考點(diǎn)26 矩形【有答案】

考點(diǎn)二十六矩形【命題趨勢】在中考中，矩形主要在選擇題，填空題，解答題考查為主，并結(jié)合相似，銳角三角函數(shù)結(jié)合考查。 【中考考查重點(diǎn)】矩形的性質(zhì)及判定二、矩形與折疊綜合考點(diǎn)：矩形一、矩形的概念與性質(zhì)概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。性質(zhì)：（1）矩形的對邊平行且相等；（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對角線相等。二、矩形的判定有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個(gè)直角的四邊形是矩形。1.（2019春?金壇區(qū)期中）下列性質(zhì)中，矩形具有而平行四邊形不一定具有的是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．兩組對角分別相等 D．兩組對邊分別平行且相等【答案】A【解答】解：矩形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角線互相平分且相等；平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角線互相平分；故選項(xiàng)B、C、D不符合題意，A符合題意；故選：A．2.（2020?菏澤）如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【答案】C【解答】解：由于E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故選：C．3.（2019春?德陽期末）如圖，將兩塊完全相同的矩形紙片ABCD和矩形紙片AEFG按圖示方式放置（點(diǎn)A、D、E在同一直線上），連接AC、AF、CF，已知AD＝3，DC＝4，則CF的長是（）A．5 B．7 C．5 D．10【答案】C【解答】解：∵兩塊完全相同的矩形紙片ABCD和矩形紙片AEFG，∴AG＝AD＝BC＝3，F(xiàn)G＝AB＝CD＝4，∠FGA＝∠ABC＝90°，AC＝＝＝5，在△FGA和△ABC中，，∴△FGA≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∠GFA＝∠BAC，∠GAF＝∠BCA，∵∠GFA+∠GAF＝90°，∴∠GAF+∠BAC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴△CAF是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝5，故選：C．4.（2019?朝陽）如圖，在矩形ABCD中對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，CE＝5，且EO＝2DE，則AD的長為（）A．5 B．6 C．10 D．6【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴設(shè)DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，∵x＞0，∴DE＝，AC＝6，∴CD＝＝＝，∴AD＝＝＝5，故選：A．5.（2020春?常州期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD是對角線，下列條件中能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（）A．∠BAC＝∠ABD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠DCA D．∠BAC＝∠ADB【答案】A【解答】解：A、∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB，∴AC＝BD，能判定平行四邊形ABCD為矩形，正確；B、∵∠BAC＝∠DAC，BO＝OD，∴AB＝AD，能判定平行四邊形ABCD為菱形，錯(cuò)誤；C、∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，不能判定平行四邊形ABCD為矩形，錯(cuò)誤；D、∵∠BAC＝∠ADB，不能判定平行四邊形ABCD為矩形，錯(cuò)誤；故選：A．6.（2020春?和平區(qū)期末）下列命題正確的是（）A．有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 B．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相平分的四邊形是矩形【答案】B【解答】解：A、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)不能判定是矩形；B、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，能判定是矩形；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)不能判定是矩形；D、兩條對角線互相平分四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不能判定是矩形．故選：B．7.（2019春?海淀區(qū)校級期中）如圖，AC是?ABCD的對角線，延長BA至點(diǎn)E，使AE＝AB，連接DE（1）求證：四邊形ACDE是平行四邊形；（2）連接EC交AD于點(diǎn)O，若∠EOD＝2∠B，求證：四邊形ACDE是矩形．【答案】（1）略（2）略【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴AE＝CD，且AB∥CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠ADC，∵∠EOD＝2∠B∴∠EOD＝2∠ADC，且∠EOD＝∠ADC+∠OCD，∴∠ADC＝∠OCD，∴OC＝OD，∵四邊形ACDE是平行四邊形；∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，∴AD＝CE，∴四邊形ACDE是矩形．8.（2019春?郁南縣期末）如圖，AD是△ABC的中線，AE∥BC，BE交AD于點(diǎn)F，且AF＝DF．（1）求證：△AFE≌△DFB；（2）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（3）當(dāng)AB、AC之間滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是矩形．【答案】（1）略（2）略（3）AB＝AC【解答】證明：（1）∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，且∠AFE＝∠DFB，AF＝DF∴△AFE≌△DFB（AAS）（2）∵△AFE≌△DFB，∴AE＝BD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD∴AE＝CD∵AE∥BC∴四邊形ADCE是平行四邊形；（3）當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADCE是矩形；∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°∵四邊形ADCE是平行四邊形∴四邊形ADCE是矩形∴當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形ADCE是矩形．1．（2019春?雙臺子區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOD＝120°，則對角線AC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BO＝CO，∠ABC＝90°．又∠BOC＝∠AOD＝120°，∴∠ACB＝30°．在Rt△ACB中，AC＝2AB＝2×2＝4．故選：B．2．（2021春?黃州區(qū)期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60° B．45° C．30° D．22.5°【答案】C【解答】解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故選：C．3．（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接DF，若AB＝9，AD＝，則四邊形CDFE的面積是（）A． B． C． D．54【答案】C【解答】解：過點(diǎn)F作直線MN，使MN⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠EFN，∴△AFM≌△EFN（AAS），∴MF＝FN＝AB＝4.5，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝BC＝3，∴四邊形CDFE的面積＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，故選：C．4．（2019?臨沂）如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N是BD上兩點(diǎn)，BM＝DN，連接AM、MC、CN、NA，添加一個(gè)條件，使四邊形AMCN是矩形，這個(gè)條件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【答案】A【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD∵對角線BD上的兩點(diǎn)M、N滿足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四邊形AMCN是平行四邊形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四邊形AMCN是矩形．故選：A．5．（2020秋?福山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于E，F(xiàn)，連接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如圖：則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S陰＝+＝3，故選：A．6．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，長方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝1cm，在直線DA上，將長方形ABCD向右無滑動(dòng)的滾動(dòng)下去，（如①為第1次、②為第2次、③為第3次…）則第2022此滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離為cm．【答案】3034【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2（cm），BC＝AD＝1（cm），第1次滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2＝3（cm），第2次滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1＝4（cm），第3次滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1+2＝6（cm），第4次滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+2+1+2+1＝7（cm），???第2022次滾動(dòng)后得到的長方形最右側(cè)邊與CD邊的距離＝1+3×＝3034（cm），故答案為：3034．7．（2019秋?富平縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE⊥BC交CB延長線于E，CF∥AE交AD延長線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）連接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的長．【答案】（1）略（2）OE＝2．【解答】（1）證明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AE⊥BC，∴平行四邊形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．8．（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）當(dāng)∠ADB＝60°，AD＝2時(shí)，求EA的長．9．（2019春?魚臺縣期末）如圖，在△ABC中，O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過O點(diǎn)作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）試說明：OE＝OF；（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）略（2）O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，證明如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECA+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形．1．（2020?懷化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若△AOB的面積為2，則矩形ABCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面積為4S△ABO＝8，故選：C．2．（2021?遂寧）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)CE＝x，則BE＝3﹣x．由折疊性質(zhì)可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故選：D．3．（2021?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件，使平行四邊形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一個(gè)條件為：∠ABC＝90°，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021?貴港）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，設(shè)AB＝a，則AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD?AE＝AB?AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．5．（2021?十堰）如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，∴BO＝AC＝6.5，∴四邊形ABOM的周長為AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案為：20．6．（2021?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線BD的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則線段EF的長為．【答案】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分線，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分線，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案為：．7．（2021?棗莊）如圖，∠BOD＝45°，BO＝DO，點(diǎn)A在OB上，四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F．下列4個(gè)判斷：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若點(diǎn)G是線段OF的中點(diǎn)，則△AEG為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是．（填序號）【答案】①③④【解答】解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正確；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②錯(cuò)誤；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，連接BF，如圖1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正確；④根據(jù)題意作出圖形，如圖2，∵G是OF的中點(diǎn)，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四邊形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG為等腰直角三角形，故④正確；∴判斷正確的是①③④．故答案為：①③④．8．（2021?貴陽）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．（1）求證：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）證明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四邊形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．9．（2021?金華）已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形對角線的長；（2）過O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4（2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形對角線的長為4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于點(diǎn)E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．1．（2021?田林縣模擬）矩形紙片在平行投影下的正投影不可能是（）A．矩形 B．平行四邊形 C．線段 D．點(diǎn)【答案】D【解答】解：一張矩形紙片在太陽光線的照射下，形成影子不可能是點(diǎn)，故選：D．2．（2021?臨沂模擬）如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（）、（﹣） B．（）、（﹣） C．（）、（﹣） D．（）、（﹣）【答案】B【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥y軸，過點(diǎn)A作AF∥x軸，交點(diǎn)為F，延長CA交x軸于點(diǎn)H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即＝，∴OE＝，即點(diǎn)B（，3），∴AF＝OE＝，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：﹣（2﹣）＝﹣，∴點(diǎn)C（﹣，4）．故選：B．3．（2021?任城區(qū)校級一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，則OM+MN的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝＝＝5，∴DO＝BO＝AC＝，∵對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△BOC的面積為3，∵M(jìn)N⊥BD，OM⊥AC，∴S△BOC＝S△BOM+S△MOC，即3＝BO×MN+CO×OM，∴3＝××MN+×OM，∴5（MN+OM）＝12，∴OM+MN＝，故選：C．4．（2021?涪城區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，有下面結(jié)論：①CF＝2AF；②DF＝EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：①∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正確；②如圖，延長BE、CD交于點(diǎn)M，設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD＝AB＝a，∴＝＝，∴MC＝2MD，∴MD+CD＝2MD，∴CD＝MD＝a，∴MC＝2CD＝2a，∵∠CFM＝90°，∴DF＝MC＝a，在Rt△ABE中，BE＝＝＝a，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△EAF∽△EBA，∴＝，即＝，∴EF＝a，∴＝＝，∴DF＝EF，故②正確；③如圖，由②可得：DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，又∵△BAE∽△ADC，∴∠AEB＝∠DCF，∴∠DFC＝∠AEB，故③正確；④如圖，設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由②知，b＝a，∴tan∠CAD＝＝＝＝，故④錯(cuò)誤；故選：C．5．（2021?嘉興二模）如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝6，E是CD上一點(diǎn)，連結(jié)AE，△ADE沿直線AE翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為G．若AD＝3GD，則DE的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥FG，交FG于點(diǎn)H，如圖，由題意：△AEF≌△AED，則AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG＝．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四邊形GHED為矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．設(shè)DE＝x，則GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴．解得：x＝．∴DE＝．故選：C．6．（2021?南崗區(qū)校級二模）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，將矩形沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，若AB＝10，AD＝8，則線段AE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵△EFB是由△EAB沿直線BE翻折得到，∴△EFB≌△EAB，則AE＝EF，BF＝AB＝10．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．在Rt△BCF中，CF＝＝6，∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．設(shè)AE＝x，則EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（8﹣x）2+42＝x2．解得：x＝5．則AE＝5．故選：C．7．（2021?江北區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD（AD＞AB），分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖1）；分別以AB、CD為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖2），兩個(gè)等邊三角形的重疊部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．若＝8，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，如圖1，由題意：∠ADN＝∠BCH＝60°，∴∠NDC＝∠HCD＝30°．∴FD＝FC．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FNC＝∠ADN＝60°．∴△FNC為等邊三角形．∴FN＝FC，∴FN＝FD．∴．在Rt△DNC中，∵tan∠NDC＝，∴NC＝．∴＝×＝．同理：S△DHF＝S△AGE＝S△ABE＝S△BEM＝．∴S1＝S矩形ABCD﹣S△NFC﹣S△DFC﹣S△DHF﹣S△MBE﹣S△ABE﹣S△AGE＝ab﹣；如圖2，過點(diǎn)H作HM⊥AD于M，過點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，由題意：∠HEF＝∠HGF＝∠GAB＝∠EDC＝60°，GA＝AB＝CD＝ED＝EC＝GB．∴∠HAD＝∠HDA＝30°，∴HA＝HD．∵HM⊥AD，∴AM＝AD＝a．∵tan∠MAH＝，∴MH＝AM×tan30°＝，∴AD×MH＝．同理：．∵△GAB為等邊三角形，GN⊥AB，∴AN＝AB＝b，∵AG＝AB＝b，∴GN＝．∴．同理：．∴S2＝S△ABG+S△CDE+S△ADH+S△BFC﹣S矩形ABCD＝．∵＝8，∴．∴．解得：a＝或a＝．由題意可知：a＜b，∴a＝．∴．故選：B．8．（2021?北碚區(qū)校級模擬）如圖，在矩形AB