模型試驗(yàn)基礎(chǔ)

模型試驗(yàn)基礎(chǔ)2023/4/11第1頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五４.１相似現(xiàn)象及概念４.２相似理論基礎(chǔ)４.３相似準(zhǔn)則的求解４.４模型實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理第2頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

引言為設(shè)計(jì)空氣阻力小的車(chē)身，有人曾利用如圖４-５所示的積木式模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)。圖中的字母表示各種形狀的積木模型。如將模型的頭部和尾部采用不同的組合后進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)，就可測(cè)得各種形狀的車(chē)身在相應(yīng)的行駛速度下的空氣阻力系數(shù)，如表４-２所示。第3頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念4.1.1物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述每一類(lèi)物理現(xiàn)象均可根據(jù)自然規(guī)律(例如物理定律)，并依靠數(shù)學(xué)工具，把表征現(xiàn)象的各個(gè)參量的依賴(lài)關(guān)系用一個(gè)或一組方程式(簡(jiǎn)稱(chēng)現(xiàn)象的關(guān)系方程式)表示出來(lái)，這即是用數(shù)學(xué)形式對(duì)物理現(xiàn)象的一種描述。例如，對(duì)黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，可由下述式(４-１)~式(４-４)等四個(gè)方程式所組成的方程式組來(lái)描述。根據(jù)質(zhì)量守恒定律可導(dǎo)出連續(xù)性方程式式中:———在直角坐標(biāo)系的軸上的速度分量。第4頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念根據(jù)牛頓第二定律可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程式:第5頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念單值條件的作用是從同一關(guān)系方程式所描述的無(wú)數(shù)現(xiàn)象(又稱(chēng)現(xiàn)象群)中把某一具體的特定現(xiàn)象單一地區(qū)分出來(lái)。它包括下列各項(xiàng)內(nèi)容:(１)空間(幾何)條件:所有具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)。(２)物理?xiàng)l件:所有的具體現(xiàn)象都是在具有一定的物理性質(zhì)的介質(zhì)參與下進(jìn)行的。(３)邊界條件:所有具體現(xiàn)象都必然受到與其直接相鄰的周?chē)闆r的影響。(４)初始條件:現(xiàn)象的演變往往與初始狀態(tài)有關(guān)。4.1.2相似的概念(１)空間(幾何)相似:它表現(xiàn)為兩個(gè)幾何體的所有對(duì)應(yīng)線段的比值相等，所有對(duì)應(yīng)角相等。(２)時(shí)間相似(諧時(shí)性):在所研究問(wèn)題的過(guò)程中，各個(gè)時(shí)間間隔之比值或周期之比值均保持為一固定常數(shù)，如圖４-１所示。第6頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念(３)運(yùn)動(dòng)相似:指速度場(chǎng)(及加速度場(chǎng))的幾何相似。其表現(xiàn)為:在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)速度(及加速度場(chǎng))的方向一致，且大小的比值相等，如圖４-２所示。第7頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念(４)力相似:指力場(chǎng)的幾何相似。其表現(xiàn)為:各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的作用力的方向一致且大小的比值相等，如圖４-３所示。第8頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.1相似第一定律相似第一定理的內(nèi)容為:彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)等于１。下面以?xún)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作動(dòng)力相似運(yùn)動(dòng)的情況為例來(lái)闡明這一定理。根據(jù)力學(xué)知識(shí)，質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可用牛頓第二定律來(lái)描述。表征第一個(gè)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的參量為:若表征第二個(gè)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的諸多參量用上標(biāo)“″”表示，因?yàn)橄嗨疲瑒t描述第二個(gè)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的關(guān)系方程式相應(yīng)地應(yīng)為:第9頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)將式(４-６)的關(guān)系式代入(４-７)，可得:比較式(４-５)和式(４-８)可知，各參量的相似倍數(shù)受下式約束:這種約束關(guān)系式還可以寫(xiě)作:而Ｃ稱(chēng)為“相似指標(biāo)”。式(４-９)就是相似第一定理針對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。若將式(４-６)代入式(４-９)，可得:第10頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)式(４-１０)表明:對(duì)于所述的相似現(xiàn)象，存在一個(gè)數(shù)值相同的無(wú)因次的綜合量。

這種綜合量統(tǒng)稱(chēng)為“相似準(zhǔn)則”，通常用符號(hào)

表示。如此，相似第一定理也可表述為:彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準(zhǔn)則。一些有典型意義的相似準(zhǔn)則通常用首先提出者的名字命名。

例如，上述相似準(zhǔn)則稱(chēng)為牛頓準(zhǔn)則，并用Ｎe表示，即

。對(duì)于復(fù)雜的現(xiàn)象，包含有幾個(gè)相似指標(biāo)，則對(duì)應(yīng)有幾個(gè)相似準(zhǔn)則。如前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象共有三個(gè)相似準(zhǔn)則:(稱(chēng)為雷諾準(zhǔn)則)(稱(chēng)為傅汝德準(zhǔn)則)(稱(chēng)為歐拉準(zhǔn)則)在相似現(xiàn)象中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)截面上，上述三個(gè)相似準(zhǔn)則數(shù)值將對(duì)應(yīng)相等。第11頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.2相似第二定理(相似充要條件)相似第二定理的內(nèi)容為:凡同一類(lèi)現(xiàn)象(即被同一個(gè)關(guān)系方程式或完整的關(guān)系方程式組所描述的現(xiàn)象)，當(dāng)單值條件相似，而且由單值條件所包含的物理量所組成的相似準(zhǔn)則相等，則這些現(xiàn)象就必定相似。因?yàn)閱沃禇l件是確定具體的特定現(xiàn)象的，所以通常稱(chēng)單值條件所包含的物理量為定性量，并把全由單值條件所包含的物理量所組成的相似準(zhǔn)則稱(chēng)為定性準(zhǔn)則。用前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象為例，當(dāng)滿足下列條件時(shí)，現(xiàn)象就彼此相似。(１)單值條件相似，其中包括:①幾何條件相似。如流體是在管內(nèi)流動(dòng)，則管徑ｄ和管長(zhǎng)的相似倍數(shù)應(yīng)相等，即:②物理?xiàng)l件相似，即第12頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)③邊界條件相似，即在入口及出口處的由于壁面處的速度皆為零，故壁面處速度相似自然得到保證。④初始條件相似。由于是穩(wěn)定流動(dòng)，故可不計(jì)此條件。(２)由單值條件所包含的物理量所組成的相似準(zhǔn)則相等，即相似第二定理還可以簡(jiǎn)明地表述為:當(dāng)兩個(gè)同類(lèi)現(xiàn)象的諸對(duì)應(yīng)的定性準(zhǔn)則的數(shù)值相等時(shí)，則這兩個(gè)現(xiàn)象就相似。第13頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.3相似第三定理相似第三定理的內(nèi)容為:描述現(xiàn)象的關(guān)系方程式可以轉(zhuǎn)變成相似準(zhǔn)則之間的關(guān)系式(簡(jiǎn)稱(chēng)準(zhǔn)則關(guān)系式)。

準(zhǔn)則關(guān)系式可表述為:式中:

———正整數(shù)。相似第三定理通常簡(jiǎn)稱(chēng)為“

”定理。如式(４-５)所示的關(guān)系方程式，相似第三定理所述的轉(zhuǎn)變是很顯然的。只要在等式兩邊同除以，再應(yīng)用積分類(lèi)比法則，就可導(dǎo)出如下準(zhǔn)則關(guān)系式:第14頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)在相似準(zhǔn)則

中的定性準(zhǔn)則如用

表示；其余的是包含有非單值條件的物理量(稱(chēng)為被決定量)的相似準(zhǔn)則，通常稱(chēng)為非定性準(zhǔn)則，用

，

，

，……，表示。既然定性準(zhǔn)則是由單值條件所包含的物理量所組成，根據(jù)前述單值條件的性質(zhì)，所以定性準(zhǔn)則是決定現(xiàn)象的準(zhǔn)則，它們一經(jīng)確定，現(xiàn)象即被確定，非定性準(zhǔn)則也隨之被確定。根據(jù)上述因果關(guān)系，就可把相似準(zhǔn)則關(guān)系式表示成任一非定準(zhǔn)則與定性準(zhǔn)則之間的單值函數(shù)關(guān)系，即以前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象為例，非定性準(zhǔn)則只有一個(gè)Ｅu，因?yàn)閴毫Γ馂楸粵Q定量。定性準(zhǔn)則有Ｒｅ和Ｆｒ，因?yàn)椋遥搴停疲蛑兴奈锢砹拷詾槎ㄐ粤俊t準(zhǔn)則關(guān)系式可表述為:我們可以通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)來(lái)求得式(４-１３)的具體形式。第15頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)上述三個(gè)定理是相似理論的主要內(nèi)容，它是模型實(shí)驗(yàn)研究方法的理論基礎(chǔ)。相似第一定理闡明了模型實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)測(cè)量哪些量:諸相似準(zhǔn)則所包含的一切量。相似第二定理闡明了模型實(shí)驗(yàn)應(yīng)遵守的條件:必須保證模型和原型的單值條件相似，且諸定性準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)相等。相似第三定理闡明了如何整理實(shí)驗(yàn)結(jié)果。必須把實(shí)驗(yàn)結(jié)果整理成相似準(zhǔn)則之間的關(guān)系式。這樣，我們就可用模型的實(shí)驗(yàn)研究來(lái)揭示原型的內(nèi)在規(guī)律性。第16頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解4.3.1方程分析法１)相似轉(zhuǎn)換法相似轉(zhuǎn)換法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則的步驟為:(１)寫(xiě)出關(guān)系方程式和全部單值條件；(２)寫(xiě)出相似倍數(shù)的表示式；(３)將相似倍數(shù)表示式代入關(guān)系方程式中進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得出相似指標(biāo)式，如式(４-９)；(４)將相似倍數(shù)表示式代入相似指標(biāo)式，求得相似準(zhǔn)則；(５)用與步驟３、步驟４同樣的方法，從單值條件方程式中求得相似準(zhǔn)則。下面用前述粘性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象為例，對(duì)上述步驟加以具體介紹。(１)寫(xiě)出關(guān)系方程式，見(jiàn)式(４-１)~式(４-４)。(２)寫(xiě)出相似倍數(shù)表示式:第17頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解(３)進(jìn)行相似轉(zhuǎn)化。設(shè)有兩個(gè)彼此相似的現(xiàn)象系統(tǒng)，描述第一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式可寫(xiě)成(只寫(xiě)出一個(gè)坐標(biāo)的方程式即可):第一系統(tǒng)的連續(xù)性方程式可寫(xiě)成:而第二系統(tǒng)的方程式可以寫(xiě)成:第二系統(tǒng)的連續(xù)性方程式可以寫(xiě)成:第18頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解根據(jù)式(４-１４)的關(guān)系，有:把式(４-１９)代入式(４-１７)和式(４-１８)，即進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換得:第19頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解比較式(４-１５)與式(４-２０)及式(４-１６)與式(４-２１)可知，各參量的相似倍數(shù)之間的關(guān)系必須滿足下列關(guān)系式:由式(４-２６)可得出如下三組等式:第20頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解經(jīng)整理可以得到以下三個(gè)相似指標(biāo)式:由式(４-２３)得不出相似倍數(shù)之間的任何約束，故據(jù)此得不出相似指標(biāo)式。(４)求出相似準(zhǔn)則。將式(４-１４)代入式(４-２７)、式(４-２８)、式(４-２９)，經(jīng)整理可得到如下３個(gè)相似準(zhǔn)則:第21頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解２)積分類(lèi)比法這種方法的原理是:由于相似現(xiàn)象的關(guān)系方程式是完全相同的，應(yīng)此關(guān)系方程中任意相對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)的比值也應(yīng)該相等。以式(４-１５)和(４-１７)為例，則:根據(jù)前述的積分類(lèi)比法則，式(４-３０)可寫(xiě)成:由于，則式(４-３１)可以寫(xiě)成:或不變量這樣，就得到了一個(gè)相似準(zhǔn)則。第22頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解根據(jù)以上所述，可將積分類(lèi)比法的步驟歸納為:(１)寫(xiě)出關(guān)系方程式和全部單值條件；(２)用關(guān)系方程式中的任一項(xiàng)除其他各項(xiàng)(對(duì)于類(lèi)型相同的項(xiàng)，如

，取其中一項(xiàng)即可)；(３)所有導(dǎo)數(shù)用對(duì)應(yīng)量的比值代替。

另外，沿各坐標(biāo)軸的分量用量本身代替。

坐標(biāo)用定性尺寸代替。例如:等用等代替，即可求得相似準(zhǔn)則。下面仍以前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象為例，具體介紹上述步驟。(１)寫(xiě)出關(guān)系方程式，見(jiàn)式(４-１)~式(４-４)。(２)兩項(xiàng)相除。第23頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解由運(yùn)動(dòng)方程式(４-２)可得:連續(xù)性方程式由于只有一項(xiàng)，故寫(xiě)不出上述比例式。第24頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解(３)運(yùn)用積分類(lèi)比法則，就可得到下列相似準(zhǔn)則:由式(４-３２)得不變量由式(４-３３)得不變量由式(４-３４)得

不變量第25頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解4.3.2因次分析法(又稱(chēng)量綱分析法)１)因次的概念和因次分析法舉例物理量(測(cè)量)單位的種類(lèi)稱(chēng)“因次”(或“量綱”)。如米、厘米、毫米，它們是不同的(測(cè)量)單位，但這些單位屬于同一種類(lèi)，皆為長(zhǎng)度類(lèi)單位，如統(tǒng)一地用符號(hào)[Ｌ]表示，則稱(chēng)[Ｌ]是長(zhǎng)度類(lèi)各單位的因次。在國(guó)際單位制(ＳＩ)中，當(dāng)研究力學(xué)和機(jī)械運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象時(shí)，取長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間作為“基本量”，它們的因次相應(yīng)地用符號(hào)[Ｌ]、[Ｍ]、[Ｔ]表示，稱(chēng)為“基本因次”，而其他一些物理量則是由上述基本量根據(jù)該物理量的定義或相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出的，稱(chēng)這些量為“導(dǎo)出量”。例如速度定義為距離/時(shí)間，距離(以長(zhǎng)度表示)和時(shí)間(ｔ)為基本量，它們的因次分別為[Ｌ]和[Ｔ]，則速度的因次公式為:第26頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解又如，力的計(jì)算公式為。則力的因次公式為:同理，積分∫ｙｄｘ的因次為[ｙｄｘ]或[ｙ][ｘ]。任何參量Ｚ的因次記為[Ｚ]，若ｚ為無(wú)因次，記為[１]。上述以長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間作為基本量的因次系統(tǒng)通常稱(chēng)為質(zhì)量系統(tǒng)。在工程中還常用以長(zhǎng)度、力、時(shí)間作為基本量，它們的因次相應(yīng)地用符號(hào)[Ｌ]、[Ｆ]和[Ｔ]表示。同樣可導(dǎo)出一系列導(dǎo)出量的因次。這種因次系統(tǒng)通常稱(chēng)為力系統(tǒng)。第27頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解作為例子，表４-１列出常用導(dǎo)出量的因次。第28頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解由上述內(nèi)容可見(jiàn)，在質(zhì)量系統(tǒng)中，任一個(gè)導(dǎo)出量的因次可統(tǒng)一地用下列方程式來(lái)表示:式中:

———對(duì)某一個(gè)導(dǎo)出量來(lái)說(shuō)是一個(gè)確定的常數(shù)。在取用絕對(duì)單位制的情況下，當(dāng)力學(xué)基本單位一經(jīng)取定，原則上說(shuō)，任何力學(xué)物理可統(tǒng)一的由下式表達(dá):第29頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解【例４-１】求質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作動(dòng)力相似運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則。表征質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作動(dòng)力現(xiàn)象的參量有力(Ｆ)、質(zhì)量(

)、速度(

)和時(shí)間(ｔ)。這些量將被一定的自然規(guī)律所聯(lián)系(這個(gè)自然規(guī)律就是牛頓第二定律)。形似準(zhǔn)則是由表征現(xiàn)象的參量所組成的，且是這些參量的冪函數(shù)，故可表示為:由于相似準(zhǔn)則是一個(gè)無(wú)因次的量，所以:第30頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解由上述三個(gè)方程式求解４個(gè)未知數(shù)，可令其中一個(gè)未知數(shù)為某值后在求解。如令，可求得，從而得:這就是牛頓準(zhǔn)則?！纠?２】求前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫相似運(yùn)動(dòng)的相似準(zhǔn)則。表征上述運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的參量有:流速(

)、管道性尺寸(

)、壓力(ｐ)、介質(zhì)密度(ρ)、介質(zhì)的動(dòng)力黏度(η)和重力加速度(ｇ)。則相似準(zhǔn)則就可表示為:第31頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解由上述三個(gè)方程式求解６個(gè)未知數(shù)，可令其中三個(gè)未知數(shù)為某值后再求其獨(dú)立解。如令，則可求得。

就可得到:如令，則可求得。

就可得到:如令，則可求得。

就可得到:第32頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解２)現(xiàn)象的獨(dú)立的相似準(zhǔn)則數(shù)目的確定下面推導(dǎo)計(jì)算現(xiàn)象的獨(dú)立的相準(zhǔn)則數(shù)目的公式。設(shè)某一現(xiàn)象出ｎ個(gè)參量Ａ1，Ａ2，Ａ3，…，Ａｎ來(lái)表征。由式(４-３６)，這ｎ個(gè)參量可用下式表示:所述現(xiàn)象的任一個(gè)相似準(zhǔn)則可以表示為:第33頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解如能求得，即可得到相應(yīng)的相似準(zhǔn)則。因此相似準(zhǔn)則是無(wú)因次量，所以:上述方程式組由３個(gè)線性齊次方程式組成，但有ｎ個(gè)未知數(shù)。顯然，方程式的數(shù)目等于參量所包含的基本因次的數(shù)目，而需要確定的未知數(shù)的數(shù)目等于參量的數(shù)目。第34頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解根據(jù)線性代數(shù)理論，式(４-４０)有無(wú)窮多組解，但其基礎(chǔ)解的數(shù)目等于變量數(shù)目減去式(４-４０)的系數(shù)矩陣的“秩”數(shù)。式(４-４０)的系數(shù)矩陣(又稱(chēng)因次矩陣)如上述矩陣的“秩”為ｒ，則式(４-４０)的基礎(chǔ)解數(shù)日可由下式?jīng)Q定:這也就是說(shuō):所述現(xiàn)象只能有ｎ－ｒ個(gè)相互獨(dú)立的相似準(zhǔn)則?；蛘弑硎鰹椋贿@ｎ－ｒ個(gè)相似準(zhǔn)則是該現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則的完整集合。第35頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解例如，方程式組(４-３７)的系數(shù)矩陣為:這個(gè)矩陣的三階子式有不等于零的，故其秩ｒ

=3，而參量的數(shù)目為4。則根據(jù)式(４-４２)?？芍荒苡幸粋€(gè)相似準(zhǔn)則，即Ｎe。

在此情況下，若再令為其他值，所求得的相似準(zhǔn)則對(duì)于Ｎe

來(lái)說(shuō)將是非獨(dú)立的。如令，即可求得。

則對(duì)應(yīng)可列出:顯然，這不是什么新的準(zhǔn)則，而是由牛頓準(zhǔn)則派生的。第36頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解又例如方程式組(２-３９)的系數(shù)矩陣為:這個(gè)矩陣的秩ｒ

=3，而參量的數(shù)目為6，則只能有3個(gè)相互獨(dú)立的相似準(zhǔn)則。在此情況下，若在令，可相應(yīng)地求得，ｘ，則對(duì)應(yīng)可列出:顯然，

相對(duì)于來(lái)說(shuō)不是獨(dú)立的相似準(zhǔn)則，而是準(zhǔn)則的冪函數(shù)的乘積，可由這三個(gè)準(zhǔn)則求得。因次，構(gòu)成了所述現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則的完整集合。第37頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解３)求現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則完整集合的方法一般可按下述步驟進(jìn)行:(１)列出參量的指數(shù)關(guān)系式，如式(４-４１)所示。(２)列出參量的指數(shù)關(guān)系式的因次矩陣，并計(jì)算其秩。(３)根據(jù)式(４-４２)計(jì)算獨(dú)立的相似準(zhǔn)則的數(shù)目。(４)根據(jù)參量的指數(shù)關(guān)系式，求參量的指數(shù)值。為此先列出求解的方程式(假定因次矩陣的秩ｒ

=3)，上述方程式可以表述為:根據(jù)式(４-４２)和式(４-４１)應(yīng)有ｎ

-３個(gè)基礎(chǔ)解。根據(jù)線性代數(shù)理論，這ｎ

-３個(gè)基礎(chǔ)解系可由式(４-４４)用如下方法求得:

求第一個(gè)解:令，可求得第38頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解求第二個(gè)解:令，可求得。求第ｎ

-３個(gè)解:令，可求得，，。以上ｎ

-３個(gè)解可以簡(jiǎn)明用下列解矩陣的形式表示之。第39頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解(５)根據(jù)解矩陣列出相似準(zhǔn)則完整集合，顯然，解矩陣的每一行就是組成相似準(zhǔn)則的參量的一組指數(shù)。在上述情況下，相似準(zhǔn)則的完整集合為:根據(jù)解矩陣第一行，可列出:根據(jù)解矩陣的第二行，可列出：根據(jù)解矩陣的第ｎ

-3行，可列出:第40頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解下面以求前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫相似運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則為例，說(shuō)明一下上述方法的具體應(yīng)用。①列出參數(shù)關(guān)系式，見(jiàn)式(４-３９)。②列出式(４-３９)的因次矩陣，見(jiàn)式(４-４３)，并計(jì)算它的秩ｒ=3。③計(jì)算獨(dú)立相似準(zhǔn)則的數(shù)目。因?yàn)閰⒘繑?shù)目等于６，故獨(dú)立的相似準(zhǔn)則數(shù)目等于３。④求參量的指數(shù)值。根據(jù)式(４-３９)可解出:根據(jù)方程式組(４-４５)就可列出如下解矩陣:第41頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準(zhǔn)則的求解⑤列出相似準(zhǔn)則的完整集合。根據(jù)解矩陣第一行，可列出:根據(jù)解矩陣第一行，可列出：根據(jù)解矩陣第一行，可列出:第42頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

４.４模型實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理4.4.1相似準(zhǔn)則形式的轉(zhuǎn)換探求相似準(zhǔn)則的目的是以此為根據(jù)設(shè)計(jì)和組織模型實(shí)驗(yàn)，最終導(dǎo)出描述原型現(xiàn)象的關(guān)系式。為此，由上述方法求得的相似準(zhǔn)則的形式有時(shí)需要進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換(即改變形式)，轉(zhuǎn)換的出發(fā)點(diǎn)有:(１)相似準(zhǔn)則應(yīng)具有明顯的物理意義，并使其物理意義與所研究的現(xiàn)象密切相關(guān)。(２)轉(zhuǎn)換成常用的相似準(zhǔn)則的形式，例如，雷諾準(zhǔn)則Ｒe、傅汝德準(zhǔn)則Ｆr，因?yàn)樗鼈兙哂忻黠@的物理意義。前者表示慣性力與黏滯力的比值，后者表示慣性力與重力的比值。(３)使準(zhǔn)則關(guān)系式的形式最簡(jiǎn)單。(４)使相似準(zhǔn)則的組成中不包含在進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)時(shí)難以控制和測(cè)量的參量。(５)使易于控制且是表征現(xiàn)象的主要參量只出現(xiàn)在相似準(zhǔn)則完整集合中的某一個(gè)相似準(zhǔn)則中。這樣在模型試驗(yàn)時(shí)，就能實(shí)現(xiàn)最方便的控制。第43頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日