/25⑼=2.2622

代入得置信區(qū)間為(6562.6186877.382)。

21.解：因n=60屬于大樣本且是來自(0—1)分布的總體，故由中心極限

定理知勺=”一即近似服從N(0,l)即

JnpQ-p)J印(1-p)

n(X-P)

p{

y/np(\-p)\<ua}=[-a

解得置信區(qū)間為漢-ax+

~22

本題中將力代替上式中的廳由題設條件知乙=0.25

nn

0.055查表知q=U0.o=196

n22s

代入計算的所求置信區(qū)間為(0.14040.3596)

22.

解:/未知故。=與幺~刈0,1)

岫

由P{|U|<〃a}<l-a解得

2

置信區(qū)間為漢-3〃.X+與U區(qū))

~27n2

區(qū)間長度為學“a于是學<L

J〃22

計算得心”uJ即為所求

23.解：4未知，用力估計法

(y

P{力2a("-1)<72(〃-1)</；(〃-1)}=1—。

1---

22

解得b的置信區(qū)間為(|出二手(〃一1"2)

Xa7吟

(1)當n=10,S*=5.1時查表%嬴⑼=23.59/.995⑼=L73

代入計算得。的置信區(qū)間為(3.15011.616)

(2)當n=46,S*=14時查表7^(45)=73.166力法(45)24.311

代入計算可得b的置信區(qū)間為(10.97919.047)

24.解：(1)先求〃的置信區(qū)間由于b未知

呻|<%}=1-a

2

得置信區(qū)間為(歹-1^x+-^=ta)

Vn22

經(jīng)計算X=5.12查表to025a9)=2.093n=20

S=0.2203

代入計算得置信區(qū)間為(5.10695.3131)

(2)〃未知用統(tǒng)計量/=生婆

b

P[X2<Z2<Z?}=l-?

1---a-——

22

得。的置信區(qū)間為(忸平反叵)

查表Z0.025(19)=32.85/975(19)=8.91

代入計算得。的置信區(qū)間為(0.16750.3217)

25.解：因x.”與X|,乂2,…x”相互獨立，所以x“+i與無相互獨立，故

—1,

X"+「X~N(0,(l+-)/)

n

又因￡~/(〃」)且與X向-歹相互獨立，有T分布的定義知

(7

—X

~t(n-1)

nSn+1

(n-l)cr2

26.

解：因X,~N(四,1)z=l,2,...mYj~NJ=

所以a(又一外)~N(0,艾匚)，伙歹一〃2)~N(0,左二)

mn

由于k與t相互獨立，則

a(M-4)+伙歹一外)~^[0,(—+4)]

mn

即吟上絲二@~N(0,l)又因注~/(〃一1)

、可°°°

Vmn

22

則生+二~/。”+“—2)

(J(7

a(X-〃])+/()一4)a(X"+1(y〃2)

構造t分布?t(m+n-2)

27.

證明：因抽取n>45為大子樣

2(〃一I)二2

Z=----2-----------Z(?-1)

(T

由/分布的性質3知

U=*「(”<近似服從正態(tài)分布N(0,l)

,2(〃-1)

所以P{|t/|<Mf)=l-a

(n-1)52

一("

Z2-(H-D1)

得<Mf或<z/f

J2(n-1)

可得，的置信區(qū)間為

22

SS

28.

解：因未知，故用了統(tǒng)計量

［一〃2),0、

T=----------1-------t(n+m-2)

S產(chǎn)

Vnm

其中S：,=("一1汨+(加一1應而a=0.05n+m-2

n+m-2

查表fo必⑷=2.144

計算X=81.625F=76.125

s；=145.695,s}=101.554,sj=123.625代入得

X-Y±t^(n+m-2)su,J-+—=5.5±11.9237

vnm

故得置信區(qū)間(-6.4237,17.4237)

29

解：因cr；=cr；=cr?故用T統(tǒng)計量

T=乂八一匕上^々!?”_2)其中SJ=(〃-1)S0+(…s?2

/11n十m—2

一十一

Vnm

P<|T|<ta>=l-a

計算得置信區(qū)間為

A

(X-XB-Swta(n+，”-2)J—d—XA-XB+Swta(n+m-2)J—H—)

2Vnmjvnm

把S『=0.000006571%⑺=2364

代入可得所求置信區(qū)間為(-0.0020160.008616)。

30.解：由題意用U統(tǒng)計量

U='|二，2二(勺-必)~N(0』)

不

Vnm

P{\u\}<?J=l-a計算得置信區(qū)間為

2

把外=1-71工=1.67=0.0352^2=00382〃=加=10()

"a="0025=196代入計算得置信區(qū)間(-0.0299,0.0501)

31.解：由題意，小,吃未知，則

q*22q*2

Hn-

經(jīng)計算得尸卜a(n2-1,,-1)-4-<—T<~^\-I)

IS；以IS；J

2(《*2S*2、

解得翌?的置信區(qū)間為F&(〃2-1,勺-1)—^，/乂〃,-1)」7

%=6“2=9S「=0.245S；=0357a=0.05

查表：F0025(5,8)=4.82穌97565)==士=0.207

△o.O25。，3)

2

帶入計算得飛的置信區(qū)間為：(0.142,4.639)。

%

32.

解：/未知，則T=￡^~/(〃一1)即：P[T<ta(n-l)}=l-a

/G

有：尸[〃>又-〃(〃-1)4=]=1-。則單側置信下限為：K-心("-1)4=

Jyjn

將兄=6720S*=220〃=10/5⑼=1§33帶入計算得6592.471

即鋼索所能承受平均張力在概率為95%的置信度下的置信下限為

6592.471o

33.解：總體服從(0,1)分布且樣本容量n=100為大子樣。

令文為樣本均值，由中心極限定理

?N(0,l)又因為^=S2所以

則相應的單側置信區(qū)間為(-8,X+.&J

Vn

2

將又=0.065=-(1-—)=0.6x0.94%="005=1645

nn

代入計算得所求置信上限為0.0991

即為這批貨物次品率在置信概率為95%情況下置信上限為0.0991。

2

22

34.解：由題意:X=——半---/2(H-1)P{X>Z2i-a(n-l))=1-a

(J~

解得b的單側置信上限為J("DS*2

其中n=10,S'=45,查表/("-1)=%；95(9)=3.325

代入計算得。的單側置信上限為74.035o

第五章

第五章

1.通過原點的一元回歸的線性模型為工=Ax,.+與，i=1,2,…,”其中各與相互獨立，并

且都服從正態(tài)分布N（0,b2）。試由〃組觀測值（七,yj,i=l,2,，用最小二乘法估計

B，并用矩法估計

解：

對一元回歸的線性模型為Yi=px,+與i=1,2,…,n

離差平方和為

。=￡（兀一￡七『

1=1

對。求一的偏導數(shù)，并令其為0,即

￡（y一網(wǎng)）七=°

1=1

1"[〃

變換得*看3夕卒

解此方程得/=星

X2

22

因為<y=Ds=Es0=y-/3xi

所以

1(AA2

=一2片一2,外必+/X；

〃/=1I

2

=y2-20xy+Px2

其中

2.在考察硝酸鈉的可溶性程度時,對一系列不同溫度觀察它在100m/的水中溶解的硝酸鈉的

重量，獲得觀察結果如下：

溫度

0410152129365168

Xi

重量

66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1

y

從經(jīng)驗和理論知匕和可之間有下述關系式匕=a+￡菁+與，i=1,2,…,9

其中各與相互獨立，并且都服從正態(tài)分布N(0,C2)。試用最小二乘法估計參數(shù)a,夕，并

用矩法估計。2

解：

將最=267=90.14藥=2736.511欣=451.11m；=342.665

代入得

nxy-xy2736.511—26x90.14

=0.8706

451.11

a=y-/7x=90.14-0.8706x26=67.5088

A八2

(y2=m；-pzn；=342.665-0.87062x451.11=0.7487

3.為了得到一元線性回歸分析的簡化計算法，作變換％=土二=上二包,i=l,2,,

4do

且4=0,470。若原經(jīng)驗回歸直線方程為;=A+2x變換后經(jīng)驗回歸直線方程為

丫=&+/〃試證2=，/,&="0&+(?0-，2《，并且

??、2

n(AAA2M(AA

Xy,—a—=d；Zv,.-a-p%

1=]\J;=1\7

證明:

d()uv-uv

,7-?2

力廠祖…)

■t^-u)2

i=l

d。人XLTH")

42

U]i=l

斗，-加T

'i(x,-x)2

i=l

A

=B

d°a+0-與。G

=%丫-)u+c--j-/

4/0晨\

—A，—Q、

=dv+c-dP"+一

()0nI4

/

=—y-，d￡八x一

4

=丫_一A八_

A

=a

n(A1人,y

v.-a-p?,.

i=l\7

、2

=E〃匕一4。一分〃叫

i=lI

/

nA'A'（七一。）［

=Z6

/=1_4.

,?\2

=XyUo屋與3%+請2。

=￡(%工_/七)

4.為了研究紗的品質指標與支數(shù)之間的數(shù)量關系,進行有關試驗，得20對數(shù)據(jù)如下:

支數(shù)再19.8320.2421.1023.8524.4725.0828.47

品質指標

2466250123902450235023962331

y

支數(shù)占35.2035.7439.7741.3042.2045.8747.83

品質指標

2203215921372092208220602025

X-

支數(shù)千29.2829.7633.9349.1356.4657.55

品質指標

229722852238204018651857

y

畫出點圖。從經(jīng)驗知匕與西之間有關系式匕=a+￡菁+q,i=1,2,…,20其中各與相互獨

立，而且都服從分布%（0,。2）。試用最小二乘法估計a、0，并求a?的無偏估計量的值。

2600-1

2500-■

■■

2400-.■

■.

品2300-、

質■

指2200-■

震.-.

2100-■.

■■

2000-B

1900-

■■

1800-1-.—?-.~~?-.~?―--?~~--?~~--?―■—?――1~~?—)―?

15202530354045505560

支數(shù)

解：

將x=35.3531=2211.2xy=76061.676m；=132.130咸=34527.46

代入

孫一xy76061.676-35.353x2211.2

B=-15.98

132.130

a=y_尸x=2211.2+15.98x35.353=2776.14

八人2

6=i仁一。咸=34527.46-(-15.98)-xl32.13O=786.69

為O-的無偏估計量

n'20

a2----a2=—786.69=874.10

〃一218

5.某醫(yī)院用光電比色計檢驗尿汞時?，得尿汞含量(mg//)與消光系數(shù)讀數(shù)的結果如下:

尿汞含量七246810

消光系數(shù)X64138205285360

已知它們之間有關系式匕=a+/?x,.+與,i=l,2,…，〃其中弓7V(O,cr2),且各與相互獨

立，試求a,尸的最小二乘法估計，并在顯著水平0.05下檢驗夕是否為38。

解:

將x=6y=210.4五=1558咸=8咸=10929.84

代入得

xy-xy_1558-6x210.4

36.95

欣8

a=y一￡x=210.4—36.95x6=—11.3

|(10929.84-36.952X8)=12.37

n-2

『=3.517

假設”0：尸=38H\：/3#38

用T檢驗法拒絕域為

2

i~x，2(〃-2)

查表得-0=3.1824

將上血的數(shù)據(jù)代入得

M=1.89<f0025(3)

所以接受4°即認為尸為38

6.下表列出在不同質量下6根彈簧的長度:

質量X51015202530

長度y7.258.128.959.9010.911.8

（1）試將這六對觀測值用點畫在坐標紙上，直觀上能否認為長度對于質量的回歸是線性的;

（2）寫出經(jīng)驗回歸直線方程；

（3）試在x=16時作出y的95%預測區(qū)間。

解：

（1）山散點圖看，x的回歸函數(shù)具有線性函數(shù)形式，認為長度對于質量的回歸是線性的。

12-

11-

10-

趙.

坐C

9-

8-

7-

51015202530

質量

(2)將嚏=17.5y=9.49盯=179.37底=72.92咸=2.45

n_xy-xy179.37-17.5x9.49八

代入得P—2-0.]X2

72.92

2=3—/嚏=9.49-0.182x17.5=6.305

y=a+/3x-6.305+0.182x

(3)當x=16時y0=a+16b+s0

由T分布定義

4-a-fix。

<ho25(〃-2)>=0.95

所以外的預測區(qū)間為

AA

,=+/%+^0.025

。+/7X?！?0025(〃—2)(7(n-2)cr

查表得ho25(4)=2.776

將(2)的數(shù)據(jù)代入得

</2=-^<T2(2.45-0.1822x72.92)=0.0075

。*=0.0866

計算得E的預測區(qū)間為(8.9521,9.4721)

7.具有重復試驗的一元線性回歸表述如下：對變量x,y作〃次試驗，自變量x取不同值

Xt,X2,---,Xr;在每一個X=X］上對y作/次試驗觀察，它的觀測值為為，必2,…加，而

￡叫=n。一元回歸的線性模型為/=&+，￡+￡,廠/=1,2,…i=l,2,…/試求a,

1=1

￡的最小二乘估計。

8.對于自變量和因變量都分組的情形，經(jīng)驗回歸直線的配置方法如下：對x和y作〃次試驗

得“對試驗值，把自變量的試驗值分成r組，組中值記為菁,馬,…,天，各組以組中值為代

表；把因變量的試驗值分為s組，組中值記為,，為，…,乂，同樣地各組以組中值為代表。

_s

如果(x,y)取有嗎對，i=l,2,…,r,j=l,2,…,s；而〃。用最小二

/=1j=\

乘法配直線y=c+，x,試求a,,的估計量。

9.對變量X、丫作試驗得到50對觀察值，列表如下:

2.57.512.517.522.527.532.537.5

A\

7.512.517.522.527.532.537.542.5

9011021

1101303