第十知識塊概率與統(tǒng)計易錯題型分析

第十知識塊概率與統(tǒng)計易錯題型分析高考熱點聚焦縱觀近2022年全國各地高考，涉及統(tǒng)計的考題多以客觀題的形式出現(xiàn)，而涉及概率的考題多以主觀題的形式出.考查內(nèi)容主要集中在：計算等可能事件及獨立事件的概率；求簡單隨機變量的分布列、期望、方差；三種抽樣方法；考查的數(shù)學思想方法有：分類與分布思想、數(shù)形結合和轉(zhuǎn)化思想.高考考綱1、了解等可能性事件的概念的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率．2、了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率．會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率．3、了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列．4、了解離散型隨機變量的期望值、方差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望值、方差．5、會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本．6、會用樣本頻率分布去估計總體分布，了解正態(tài)分布的意義與主要性質(zhì)及線性回歸的方法和簡單應用．易錯題一、概率例1、某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復地試開，問恰好第三次打開房門鎖的概率是多少？【錯誤分析】：有5把鑰匙，每次打開房門的概率都是，不能打開房門的概率是，因而恰好第三次打開房門的概率是××＝.上述解法忽略了條件“逐把不重復地試開”【答案】【解析】我們知道最多開5次門，且其中有且僅有一次可以打開房門，故每一次打開門的概率是相同的，都是.開三次門的所有可能性有種.第三次打開房門，則房門鑰匙放在第3號位置上，前兩次沒能打開門，則前2個位置是用另4把鑰匙安排的，故有種可能.從而恰好第三次打開房門鎖的概率是P（A）＝.【易錯點點睛】求解等可能性事件的概率時，先確定本事件包含的有利事件數(shù)和本試驗的基本事件總數(shù)，然后代入概率公式即可例2、某組有16名學生，其中男、女生各占一半，把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，求每小組里男、女生人數(shù)相同的概率.【錯誤分析】：把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，有種分法，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以P（A）＝.這里沒注意到均勻分成兩組與分成A、B兩組的區(qū)別.【答案】【解析】基本事件有，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以P（A）＝【易錯點點睛】本小題主要考查等可能事件概率的計算、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的概念及其計算，考查分析問題及解決實際問題的能力.這也可以用排列組合中的分堆知識來理解.例3、從0,1，2,3這四位數(shù)字中任取3個進行排列，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，求排成的三位數(shù)是偶數(shù)的概率.【錯誤分析】：記“排成的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件A，P（A）＝＝.上述解法忽略了排成的三位數(shù)首位不能為零【答案】【解析】記“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是0”為事件A，“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是2”為事件B，且A與B互斥，則“排成的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件A＋B，于是P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.【易錯點點睛】不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，要注意只有事件互斥時才能用概率的加法公式,此外，至少、至多問題常使用“正難則反”的策略求解.例4、甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為．本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束．設各局比賽相互間沒有影響，求：(1)前三局比賽甲隊領先的概率；(Ⅱ)本場比賽乙隊以取勝的概率．(精確到【錯誤分析】：本題重點考查相互獨立事件的概率乘法公式的本質(zhì)——同時發(fā)生，同時還考查互斥事件的概率。在具體解題中注意與遞推有關的概率的計算。【答案】(1)(2)【解析】單局比賽甲隊勝乙隊的概率為，乙隊勝甲隊的概率為1－=(1)記“甲隊勝三局”為事件A，“甲隊勝二局”為事件B，則∴前三局比賽甲隊領先的概率為P(A)+P(B)=(2)若本場比賽乙隊3：2取勝，則前四局雙方應以2：2戰(zhàn)平，且第五局乙隊勝。所以，所求事件的概率為【易錯點點睛】本例為比賽型試題，這類試題極富時代氣息，故成為近年高考的“新寵”，解此類題的關鍵是仔細研究比賽規(guī)則，特別要關注最后一局的勝負情況.易錯點二、統(tǒng)計例1、某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5：1，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A型號有16件，那么此樣本容量n是多少？【錯誤分析】：樣本容量16=2（件）【答案】88件【解析】在分層抽樣中，每一層所抽的個體數(shù)的比例與總體中各層個體數(shù)的比例是一致的，所以，樣本容量為【易錯點點睛】混淆了A型號產(chǎn)品與樣本容量的比例關系.例2、一個社會調(diào)查機構就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）.為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這10000人用再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（元）月收入段應抽出人.【錯誤分析】：頻率分布直方圖中，關健要理解圖中數(shù)據(jù)的意義，特別是圖中每個小矩形的面積才是這一組距內(nèi)個體的頻率.【答案】25【解析】由直方圖可得（元）月收入段共有人，按分層抽樣應抽出人.【易錯點點睛】并做出相應的估計。例3、從有甲乙兩臺機器生產(chǎn)的零件中各隨機抽取15個進行檢驗，相關指標的檢驗結果為：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514畫出上述數(shù)據(jù)的莖葉圖【錯誤分析】：甲乙80787632102466887642202013468433024【答案】見解析【解析】用前兩位數(shù)作為莖，莖葉圖為甲乙8507876325102466887642205201346843530254從圖中可以看出，甲機床生產(chǎn)的零件的指標分布大致對稱，平均分在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)都是522，乙機床生產(chǎn)的零件的指標分布也大致對稱，平均分也在520左右，中位數(shù)和眾數(shù)分別是520和516，總的看，甲的指標略大一些.【易錯點點睛】對于兩位數(shù)是將兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上向下列出，共莖的葉一般按從大到?。ɑ驈男〉酱螅┑捻樞蛲辛谐觯瑢τ谌粩?shù)字，應該把前兩位數(shù)字作為莖，最后一位數(shù)字作為葉，然后從圖中觀察數(shù)據(jù)的分布情況，而不是仍考慮兩位數(shù)，盡管此題的效果一樣.例4、某工廠在2022年的各月中，一產(chǎn)品的月總成本y（萬元）與月產(chǎn)量x（噸）之間有如下數(shù)據(jù)：XY若2022年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.【錯誤分析】：此題的月總成本y與月產(chǎn)量x之間確實是有線性相關關系，若不具有則會導致錯誤.因此判斷的過程不可少.【答案】見解析【解析】（1）散點圖見下面，從圖中可以看到，各點大致在一條直線附近，說明x和y有較強的線性相關關系。（2）代入公式（*）得：a=,b=，線性回歸方程是：y=+.（3）當x=時，y=（萬元），即該產(chǎn)品1月份的總成本的估計值為萬元.【易錯點點睛】可將此問題轉(zhuǎn)化為下面三個問題：（1）畫出散點圖，根據(jù)散點圖，大致判斷月總成本y與月產(chǎn)量之間是否有線性相關關系；（2）求出月總成本y與月產(chǎn)量x之間的線性回歸方程；（3）若2022年1月份該產(chǎn)品的計劃產(chǎn)量是6噸，試估計該產(chǎn)品1月份的總成本.例5、在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。（1）、試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？（2）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數(shù)線約為多少分？可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表0123456789【錯誤分析】：本題為表格信息題，要注意正確查閱表格中的數(shù)據(jù)，否則將前功盡棄.正態(tài)分布問題在高考中很少涉及，但畢竟是一個考點，也應該引起我們的重視【答案】分【解析】(1)設參賽學生的分數(shù)為，因為～N(70，100)，由條件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－＝.這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）。(2)假定設獎的分數(shù)線為x分，則P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x)＝＝，即＝，查表得≈，解得x＝.故設獎得分數(shù)線約為分?！疽族e點點睛】一個隨機變量若服從標準正態(tài)分布，可以借助于標準正態(tài)分布表，查出其值。但在標準正態(tài)分布表中只給出了，即的情形，對于其它情形一般用公式：φ(-x)=1-φ(x)；p(a<x<b)=φ(b)-φ(a)及等來轉(zhuǎn)化。從本題可知，在標準正態(tài)分布表中只要給出了的概率，就可以利用上述三個公式求出其它情形下的概率。易錯點三、離散型隨機變量的期望與方差例1、甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是eq\f(1,3),eq\f(2,5),eq\f(1,2)．(Ⅰ)現(xiàn)3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投籃3次的進球數(shù),求隨機變量ξ的概率分布及數(shù)學期望Eξ【錯誤分析】：判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件【答案】(Ⅰ)eq\f(1,5)(Ⅱ)eq\f(6,5)【解析】(Ⅰ)記"甲投籃1次投進"為事件A1，"乙投籃1次投進"為事件A2，"丙投籃1次投進"為事件A3，"3人都沒有投進"為事件A．則P(A1)=eq\f(1,3)，P(A2)=eq\f(2,5)，P(A3)=eq\f(1,2)，∴P(A)=P(．．)=P()·P()·P()=[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]=(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(2,5))(1－eq\f(1,2))=eq\f(1,5)∴3人都沒有投進的概率為eq\f(1,5)．(Ⅱ)解法一:隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3，ξ~B(3，eq\f(2,5))，P(ξ=k)=C3k(eq\f(2,5))k(eq\f(3,5))3－k(k=0，1，2，3)，Eξ=np=3×eq\f(2,5)=eq\f(6,5)．解法二:ξ的概率分布為:ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)Eξ=0×eq\f(27,125)+1×eq\f(54,125)+2×eq\f(36,125)+3×eq\f(8,125)=eq\f(6,5)．【易錯點點睛】已知概率求概率，主要運用加法公式（互斥）和乘法公式（獨立）以及n次獨立重復試驗（二項分布），注意條件和適用的范圍，另外利用二項分布期望和方差結論使問題簡潔明了。例2、一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”隨機地反復出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“○”和“×”之一，其中出現(xiàn)“○”的概率為p，出現(xiàn)“×”的概率為q，若第k次出現(xiàn)“○”，則記ak=1；出現(xiàn)“×”，則記ak＝1，令Sn＝a1+a2+…+an（Ⅰ）當p=q=eq\f(1,2)時，記=|S3|，求的分布列及數(shù)學期望；（Ⅱ）當p=eq\f(1,3)，q=eq\f(2,3)時，求S8=2且Si0(i=1,2,3,4)的概率.【錯誤分析】：求隨機變量的分布列，重要的基礎是概率的計算，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率等.（1）=1和=3兩種情況互斥，（2）有限制條件的概率計算要認清限制條件對事件的影響，在本題中，隨機變量的確定，稍有不慎，就將產(chǎn)生失誤【答案】（Ⅰ）eq\f(3,2)（Ⅱ）eq\f(80,2187)【解析】（Ⅰ）∵=|S3|的取值為1，3，又p=q=eq\f(1,2)∴P(=1)=Ceq\S(1,3)(eq\f(1,2))(eq\f(1,2))22=eq\f(3,4)，P(=3)=(eq\f(1,2))3+(eq\f(1,2))3=eq\f(1,4)……………5分∴ξ的分布列為13Peq\f(3,4)eq\f(1,4)…………6分∴Eξ=1×eq\f(3,4)+3×eq\f(1,4)=eq\f(3,2)……………7分（Ⅱ）當S8=2時，即前八秒出現(xiàn)“○”5次和“×”3次，又已知Si0(i=1,2,3,4)若第一、三秒出現(xiàn)“○”，則其余六秒可任意出現(xiàn)“○”3次；若第一、二秒出現(xiàn)“○”，第三秒出現(xiàn)“×”，則后五秒可任出現(xiàn)“○”3次.故此時的概率為P=(Ceq\S(3,6)+Ceq\S(3,5))(eq\f(1,3))5(eq\f(2,3))3=eq\f(308,38)=eq\f(80,2187)……13分【易錯點點睛】對于分布列要熟記一個基本型（）和三個特殊型（，二項分布，幾何分布）的定義和有關公式；此類問題解題思維的的流程是：要求期望，則必先求分布列，而求分布列的難點在于求概率，求概率的關鍵在于要真正弄清每一個隨機變量“”所對應的具體隨機試驗的結果。.例3、甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是.假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響.（１）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；（２）假設某人連續(xù)2次未擊中目標，則停止射擊.問:乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？（３）若甲連續(xù)射擊5次,用ξ表示甲擊中目標的次數(shù)，求ξ的數(shù)學期望Eξ.【錯誤分析】：概率題常常有如下幾種類型：①等可能性事件的概率；②互斥事件的概率；③獨立事件同時發(fā)生的概率；④獨立重復試驗事件的概率.弄清每種類型事件的特點，區(qū)分使用概率求法，如本題的第一問是一個獨立事件同時發(fā)生的問題，滿足幾何顯著條件：每次射中目標都是相互獨立的、可以重復射擊即事件重復發(fā)生、每次都只有發(fā)生或不發(fā)生兩種情形且發(fā)生的概率是相同的.第二問解答時要認清限制條件的意義.【答案】（1）(2)（3）【解析】（1）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A1，由題意，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，故P（A1）=答：甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為；(2)記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A3，“乙第i次射擊未擊中”為事件Di，（i=1，2，3，4，5），則，由于各事件相互獨立，故答：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是（3）根據(jù)題意ξ服從二項分布；Eξ=5×【易錯點點睛】本小題主要考查概率的計算、離散型隨機