曲線擬合課件

1第四講

曲線擬合2第四講主要知識點1、曲線擬合的概念2、曲線擬和的方法3、解矛盾方程組3函數(shù)插值問題回憶設(shè)已知某個函數(shù)關(guān)系在某些離散點上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達式,以便于計算點的函數(shù)值，或計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。5曲線擬合的概念如圖所示，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律．用幾何方法來解釋，就是用已知平面內(nèi)的一組點，來確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫這組點的變化趨勢而不需通過每個點，我們稱這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱為擬合曲線。xy6曲線擬合的方法將上述問題抽象為數(shù)學(xué)問題為：設(shè)有一組數(shù)據(jù)對，，求連續(xù)變量的一個函數(shù)，它在處誤差為，使總體誤差按某種算法達到最?。Ｓ玫娜N準(zhǔn)則是:7曲線擬合的方法（１）使得誤差的最大的絕對值為最小，即（２）使誤差的絕對值和最小，即（３）使誤差的平方和為最小，即由于準(zhǔn)測（１）、（２）含有絕對值不便于處理，通常采用準(zhǔn)測（３），并稱基于準(zhǔn)則（３）來選取擬合曲線的方法，為曲線擬合的最小二乘法。太復(fù)雜不可導(dǎo)，求解困難9多項式擬合定義設(shè)有給定的數(shù)據(jù)，假設(shè)其擬合函數(shù)形式為，求系數(shù)，使得

取最小值．稱次多項式為次最小二乘擬合多項式(或次最小平方逼近多項式)。特別地，當(dāng)時，稱為線性最小二乘擬合。10多項式擬合容易看出是系數(shù)的元二次多項式(二次型)，所以可以用多元函數(shù)求極值的方法求其最小值點和最小值。將對求偏導(dǎo)數(shù)得到駐點方程組：

，即

11直線擬合問題對于給定的數(shù)據(jù)點，求作一次式，使總誤差為最小，即在二元函數(shù)式中

為最小。

這里Q是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，這一問題就是要確定a和b取何值時，二元函數(shù)的值最小?13直線擬合14擬合例題例1已知觀測數(shù)據(jù)如下所示，求它的擬合曲線。解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)下畫出數(shù)據(jù)點，從圖中可以看出，各點在一條直線附近，故可取線性函數(shù)作為擬合曲線1234544.5688.515擬合例題（續(xù)1）令將數(shù)據(jù)帶入公式得，解得。因此而得所求擬合曲線為。17擬合例題解首先，將這些數(shù)據(jù)畫在直角坐標(biāo)系中，從圖形上看，數(shù)據(jù)點的分布大致呈一條直線，所以設(shè)所求的擬合直線為，得關(guān)于a和b的線性方程組18其他類擬合問題最小二乘法并不只限于多項式，也可用于任何具體給出的函數(shù)形式。特別重要的是有些非線性最小二乘擬合問題通過適當(dāng)?shù)淖儞Q可以轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問題求解。19擬合例題例2已知數(shù)據(jù)表12347111727求一形如解：所求擬合函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)，對它兩邊取自然對數(shù)，得

的經(jīng)驗公式與已知數(shù)據(jù)擬合．21擬合例題解之得于是故所求經(jīng)驗公式為．22擬合例題分析通過上述兩例可知，用多項式作曲線擬合的計算步驟可分為如下幾步：（１）根據(jù)已給的數(shù)據(jù)作草圖，由草圖估計出多項式的次數(shù)(m次)并令，其中（２）求解由最小二乘原理得到的方程組；（３）將所得的解作為擬合多項式的相關(guān)項的系數(shù)，則此多項式即為所求。為待定系數(shù)；23矛盾方程組試求下列矛盾方程組的解：很顯然，直接求解是不行的，因為滿足方程組的精確解是不存在的！只能求出盡量滿足方程組的近似解。25矛盾方程組得解：Matlab實例xdata=[05101525];ydata=[0.0010.8812.16373.18274.961];degree=1;%Linearrelationshipcoef=polyfit(xdata,ydata,degree);xx=-5:0.5:30;%Rangeforplottingyy=polyval(coef,xx);plot(xdata,ydata,'o',xx,yy);2629使得30由多元函數(shù)取極值的必要條件得即31引入記號定義加權(quán)內(nèi)積32矩陣形式(法方程組)為方程組式化為33平方誤差為作為特殊情形,用多項式作擬合函數(shù)的法方程組為34Subject:WhatWeighted-Least-SquaresFittingcapabilitiesareavailableinMATLAB6.1(R12.1)andtheToolboxes?ProblemDescription:Currently,thepresenceofdataoutlierscancreateanundesirablefit.Becausetheoutlierliesfarawayfromthetruepatternofdata,itinduceserrortothetruefit.Aworkaroundtothisproblemwouldbetominimizetheweight(s)ofsuchoutlier(s).Solution:InMATLAB,theLSCOVfunctioncanperformweighted-least-squareregression.x=lscov(A,b,w)wherewisavectorlengthmofrealpositiveweights,returnstheweightedleastsquaressolutiontothelinearsystemA*x=b,thatis,xminimizes(b-A*x)'*diag(w)*(b-A*x).wtypicallycontainseithercountsorinversevariances.Inaddition,therearethreetoolboxesyoucanusetoimplementweightsforyourfits:==================1.StatisticsToolbox:==================WeightedlinearregressionintheStatisticsToolboxispartoftheROBUSTFITfunction,B=ROBUSTFIT(X,Y,'WFUN',TUNE,'CONST')usestheweightingfunction'WFUN'andtuningconstantTUNE.'WFUN'canbeanyof'andrews''bisquare','cauchy','fair','huber','logistic','talwar','welsch'.Asanalternativetospecifyingoneofthenamedweightfunctionsshownabove,youcanalsowriteyourownweightfunction(wfun)thattakesavectorofscaledresidualsasinputandproducesavectorofweightsasoutput.FordocumentationonROBUSTFIT,youcantype"docrobustfit"(withoutquotes)attheMATLABcommandpromptorviewtheonlinedocumentationfoundattheURLbelow:ForMATLABversionspriorto7.1(R14SP3),wedonotsupportanon-linearweightedleast-squarefitintheStatisticsToolbox.InMATLAB7.1(R14SP3),thedemo"WeightedNonlinearRegression",addressesthisandisalsoavailableonthewebatthefollowinglink35====================2.CurveFittingToolbox====================WehaveamoregeneralweightedleastsquareregressioncapabilityintheCurveFittingToolboxthatsupportsanyfit,linearandnon-linear.TheweightispartoftheoptionstotheFit,andissuppliedusingthefunctionFITOPTIONS.GotothefollowingURLfordocumentationonFITOPTIONS:IntheCurveFittingToolbox,theweightcanactuallybeanyvectorofweightsassociatedwiththeresponsedata.FollowthislinkformoreinformationaboutthisToolbox:====================3.OptimizationToolbox.====================LSQNONLINandLSQCURVEFITareleast-squaressolversintheOptimizationToolboxthatcanbeusedtofitequ