概率和概率分布

概率和概率分布第1頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第五章概率和概率分布§1概率的問(wèn)題§2離散變量的概率分布

§3連續(xù)變量的概率分布

§4抽樣分布第2頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解隨機(jī)事件的概念、事件的關(guān)系和運(yùn)算2. 理解概率的定義，掌握概率的性質(zhì)和運(yùn)算法則理解隨機(jī)變量及其分布，計(jì)算各種分布的概率第3頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1概率的問(wèn)題§1.1事件

§1.2概率§1.3概率分布

第4頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念隨機(jī)事件的幾個(gè)基本概念第5頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五試驗(yàn)在相同條件下，對(duì)事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果第6頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五事件的概念事件：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果(任何樣本點(diǎn)集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3隨機(jī)事件：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)必然事件：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6第7頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五事件與樣本空間基本事件一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間一個(gè)試驗(yàn)中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗(yàn)中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}第8頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1事件§1.1.2事件的關(guān)系事件的包含；事件的互斥；事件的并（或和）；事件的交（或積）；事件的差；事件的逆。

第9頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的包含）ABB

A

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或AB或B

A第10頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的并或和）

事件A和事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件A與事件B

的并。它是由屬于事件A或事件B的所有的樣本點(diǎn)組成的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B第11頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的交或積）ABA∩B

事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點(diǎn)所組成的集合，記為B∩A

或AB第12頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（互斥事件）ABA

與B互不相容

事件A與事件B中，若有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)必定不發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥的，否則稱兩個(gè)事件是相容的。顯然，事件A與事件B互斥的充分必要條件是事件A與事件B沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)第13頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的逆）A

A一個(gè)事件B與事件A互斥，且它與事件A的并是整個(gè)樣本空間，則稱事件B是事件A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)所組成的集合，記為A第14頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算

（事件的差）A-BAB事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差，它是由屬于事件A而不屬于事件B的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，記為A-B

第15頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.1.3事件的性質(zhì)事件的性質(zhì)設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，則有交換律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)第16頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2概率§1.2.1事件的概率

事件A的概率是對(duì)事件A出現(xiàn)的可能性大小的一種度量，數(shù)學(xué)表示為，概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)有：非負(fù)性對(duì)任意事件A，有0P1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個(gè)兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)第17頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五事件的概率事件A的概率是對(duì)事件A在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義和主觀概率定義第18頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125第19頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限，而且各個(gè)結(jié)果在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個(gè)數(shù)n的比值，記為第20頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

（實(shí)例）【例】某鋼鐵公司所屬三個(gè)工廠的職工人數(shù)如下表。從該公司中隨機(jī)抽取1人，問(wèn)：（1）該職工為男性的概率（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計(jì)煉鋼廠煉鐵廠軋鋼廠4000320090018001600600620048001500合計(jì)8500400012500第21頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定義

（計(jì)算結(jié)果）解：(1)用A表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則

(2)用B表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則第22頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為第23頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的統(tǒng)計(jì)定義

（實(shí)例）【例】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個(gè)月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過(guò)規(guī)定指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電措施，試問(wèn)該廠第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率。

解：上個(gè)月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗(yàn)，試驗(yàn)A表示用電超過(guò)指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義有第24頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的主觀定義對(duì)一些無(wú)法重復(fù)的試驗(yàn)，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)人為確定概率是一個(gè)決策者對(duì)某事件是否發(fā)生，根據(jù)個(gè)人掌握的信息對(duì)該事件發(fā)生可能性的判斷例如，我認(rèn)為2012年的中國(guó)股市是一個(gè)盤整年概率的主觀定義叫主觀概率，也叫個(gè)人概率。第25頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

法則一：加法的特殊定理兩個(gè)互斥事件之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。設(shè)A和B為兩個(gè)互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)特別的，若事件A與B互斥，并且事件A與B的和組成了整個(gè)樣本空間，此時(shí)，事件A與B互為逆事件。有，個(gè)式子還可以寫成或?qū)懽鳎?。上式也叫概率的補(bǔ)償定理。

§1.2.3概率的加法第26頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（實(shí)例）【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一名職工，計(jì)算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率解：用A表示“抽中的為煉鋼廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機(jī)抽取一人為煉鋼廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為第27頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法法則二：加法的一般定理有的事件并不是互斥的，有可能同時(shí)發(fā)生，存在交集。要計(jì)算兩個(gè)事件之和的概率，要減去一次交集的概率，否則這部分就包括了兩次，重復(fù)多算了一次。對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，它們和的概率為兩個(gè)事件分別概率的和減去兩個(gè)事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)對(duì)于兩個(gè)互斥事件而言，有P(A∩B)=P(Φ)=0加法的特殊定理是一般定理的一個(gè)特例。第28頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（實(shí)例）【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)紙，16%讀乙報(bào)紙，8%兩種報(bào)紙都讀。問(wèn)成年人中有百分之幾至少讀一種報(bào)紙。解：設(shè)A＝{讀甲報(bào)紙}，B＝{讀乙報(bào)紙}，C＝{至少讀一種報(bào)紙}。則

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28第29頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法--條件概率1.條件概率在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件A的條件概率，記為若，事件A的條件概率（事件B發(fā)生的條件下），與事件A本身的概率相等，意味著事件B的信息對(duì)于事件A沒(méi)有影響，說(shuō)明這兩個(gè)事件是獨(dú)立的。第30頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五條件概率的圖示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生第31頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法2.乘法的特殊定理兩個(gè)獨(dú)立事件之積（同時(shí)發(fā)生）的概率，等于兩個(gè)事件的概率之積。即若事件A與B獨(dú)立，有P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個(gè)獨(dú)立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)第32頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（乘法的特殊定理實(shí)例）【例】某工人同時(shí)看管三臺(tái)機(jī)床，每單位時(shí)間(如30分鐘)內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為0.85。若機(jī)床是自動(dòng)且獨(dú)立地工作，求（1）在30分鐘內(nèi)三臺(tái)機(jī)床都不需要看管的概率（2）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)床需要看管的概率解：設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床不需要看管的事件，A3

為丙機(jī)床需要看管的事件，依題意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108第33頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法3.乘法的一般定理更多的時(shí)候，事件并不是獨(dú)立的，概率的計(jì)算是有條件的。一般意義上，兩個(gè)事件之積（同時(shí)發(fā)生）的概率，為：上式也可以寫作求兩個(gè)以上事件之積（同時(shí)發(fā)生）的概率與之相似。以三個(gè)事件A、B、C為例。事件A、B、C同時(shí)發(fā)生的概率為：第34頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（實(shí)例）【例】設(shè)有1000中產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率為P(A1A2)

第35頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式1.全概公式設(shè)n個(gè)事件兩兩互斥，并有，說(shuō)明n個(gè)事件兩兩互斥沒(méi)有交集，并且組成了整個(gè)樣本空間，滿足這兩個(gè)條件的事件組稱為一個(gè)完備事件組。若，則對(duì)任意事件B，有：我們把事件看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式

第36頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五全概公式

（實(shí)例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個(gè)是次品的概率。解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有第37頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式2.貝葉斯公式貝葉斯公式與全概率公式要解決的問(wèn)題正好相反。它是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因（或事件是在什么條件下發(fā)生的）。貝葉斯公式也稱作逆概公式。設(shè)n個(gè)事件兩兩互斥，并有

就是貝葉斯公式（逆概公式），它是基于事件B已發(fā)生的結(jié)果，推導(dǎo)事件B是在情況下發(fā)生的概率。第38頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和貝葉斯公式進(jìn)一步有：

已知事件B發(fā)生了，未知（想去知道）的是事件B是在什么情況下發(fā)生，這可以通過(guò)計(jì)算逆概率來(lái)做出判斷。

第39頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五貝葉斯公式

（實(shí)例）【例】某車間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)貝葉斯公式有：第40頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1.3概率分布概率分布指的是隨機(jī)變量的概率分布。對(duì)離散變量，列出其所有可能的取值以及隨機(jī)變量取這些值的概率，便構(gòu)成了離散變量的概率分布。對(duì)連續(xù)變量，可計(jì)算某段（區(qū)間）取值的概率（或概率密度），相應(yīng)地便構(gòu)成了連續(xù)變量的概率分布。第41頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)變量的概念一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述一般用X、Y、Z來(lái)表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量第42頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái)X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查100個(gè)產(chǎn)品一家餐館營(yíng)業(yè)一天電腦公司一個(gè)月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個(gè)數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1第43頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取無(wú)限個(gè)值所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái)，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗(yàn)隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的長(zhǎng)度使用壽命(小時(shí))半年后工程完成的百分比測(cè)量誤差(cm)X00

X100X0第44頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布首先看離散型隨機(jī)變量的概率分布。為得到離散型隨機(jī)變量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值，以及X取這些值的概率。用下面的表格來(lái)表示：

第45頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來(lái)表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)pi00第46頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五離散型隨機(jī)變量的概率分布

（實(shí)例）【例】如規(guī)定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射擊，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。則考察每次射擊得分為0,1,2,3這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30第47頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在離散型隨機(jī)變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度計(jì)算公式為第48頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五離散型隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為V(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為第49頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五離散型隨機(jī)變量的方差

（實(shí)例）【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為如下。計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：數(shù)學(xué)期望為：方差為：第50頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2離散變量的概率分布幾種主要的離散變量概率分布§2.1均勻分布§2.20-1分布

§2.3二項(xiàng)分布§2.4泊松分布

第51頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.1均勻分布當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的概率相同，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值個(gè)數(shù)為n，則對(duì)于服從均勻分布的離散型隨機(jī)變量X，有：第52頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五均勻分布實(shí)例【例】投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456第53頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五伯努利試驗(yàn)

（0-1分布、二項(xiàng)分布）0-1分布、二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)伯努利試驗(yàn)具有如下屬性試驗(yàn)包含了n

個(gè)相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對(duì)每次試驗(yàn)結(jié)果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)第54頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.20-1分布

當(dāng)離散型隨機(jī)變量X的只有兩個(gè)可能的取值，并且其中一個(gè)賦值為1，另一個(gè)賦值為0，則X服從0-1分布。例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示設(shè)取1的概率為，則取0的概率對(duì)于服從0-1分布的離散型隨機(jī)變量X，有： 第55頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.20—1分布

(實(shí)例)【例】已知一批產(chǎn)品的次品率為p＝0.05，合格率為q=1-p=1-0.5=0.95。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量，其概率分布為X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第56頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.3二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布研究的是類型變量，并且類型只能夠表現(xiàn)為兩種形式，這與0-1分布一致。二項(xiàng)分布其實(shí)是多個(gè)0-1分布的結(jié)合。0-1分布是一次實(shí)驗(yàn)，二項(xiàng)分布則是多次試驗(yàn)。二項(xiàng)分布的多次試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)都是獨(dú)立于其他試驗(yàn)的，試驗(yàn)之間也不會(huì)互相影響。第57頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.3二項(xiàng)分布

設(shè)成功的概率為p，則失敗的概率為q=1-p。試驗(yàn)的總次數(shù)為n，則n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布。記作：設(shè)X為n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，X取x

的概率為第58頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.3二項(xiàng)分布顯然，對(duì)于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同樣有當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為第59頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.3二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布隨機(jī)變量的期望和方差為：

第60頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.3

二項(xiàng)分布

（實(shí)例）【例】已知100件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率解：設(shè)X為所抽取的3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X~B(3,0.05)，根據(jù)二項(xiàng)分布公式有第61頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

n很大而p很小時(shí)二項(xiàng)分布的極限形式叫做泊松分布。設(shè)參數(shù)，代表某結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)的期望，若試驗(yàn)總次數(shù)為n，某結(jié)果每次出現(xiàn)的概率為p，當(dāng)n很大而p很小時(shí)，。某結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)X在服從泊松分布的情況下，X的取值為

,有—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的平均數(shù)e=2.71828x—給定的時(shí)間間隔、長(zhǎng)度、面積、體積內(nèi)“成功”的次數(shù)第62頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布泊松分布隨機(jī)變量的期望和方差為：第63頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.4

泊松分布

（實(shí)例）【例】假定某企業(yè)的職工中在周一請(qǐng)假的人數(shù)X服從泊松分布，且設(shè)周一請(qǐng)事假的平均人數(shù)為2.5人。求（1）X

的均值及標(biāo)準(zhǔn)差（2）在給定的某周一正好請(qǐng)事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)第64頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

（作為二項(xiàng)分布的近似）當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n

很大，成功的概率p

很小時(shí)，可用泊松分布來(lái)近似地計(jì)算二項(xiàng)分布的概率，即實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)P0.25，n>20，np5時(shí)，近似效果良好第65頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3連續(xù)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的任意一個(gè)值它取任何一個(gè)特定的值的概率都等于0不能列出每一個(gè)值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來(lái)描述第66頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率第67頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)表示X的所有取值x

及其頻數(shù)f(x)值(值,頻數(shù))頻數(shù)f(x)abx第68頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b，P(a<Xb)是該曲線下從a

到b的面積f(x)xab概率是曲線下的面積第69頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率也可以用分布函數(shù)F(x)來(lái)表示分布函數(shù)定義為根據(jù)分布函數(shù)，P(a<X<b)可以寫為第70頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于x0

的面積f(x)xx0F(x0

)第71頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為方差為第72頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3連續(xù)變量的概率分布幾種主要的連續(xù)變量的概率分布§3.1均勻分布§3.2正態(tài)分布

§3.3正態(tài)分布衍生的幾個(gè)重要分布第73頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1均勻分布當(dāng)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度值為常數(shù)，即都相同，則X服從均勻分布。設(shè)所有可能的取值從a到b，由，得X的概率密度函數(shù)為：稱X服從在區(qū)間的均勻分布。xf(x)ba第74頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1均勻分布分布函數(shù)為：數(shù)學(xué)期望和方差為：第75頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布正態(tài)（normal）分布是描述連續(xù)型隨機(jī)變量最重要的分布。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，其概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：其中，為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差，，。

第76頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的重要性1. 正態(tài)（normal）分布:描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項(xiàng)分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)第77頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)

=總體均值第78頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布若隨機(jī)變量X服從期望為方差為的正態(tài)分布，記作：只要有均值與標(biāo)準(zhǔn)差，就可以構(gòu)成一個(gè)正態(tài)分布。因此，每一對(duì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差就有一個(gè)正態(tài)分布。并有：第79頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布特征（1）每一對(duì)μ與σ都可以形成一條曲線，這意味著正態(tài)曲線可以看成是一族曲線，在編制曲線時(shí)需要并且只需要μ與σ2。（2）曲線為鐘形，而且對(duì)稱。期望μ為變量取值的中間點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)。方差σ2反映了變量的離散程度，σ2越小曲線越尖，σ2越大曲線越扁平。（3）在正態(tài)分布中，變量的均值、中位數(shù)Me和眾數(shù)Mo都是相等的。（4）概率密度值在對(duì)稱點(diǎn)μ取到最大值，越往兩邊值越小，直至無(wú)限趨近于0，在理論上永不相交。（5）正態(tài)分布的隨機(jī)變量，大部分取值在中間點(diǎn)μ附近，極大極小值的個(gè)數(shù)都較少。實(shí)際上幾乎所有的數(shù)值位于均值加減三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，也就是說(shuō)全距離為6σ。（6）曲線下總面積為1。曲線從對(duì)稱點(diǎn)往右或往左的面積都是0.5。第80頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五和對(duì)正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB第81頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)第82頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率時(shí)，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無(wú)窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表第83頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布為了得到更加一般意義和標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，我們可以采取標(biāo)準(zhǔn)化處理，把所有均值為方差為的正態(tài)分布，都轉(zhuǎn)化為均值為0方差為1的正態(tài)分布，即通過(guò)線性變換的標(biāo)準(zhǔn)化處理，把正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)，標(biāo)準(zhǔn)化處理為：并有：第84頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xms一般正態(tài)分布

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第85頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布便得到了服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Z變量，有：Z變量的概率密度函數(shù)為：Z變量的分布函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)是唯一的。概率密度函數(shù)一般用表示，分布函數(shù)一般用表示。第86頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布對(duì)于一般的正態(tài)分布，有：

第87頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的注意事項(xiàng)有：（1）標(biāo)準(zhǔn)化處理為（2）查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即得概率。其中，

（3）對(duì)于負(fù)的z，可由得到。（4）（5）第88頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(5X6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2

=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布00.12.0478第89頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(2.9X7.1)

一般正態(tài)分布.1664.0832.0832標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第90頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布

（實(shí)例）【例】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(2

X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545第91頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布

（實(shí)例）【例】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第92頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二項(xiàng)分布的正態(tài)近似***當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布N{np,np(1-p)}對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時(shí)，求P(x1Xx2)時(shí)可用正態(tài)分布近似為第93頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五為什么概率是近似的***.0.1.2.30246810xP(x)正態(tài)曲線增加的概率正態(tài)曲線減少的概率二項(xiàng)概率：矩形的面積正態(tài)概率：曲線下從3.5到4.5的面積增加的部分與減少的部分不一定相等第94頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.3正態(tài)分布衍生的幾個(gè)重要分布

***§3.3.1卡方分布

常應(yīng)用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)中。設(shè)個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和服從自由度為的卡方分布。記作：

卡方分布的期望為：卡方分布的方差為：卡方分布具有可加性即若，，且與獨(dú)立，則：第95頁(yè)，共105頁(yè)，2023年，