曲線擬合課件

1第四講

曲線擬合2第四講主要知識(shí)點(diǎn)1、曲線擬合的概念2、曲線擬和的方法3、解矛盾方程組3函數(shù)插值問(wèn)題回憶設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：插值問(wèn)題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù)的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn)的函數(shù)值，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。5曲線擬合的概念如圖所示，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律．用幾何方法來(lái)解釋?zhuān)褪怯靡阎矫鎯?nèi)的一組點(diǎn)，來(lái)確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫(huà)這組點(diǎn)的變化趨勢(shì)而不需通過(guò)每個(gè)點(diǎn)，我們稱(chēng)這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱(chēng)為擬合曲線。xy6曲線擬合的方法將上述問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題為：設(shè)有一組數(shù)據(jù)對(duì)，，求連續(xù)變量的一個(gè)函數(shù)，它在處誤差為，使總體誤差按某種算法達(dá)到最小．常用的三種準(zhǔn)則是:7曲線擬合的方法（１）使得誤差的最大的絕對(duì)值為最小，即（２）使誤差的絕對(duì)值和最小，即（３）使誤差的平方和為最小，即由于準(zhǔn)測(cè)（１）、（２）含有絕對(duì)值不便于處理，通常采用準(zhǔn)測(cè)（３），并稱(chēng)基于準(zhǔn)則（３）來(lái)選取擬合曲線的方法，為曲線擬合的最小二乘法。太復(fù)雜不可導(dǎo)，求解困難9多項(xiàng)式擬合定義設(shè)有給定的數(shù)據(jù)，假設(shè)其擬合函數(shù)形式為，求系數(shù)，使得

取最小值．稱(chēng)次多項(xiàng)式為次最小二乘擬合多項(xiàng)式(或次最小平方逼近多項(xiàng)式)。特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為線性最小二乘擬合。10多項(xiàng)式擬合容易看出是系數(shù)的元二次多項(xiàng)式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值點(diǎn)和最小值。將對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得到駐點(diǎn)方程組：

，即

11直線擬合問(wèn)題對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，求作一次式，使總誤差為最小，即在二元函數(shù)式中

為最小。

這里Q是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，這一問(wèn)題就是要確定a和b取何值時(shí)，二元函數(shù)的值最小?13直線擬合14擬合例題例1已知觀測(cè)數(shù)據(jù)如下所示，求它的擬合曲線。解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖中可以看出，各點(diǎn)在一條直線附近，故可取線性函數(shù)作為擬合曲線1234544.5688.515擬合例題（續(xù)1）令將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得。因此而得所求擬合曲線為。17擬合例題解首先，將這些數(shù)據(jù)畫(huà)在直角坐標(biāo)系中，從圖形上看，數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布大致呈一條直線，所以設(shè)所求的擬合直線為，得關(guān)于a和b的線性方程組18其他類(lèi)擬合問(wèn)題最小二乘法并不只限于多項(xiàng)式，也可用于任何具體給出的函數(shù)形式。特別重要的是有些非線性最小二乘擬合問(wèn)題通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q可以轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問(wèn)題求解。19擬合例題例2已知數(shù)據(jù)表12347111727求一形如解：所求擬合函數(shù)是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，對(duì)它兩邊取自然對(duì)數(shù)，得

的經(jīng)驗(yàn)公式與已知數(shù)據(jù)擬合．21擬合例題解之得于是故所求經(jīng)驗(yàn)公式為．22擬合例題分析通過(guò)上述兩例可知，用多項(xiàng)式作曲線擬合的計(jì)算步驟可分為如下幾步：（１）根據(jù)已給的數(shù)據(jù)作草圖，由草圖估計(jì)出多項(xiàng)式的次數(shù)(m次)并令，其中（２）求解由最小二乘原理得到的方程組；（３）將所得的解作為擬合多項(xiàng)式的相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)，則此多項(xiàng)式即為所求。為待定系數(shù)；23矛盾方程組試求下列矛盾方程組的解：很顯然，直接求解是不行的，因?yàn)闈M足方程組的精確解是不存在的！只能求出盡量滿足方程組的近似解。25矛盾方程組得解：Matlab實(shí)例xdata=[05101525];ydata=[0.0010.8812.16373.18274.961];degree=1;%Linearrelationshipcoef=polyfit(xdata,ydata,degree);xx=-5:0.5:30;%Rangeforplottingyy=polyval(coef,xx);plot(xdata,ydata,'o',xx,yy);2629使得30由多元函數(shù)取極值的必要條件得即31引入記號(hào)定義加權(quán)內(nèi)積32矩陣形式(法方程組)為方程組式化為33平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為34Subject:WhatWeighted-Least-SquaresFittingcapabilitiesareavailableinMATLAB6.1(R12.1)andtheToolboxes?ProblemDescription:Currently,thepresenceofdataoutlierscancreateanundesirablefit.Becausetheoutlierliesfarawayfromthetruepatternofdata,itinduceserrortothetruefit.Aworkaroundtothisproblemwouldbetominimizetheweight(s)ofsuchoutlier(s).Solution:InMATLAB,theLSCOVfunctioncanperformweighted-least-squareregression.x=lscov(A,b,w)wherewisavectorlengthmofrealpositiveweights,returnstheweightedleastsquaressolutiontothelinearsystemA*x=b,thatis,xminimizes(b-A*x)'*diag(w)*(b-A*x).wtypicallycontainseithercountsorinversevariances.Inaddition,therearethreetoolboxesyoucanusetoimplementweightsforyourfits:==================1.StatisticsToolbox:==================WeightedlinearregressionintheStatisticsToolboxispartoftheROBUSTFITfunction,B=ROBUSTFIT(X,Y,'WFUN',TUNE,'CONST')usestheweightingfunction'WFUN'andtuningconstantTUNE.'WFUN'canbeanyof'andrews''bisquare','cauchy','fair','huber','logistic','talwar','welsch'.Asanalternativetospecifyingoneofthenamedweightfunctionsshownabove,youcanalsowriteyourownweightfunction(wfun)thattakesavectorofscaledresidualsasinputandproducesavectorofweightsasoutput.FordocumentationonROBUSTFIT,youcantype"docrobustfit"(withoutquotes)attheMATLABcommandpromptorviewtheonlinedocumentationfoundattheURLbelow:ForMATLABversionspriorto7.1(R14SP3),wedonotsupportanon-linearweightedleast-squarefitintheStatisticsToolbox.InMATLAB7.1(R14SP3),thedemo"WeightedNonlinearRegression",addressesthisandisalsoavailableonthewebatthefollowinglink35====================2.CurveFittingToolbox====================WehaveamoregeneralweightedleastsquareregressioncapabilityintheCurveFittingToolboxthatsupportsanyfit,linearandnon-linear.TheweightispartoftheoptionstotheFit,andissuppliedusingthefunctionFITOPTIONS.GotothefollowingURLfordocumentationonFITOPTIONS:IntheCurveFittingToolbox,theweightcanactuallybeanyvectorofweightsassociatedwiththeresponsedata.FollowthislinkformoreinformationaboutthisToolbox:====================3.OptimizationToolbox.====================LSQNONLINandLSQCURVEFITareleast-squaressolversintheOptimizationToolboxthatcanbeusedtofitequ