卷05-2022年高考數(shù)學(xué)（文）模擬卷（全國(guó)卷）（解析版）

2022年高考數(shù)學(xué)（文）模擬卷（全國(guó)卷）二輪拔高卷05（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所?故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：A.3．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且為終邊上一點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)定義可知，，解得或(舍去)，則.故選：C.4．若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[0.3]=0，[1.5]=1.則如圖中的程序框圖運(yùn)行之后輸出的結(jié)果為（

）A．102 B．684 C．696 D．708【答案】C【解析】[x]表示不超過x的最大整數(shù)，所以該程序框圖運(yùn)行后輸出的結(jié)果是：，共123項(xiàng)相加.從到共10項(xiàng)均為0，到共10項(xiàng)均為1，到共10項(xiàng)均為2，……，到共10項(xiàng)均為11，到共3項(xiàng)均為12，所以：.故選：C.5．已知變量之間的線性回歸方程為，且變量之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是A．變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系B．的值等于5C．變量之間的相關(guān)系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點(diǎn)【答案】C【解析】對(duì)于A：根據(jù)b的正負(fù)即可判斷正負(fù)相關(guān)關(guān)系．線性回歸方程為，b=﹣0.7＜0，負(fù)相關(guān)．對(duì)于B：根據(jù)表中數(shù)據(jù)：=9．可得=4．即，解得：m=5．對(duì)于C：相關(guān)系數(shù)和斜率不是一回事，只有當(dāng)樣本點(diǎn)都落在直線上是才滿足兩者相等，這個(gè)題目顯然不滿足，故不正確.對(duì)于D：由線性回歸方程一定過（，），即（9，4）．故選C．6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則角A的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，由正弦定理得，又，得，.故選：A.7．過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，方程為，與圓相切，滿足題意；當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，圓的圓心到的距離，解得：，，即；直線的方程為或.故選：C.8．已知直線與曲線相切，則a的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】直線y=x+1的斜率為1，對(duì)曲線求導(dǎo)得，，將代入直線y=x+1中，得，則點(diǎn)為切點(diǎn)，帶入曲線方程得得；故選：D.9．已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D10．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為C．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為可得：,所以,所以.又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以,且，解得：，所以.對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，即不是最低點(diǎn)，也不是最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：C.11．在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點(diǎn)E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點(diǎn)O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點(diǎn)O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B12．若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因，令，則存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為___________.【答案】3【解析】由題設(shè)，可行域如下圖示，而的幾何意義為直線與可行域有交點(diǎn)時(shí)，該直線在y軸上的截距，由圖知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值3.故答案為：3.14．已知向量，，，若，則___________.【答案】【解析】依題意：，解得m=-4，故答案為：-4.15．拋物線焦點(diǎn)為F，P為拋物線線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】5【解析】準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以，易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為，故答案為：5．16．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：①直線⊥平面②三棱錐的體積為定值其中所有真命題的序號(hào)是____________.【答案】①②【解析】對(duì)于①，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故①正確；對(duì)于②，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，三棱錐的體積為定值，故②正確；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】因?yàn)?，所以．所以，所以，又因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則．（2）證明：因?yàn)椋瑒t.則，所以.18．（12分）京廣高速鐵路(又稱京廣高鐵)是中國(guó)運(yùn)營(yíng)中的高速客運(yùn)專線之一，被譽(yù)為世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路，在出行人群中越來越受歡迎.現(xiàn)交通部門利用大數(shù)據(jù)工具隨機(jī)抽取了沿線城市出行人群中的名旅客進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得知在這名旅客中歲(含)以下采用乘坐京廣高鐵出行的占.歲(含)以下歲上合計(jì)乘京廣高跌不乘京廣高跌合計(jì)（1）請(qǐng)完成的列聯(lián)表，并由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷有多大把握認(rèn)為“乘坐京廣高鐵出行與年齡有關(guān)”?（2）為優(yōu)化服務(wù)質(zhì)量，鐵路部門從這名旅客按年齡采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人免費(fèi)到廣州參加座談會(huì)，會(huì)后再進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)品共三份.由于年齡差異，規(guī)定歲(含)以下的旅客若中獎(jiǎng)每人得元，歲以上的旅客若中獎(jiǎng)每人得元，這兩個(gè)年齡段的得獎(jiǎng)人數(shù)分別記為與.設(shè)旅客抽獎(jiǎng)所得的總金額為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式:，參考數(shù)據(jù)如表【解析】（1）由已知可得，歲（含）以下采用乘坐京廣高鐵出行的有人列聯(lián)表如表:歲(含)以下歲上合計(jì)乘京廣高跌不乘京廣高跌合計(jì)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算可得的觀測(cè)值由于，故有的把握認(rèn)為“采用乘坐京廣高鐵出行與年齡有關(guān)”.（2）采用分層抽樣的方法，從“歲(含)以下”的人中抽取人，從“歲以上”的人中抽取人，由或或的可能取值為:故分布列如表:數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖①，在等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)為中點(diǎn),現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中.（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．【解析】（Ⅰ）由題意，可知在等腰梯形中，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，.

∴折疊后，，.

∵，∴平面.

又平面，∴.

（Ⅱ）易知，.∵，∴.

又，∴四邊形為平行四邊形.∴，故.∵平面平面，平面平面，且，∴平面

∴.即三棱錐的體積為.20．（12分）已知橢圓的離心率，焦距是．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，，求的值．【解析】（1），，又，所以，∴橢圓方程為．（2）設(shè)，、，，將帶入整理得所以有①所以又代入上式，整理得即解得或即經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立，故為所求．21．（12分）己知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)，，求a的取值范圍；(3)證明：．【解析】(1)定義域?yàn)椋?，＋∞），．記．當(dāng)時(shí)，，即，所以在（0，＋∞）上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得，（舍去）．當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．(2)由（1）知，當(dāng)時(shí)，在[1，＋∞）單調(diào)遞減，所以．此時(shí)．令，解得．當(dāng)時(shí)，若，即，由（1），設(shè)的正根為，則必有，且當(dāng)，，即，所以在[1，＋∞）單調(diào)遞增．此時(shí)，．令，解得．若，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，注意到，知．又當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理，使，此時(shí)，不滿足題意．綜上，a的取值范圍是或．(3)由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即．又時(shí)，，，所以．令，得．所以，，，…，．故，即．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值．【解析】（1）因?yàn)橹本€，故.即直線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)榍€，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）設(shè)直線的參