第15講 相似、投影與視圖（知識點(diǎn)梳理）（記誦版）-【2022年】中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第15講相似、投影與視圖知識點(diǎn)梳理考點(diǎn)01圖形的相似1.相似圖形：形狀相同的圖形叫做相似圖形。2.比例線段：對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=3.比例中項(xiàng)如果ab=bc4.比例的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：如果ab(2)合比性質(zhì)：如果ab=c（3）等比性質(zhì)若ab=c5.相似多邊形及其有關(guān)性質(zhì)(1)相似多邊形的定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.對應(yīng)頂點(diǎn)(2)相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比(3)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例?？键c(diǎn)02相似三角形1.相似三角形的定義在△ABC和△A＇B＇C＇中，如果∠A=∠A＇，∠B=∠B',∠C=∠C',ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k,即三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，我們就說△ABC與△A＇B＇C＇相似，相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.△ABC與△A＇B＇C＇相似記作“2.平行線分線段成比例的基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.如下圖，，則有ABBC把這個(gè)基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中，會出現(xiàn)下面兩種情況：在圖1中，把看成平行于△ABC的邊BC的直線；在圖2中，把看成平行于△ABC的邊BC的直線，那么可以得到結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。3.相似三角形的判定定理(1)判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.如圖1，若DE//BC，則△ADE∽△ABC，我們稱圖1為“A型”.若直線ED交在AB，AC的反向延長線上，且ED//BC，則△ADE∽△ABC，我們稱圖2為“X型”。(2)判定定理2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。例如：如圖，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若ABA＇B＇=BCB'C'=AC(3)判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.例如：如圖，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若ABA'B'=ACA＇C＇且∠A=∠A＇，則(4)判定定理4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似例如：如圖，在△ABC和△A＇B＇C＇中，若∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，那么△ABC∽△A＇B＇C＇。4.相似三角形應(yīng)用舉例利用三角形相似，可以解決一些測量問題，如：(1)測量不能達(dá)到頂部的物體的高度，通常利用“在同一時(shí)刻高與影長成比例”的原理來解決。(2)測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)的距離，我們通常構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解。5.判定三角形相似的思路①有平行截線用判定定理1；②有一對等角.找另一對等角或找角的兩邊對應(yīng)成比例；③有兩邊對應(yīng)成比例找夾角相等或第三邊也成比例或有一對直角；④直角三角形找一對銳角相等或找兩組直角邊的比相等或斜邊與直角邊成比例；⑤等腰三角形找頂角相等或一找一對底角相等或底和一腰的比相等。6.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比，(2)相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方；考點(diǎn)03位似1.位似圖形兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似.位似是一種特殊的相似，但相似不一定都是位似.2.位似變換的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).3.位似圖形的性質(zhì)(1)位似圖形是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.(2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)。(3)位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上.(4)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)，到位似中心的距離之比等于位似比4.位似圖形的畫法(1)確定位似中心。(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長。(3)根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。(4)順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形?？键c(diǎn)04投影1.投影的概念一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫作投影.這時(shí)的照射光線叫作投射線，投影所在的平面叫作投影面.物體形成投影需要具備兩個(gè)條件：一是有光線；二是有投影面2.平行投影由平行的光線所形成的投影是平行投影.太陽光可以看成平行光，所以在陽光下大樹的影子，陽光照到窗戶上在屋里所形成的窗戶的影子都是平行投影.3.平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影的知識解決陽光下物體影子的問題時(shí)，首先要看是否在同一時(shí)刻，在不同時(shí)刻，同一物體的平行投影方向與大小一般不同；在相同時(shí)刻，不同物體的物高與影長成比例，物體與影子上的對應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就說明是平行投影.4.中心投影由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫作中心投影，那個(gè)點(diǎn)叫作投影中心.在中心投影的情況下，點(diǎn)光源、物體邊緣的點(diǎn)以及它在影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上.因?yàn)辄c(diǎn)光源的光線是發(fā)散的，所以燈光下物體的影長與物體的高度不一定成比例。(1)等高的物體垂直于地面放置時(shí)，中心投影如下圖：(2)等長的物體平行于地面放置時(shí)，中心投影如下圖：規(guī)律在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣的點(diǎn)以及它在影子上的對應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以確定第三個(gè)點(diǎn)的位置.5.正投影(1)正投影的概念：在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影叫作正投影（如圖所示）.(2)正投影(投射線與投影面垂直的平行投影)的性質(zhì)：線段的正投影分3種情況.①當(dāng)線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段、B這時(shí)AB=AB。②當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A、B，這時(shí)AB<AB。③當(dāng)線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn)A(B)，如圖.一般地，線段正投影有如下規(guī)律：平行長不變，傾斜長縮短，垂直成一點(diǎn).6.平面圖形的正投影分3種情況：①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等.②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，但不一定相似③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是一條線段，如圖.一般地，平面圖形正投影有如下規(guī)律：平行形不變，傾斜形改變，垂直成線段.正投影能如實(shí)地反映物體的形狀和大小，畫圖也很方便，所以生產(chǎn)上的圖樣主要是用這種方法繪制.(3)作物體的正投影.作物體的正投影，觀察和思考的過程如下：把要作投影的物體放在投影面和觀察者的中間，按觀察者一物體一投影面的順序擺好，由觀察者的眼睛假想發(fā)出一束平行的投射線，這些投射線經(jīng)過物體輪廓線上的頂點(diǎn)后，與投影面垂直相交，交點(diǎn)連接起來的圖形，就是物體的正投影.7.平行投影與中心投影的關(guān)系(1)聯(lián)系①都是投影：中心投影、平行投影都是研究物體的投影中的一種，只不過平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽光線；而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，如燈泡發(fā)出的光線.②都有變化：在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化，不同物體和它們的影子之間存在著相似關(guān)系.在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也會跟著發(fā)生變化；固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化。(2)區(qū)別①比例不同：太陽光線是平行的，因此在同一時(shí)刻下，太陽光下的影子長度都與物體高度成比例：燈光是發(fā)散的，燈光下的影子長度與物體高度不一定成比例.②方向不同：同一時(shí)刻，太陽光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.如何判斷物體的投影是在太陽光下還是在燈光下形成的：①太陽光線是平行光線，燈光光線是從一點(diǎn)發(fā)出的，如圖所示.因此，在判斷是太陽光線還是燈光光線時(shí)，只要看光線呈什么形狀就可得出結(jié)論.②如果已知影子，那么先找兩對物體與影子的對應(yīng)點(diǎn)，然后連接它們得到光線，由兩條光線可大致判斷它們是否平行，若光線平行，則為太陽光線；若光線相交，則為燈光光線8.中心投影的計(jì)算與太陽光相比，燈光對我們來說是近距離的，我們可以把燈光光線看成是從一點(diǎn)發(fā)出向四周發(fā)射的，而且同一物體對于同一光源在不同的地點(diǎn)的影長也不相同.物體中心投影的大小是隨著投影中心距離物體的遠(yuǎn)近的變化而變化的.根據(jù)中心投影的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的知識，在日常生活、生產(chǎn)中可以進(jìn)行求影長、物體的高度等的計(jì)算?？键c(diǎn)05視圖1.三視圖的有關(guān)概念(1)視圖：從某一方向觀察一個(gè)物體時(shí)，所看到的平面圖形叫作物體的一個(gè)視圖.(2)三視圖：從3個(gè)互相垂直的方向觀察物體在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫作主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫作俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫作左視圖.(3)視圖的本質(zhì)就是正投影；物體的主視圖，等同于一束平行光線自物體的前方向后方照射，在正面投影面上得到的正投影；俯視圖、左視圖類似(4)三視圖中的各視圖，分別從不同方向表示物體的形狀，三者結(jié)合能夠較全面地反映物體的形狀。2.三視圖之間的關(guān)系（1）三視圖的擺放一般是，主視圖在左上方，它下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在右邊在物體的三視圖中，主視圖可反映出物體的長和高，俯視圖可反映出物體的長和寬，左視圖可反映出物體的高和寬。（2）三視圖中，主視圖與俯視圖表示同一物體的長；主視圖與左視圖表示同一物體的高；左視圖與俯視圖表示同一物體的寬。3.畫幾何體的三視圖畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，先觀察幾何體，判斷出從3個(gè)方向看幾何體得到的平面圖形，即三視圖；然后把三視圖按照一定位置畫出來.畫三視圖時(shí)，一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，被其他部分遮擋而看