模型試驗基礎(chǔ)

模型試驗基礎(chǔ)2023/4/11第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五４.１相似現(xiàn)象及概念４.２相似理論基礎(chǔ)４.３相似準則的求解４.４模型實驗的數(shù)據(jù)處理第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

引言為設(shè)計空氣阻力小的車身，有人曾利用如圖４-５所示的積木式模型進行風(fēng)洞試驗。圖中的字母表示各種形狀的積木模型。如將模型的頭部和尾部采用不同的組合后進行風(fēng)洞試驗，就可測得各種形狀的車身在相應(yīng)的行駛速度下的空氣阻力系數(shù)，如表４-２所示。第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念4.1.1物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述每一類物理現(xiàn)象均可根據(jù)自然規(guī)律(例如物理定律)，并依靠數(shù)學(xué)工具，把表征現(xiàn)象的各個參量的依賴關(guān)系用一個或一組方程式(簡稱現(xiàn)象的關(guān)系方程式)表示出來，這即是用數(shù)學(xué)形式對物理現(xiàn)象的一種描述。例如，對黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象，可由下述式(４-１)~式(４-４)等四個方程式所組成的方程式組來描述。根據(jù)質(zhì)量守恒定律可導(dǎo)出連續(xù)性方程式式中:———在直角坐標系的軸上的速度分量。第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念根據(jù)牛頓第二定律可導(dǎo)出運動方程式:第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念單值條件的作用是從同一關(guān)系方程式所描述的無數(shù)現(xiàn)象(又稱現(xiàn)象群)中把某一具體的特定現(xiàn)象單一地區(qū)分出來。它包括下列各項內(nèi)容:(１)空間(幾何)條件:所有具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)。(２)物理條件:所有的具體現(xiàn)象都是在具有一定的物理性質(zhì)的介質(zhì)參與下進行的。(３)邊界條件:所有具體現(xiàn)象都必然受到與其直接相鄰的周圍情況的影響。(４)初始條件:現(xiàn)象的演變往往與初始狀態(tài)有關(guān)。4.1.2相似的概念(１)空間(幾何)相似:它表現(xiàn)為兩個幾何體的所有對應(yīng)線段的比值相等，所有對應(yīng)角相等。(２)時間相似(諧時性):在所研究問題的過程中，各個時間間隔之比值或周期之比值均保持為一固定常數(shù)，如圖４-１所示。第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念(３)運動相似:指速度場(及加速度場)的幾何相似。其表現(xiàn)為:在對應(yīng)瞬時各對應(yīng)點速度(及加速度場)的方向一致，且大小的比值相等，如圖４-２所示。第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.１相似現(xiàn)象及概念(４)力相似:指力場的幾何相似。其表現(xiàn)為:各對應(yīng)點上的作用力的方向一致且大小的比值相等，如圖４-３所示。第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.1相似第一定律相似第一定理的內(nèi)容為:彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標等于１。下面以兩個質(zhì)點系統(tǒng)作動力相似運動的情況為例來闡明這一定理。根據(jù)力學(xué)知識，質(zhì)點系統(tǒng)的運動規(guī)律可用牛頓第二定律來描述。表征第一個運動現(xiàn)象的參量為:若表征第二個運動現(xiàn)象的諸多參量用上標“″”表示，因為相似，則描述第二個運動現(xiàn)象的關(guān)系方程式相應(yīng)地應(yīng)為:第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)將式(４-６)的關(guān)系式代入(４-７)，可得:比較式(４-５)和式(４-８)可知，各參量的相似倍數(shù)受下式約束:這種約束關(guān)系式還可以寫作:而Ｃ稱為“相似指標”。式(４-９)就是相似第一定理針對質(zhì)點運動過程的數(shù)學(xué)表達式。若將式(４-６)代入式(４-９)，可得:第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)式(４-１０)表明:對于所述的相似現(xiàn)象，存在一個數(shù)值相同的無因次的綜合量。

這種綜合量統(tǒng)稱為“相似準則”，通常用符號

表示。如此，相似第一定理也可表述為:彼此相似的現(xiàn)象必定具有數(shù)值相同的相似準則。一些有典型意義的相似準則通常用首先提出者的名字命名。

例如，上述相似準則稱為牛頓準則，并用Ｎe表示，即

。對于復(fù)雜的現(xiàn)象，包含有幾個相似指標，則對應(yīng)有幾個相似準則。如前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象共有三個相似準則:(稱為雷諾準則)(稱為傅汝德準則)(稱為歐拉準則)在相似現(xiàn)象中的對應(yīng)點或?qū)?yīng)截面上，上述三個相似準則數(shù)值將對應(yīng)相等。第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.2相似第二定理(相似充要條件)相似第二定理的內(nèi)容為:凡同一類現(xiàn)象(即被同一個關(guān)系方程式或完整的關(guān)系方程式組所描述的現(xiàn)象)，當單值條件相似，而且由單值條件所包含的物理量所組成的相似準則相等，則這些現(xiàn)象就必定相似。因為單值條件是確定具體的特定現(xiàn)象的，所以通常稱單值條件所包含的物理量為定性量，并把全由單值條件所包含的物理量所組成的相似準則稱為定性準則。用前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象為例，當滿足下列條件時，現(xiàn)象就彼此相似。(１)單值條件相似，其中包括:①幾何條件相似。如流體是在管內(nèi)流動，則管徑ｄ和管長的相似倍數(shù)應(yīng)相等，即:②物理條件相似，即第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)③邊界條件相似，即在入口及出口處的由于壁面處的速度皆為零，故壁面處速度相似自然得到保證。④初始條件相似。由于是穩(wěn)定流動，故可不計此條件。(２)由單值條件所包含的物理量所組成的相似準則相等，即相似第二定理還可以簡明地表述為:當兩個同類現(xiàn)象的諸對應(yīng)的定性準則的數(shù)值相等時，則這兩個現(xiàn)象就相似。第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)4.2.3相似第三定理相似第三定理的內(nèi)容為:描述現(xiàn)象的關(guān)系方程式可以轉(zhuǎn)變成相似準則之間的關(guān)系式(簡稱準則關(guān)系式)。

準則關(guān)系式可表述為:式中:

———正整數(shù)。相似第三定理通常簡稱為“

”定理。如式(４-５)所示的關(guān)系方程式，相似第三定理所述的轉(zhuǎn)變是很顯然的。只要在等式兩邊同除以，再應(yīng)用積分類比法則，就可導(dǎo)出如下準則關(guān)系式:第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)在相似準則

中的定性準則如用

表示；其余的是包含有非單值條件的物理量(稱為被決定量)的相似準則，通常稱為非定性準則，用

，

，

，……，表示。既然定性準則是由單值條件所包含的物理量所組成，根據(jù)前述單值條件的性質(zhì)，所以定性準則是決定現(xiàn)象的準則，它們一經(jīng)確定，現(xiàn)象即被確定，非定性準則也隨之被確定。根據(jù)上述因果關(guān)系，就可把相似準則關(guān)系式表示成任一非定準則與定性準則之間的單值函數(shù)關(guān)系，即以前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象為例，非定性準則只有一個Ｅu，因為壓力ｐ為被決定量。定性準則有Ｒｅ和Ｆｒ，因為Ｒｅ和Ｆｒ中所包含的物理量皆為定性量。則準則關(guān)系式可表述為:我們可以通過模型實驗來求得式(４-１３)的具體形式。第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.２相似理論基礎(chǔ)上述三個定理是相似理論的主要內(nèi)容，它是模型實驗研究方法的理論基礎(chǔ)。相似第一定理闡明了模型實驗時應(yīng)測量哪些量:諸相似準則所包含的一切量。相似第二定理闡明了模型實驗應(yīng)遵守的條件:必須保證模型和原型的單值條件相似，且諸定性準則對應(yīng)相等。相似第三定理闡明了如何整理實驗結(jié)果。必須把實驗結(jié)果整理成相似準則之間的關(guān)系式。這樣，我們就可用模型的實驗研究來揭示原型的內(nèi)在規(guī)律性。第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解4.3.1方程分析法１)相似轉(zhuǎn)換法相似轉(zhuǎn)換法導(dǎo)出相似準則的步驟為:(１)寫出關(guān)系方程式和全部單值條件；(２)寫出相似倍數(shù)的表示式；(３)將相似倍數(shù)表示式代入關(guān)系方程式中進行相似轉(zhuǎn)換，進而得出相似指標式，如式(４-９)；(４)將相似倍數(shù)表示式代入相似指標式，求得相似準則；(５)用與步驟３、步驟４同樣的方法，從單值條件方程式中求得相似準則。下面用前述粘性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象為例，對上述步驟加以具體介紹。(１)寫出關(guān)系方程式，見式(４-１)~式(４-４)。(２)寫出相似倍數(shù)表示式:第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解(３)進行相似轉(zhuǎn)化。設(shè)有兩個彼此相似的現(xiàn)象系統(tǒng)，描述第一系統(tǒng)的運動方程式可寫成(只寫出一個坐標的方程式即可):第一系統(tǒng)的連續(xù)性方程式可寫成:而第二系統(tǒng)的方程式可以寫成:第二系統(tǒng)的連續(xù)性方程式可以寫成:第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解根據(jù)式(４-１４)的關(guān)系，有:把式(４-１９)代入式(４-１７)和式(４-１８)，即進行相似轉(zhuǎn)換得:第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解比較式(４-１５)與式(４-２０)及式(４-１６)與式(４-２１)可知，各參量的相似倍數(shù)之間的關(guān)系必須滿足下列關(guān)系式:由式(４-２６)可得出如下三組等式:第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解經(jīng)整理可以得到以下三個相似指標式:由式(４-２３)得不出相似倍數(shù)之間的任何約束，故據(jù)此得不出相似指標式。(４)求出相似準則。將式(４-１４)代入式(４-２７)、式(４-２８)、式(４-２９)，經(jīng)整理可得到如下３個相似準則:第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解２)積分類比法這種方法的原理是:由于相似現(xiàn)象的關(guān)系方程式是完全相同的，應(yīng)此關(guān)系方程中任意相對應(yīng)的兩項的比值也應(yīng)該相等。以式(４-１５)和(４-１７)為例，則:根據(jù)前述的積分類比法則，式(４-３０)可寫成:由于，則式(４-３１)可以寫成:或不變量這樣，就得到了一個相似準則。第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解根據(jù)以上所述，可將積分類比法的步驟歸納為:(１)寫出關(guān)系方程式和全部單值條件；(２)用關(guān)系方程式中的任一項除其他各項(對于類型相同的項，如

，取其中一項即可)；(３)所有導(dǎo)數(shù)用對應(yīng)量的比值代替。

另外，沿各坐標軸的分量用量本身代替。

坐標用定性尺寸代替。例如:等用等代替，即可求得相似準則。下面仍以前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象為例，具體介紹上述步驟。(１)寫出關(guān)系方程式，見式(４-１)~式(４-４)。(２)兩項相除。第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解由運動方程式(４-２)可得:連續(xù)性方程式由于只有一項，故寫不出上述比例式。第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解(３)運用積分類比法則，就可得到下列相似準則:由式(４-３２)得不變量由式(４-３３)得不變量由式(４-３４)得

不變量第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解4.3.2因次分析法(又稱量綱分析法)１)因次的概念和因次分析法舉例物理量(測量)單位的種類稱“因次”(或“量綱”)。如米、厘米、毫米，它們是不同的(測量)單位，但這些單位屬于同一種類，皆為長度類單位，如統(tǒng)一地用符號[Ｌ]表示，則稱[Ｌ]是長度類各單位的因次。在國際單位制(ＳＩ)中，當研究力學(xué)和機械運動現(xiàn)象時，取長度、質(zhì)量和時間作為“基本量”，它們的因次相應(yīng)地用符號[Ｌ]、[Ｍ]、[Ｔ]表示，稱為“基本因次”，而其他一些物理量則是由上述基本量根據(jù)該物理量的定義或相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出的，稱這些量為“導(dǎo)出量”。例如速度定義為距離/時間，距離(以長度表示)和時間(ｔ)為基本量，它們的因次分別為[Ｌ]和[Ｔ]，則速度的因次公式為:第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解又如，力的計算公式為。則力的因次公式為:同理，積分∫ｙｄｘ的因次為[ｙｄｘ]或[ｙ][ｘ]。任何參量Ｚ的因次記為[Ｚ]，若ｚ為無因次，記為[１]。上述以長度、質(zhì)量、時間作為基本量的因次系統(tǒng)通常稱為質(zhì)量系統(tǒng)。在工程中還常用以長度、力、時間作為基本量，它們的因次相應(yīng)地用符號[Ｌ]、[Ｆ]和[Ｔ]表示。同樣可導(dǎo)出一系列導(dǎo)出量的因次。這種因次系統(tǒng)通常稱為力系統(tǒng)。第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解作為例子，表４-１列出常用導(dǎo)出量的因次。第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解由上述內(nèi)容可見，在質(zhì)量系統(tǒng)中，任一個導(dǎo)出量的因次可統(tǒng)一地用下列方程式來表示:式中:

———對某一個導(dǎo)出量來說是一個確定的常數(shù)。在取用絕對單位制的情況下，當力學(xué)基本單位一經(jīng)取定，原則上說，任何力學(xué)物理可統(tǒng)一的由下式表達:第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解【例４-１】求質(zhì)點系統(tǒng)作動力相似運動現(xiàn)象的相似準則。表征質(zhì)點系統(tǒng)作動力現(xiàn)象的參量有力(Ｆ)、質(zhì)量(

)、速度(

)和時間(ｔ)。這些量將被一定的自然規(guī)律所聯(lián)系(這個自然規(guī)律就是牛頓第二定律)。形似準則是由表征現(xiàn)象的參量所組成的，且是這些參量的冪函數(shù)，故可表示為:由于相似準則是一個無因次的量，所以:第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解由上述三個方程式求解４個未知數(shù)，可令其中一個未知數(shù)為某值后在求解。如令，可求得，從而得:這就是牛頓準則?！纠?２】求前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫相似運動的相似準則。表征上述運動現(xiàn)象的參量有:流速(

)、管道性尺寸(

)、壓力(ｐ)、介質(zhì)密度(ρ)、介質(zhì)的動力黏度(η)和重力加速度(ｇ)。則相似準則就可表示為:第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解由上述三個方程式求解６個未知數(shù)，可令其中三個未知數(shù)為某值后再求其獨立解。如令，則可求得。

就可得到:如令，則可求得。

就可得到:如令，則可求得。

就可得到:第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解２)現(xiàn)象的獨立的相似準則數(shù)目的確定下面推導(dǎo)計算現(xiàn)象的獨立的相準則數(shù)目的公式。設(shè)某一現(xiàn)象出ｎ個參量Ａ1，Ａ2，Ａ3，…，Ａｎ來表征。由式(４-３６)，這ｎ個參量可用下式表示:所述現(xiàn)象的任一個相似準則可以表示為:第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解如能求得，即可得到相應(yīng)的相似準則。因此相似準則是無因次量，所以:上述方程式組由３個線性齊次方程式組成，但有ｎ個未知數(shù)。顯然，方程式的數(shù)目等于參量所包含的基本因次的數(shù)目，而需要確定的未知數(shù)的數(shù)目等于參量的數(shù)目。第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解根據(jù)線性代數(shù)理論，式(４-４０)有無窮多組解，但其基礎(chǔ)解的數(shù)目等于變量數(shù)目減去式(４-４０)的系數(shù)矩陣的“秩”數(shù)。式(４-４０)的系數(shù)矩陣(又稱因次矩陣)如上述矩陣的“秩”為ｒ，則式(４-４０)的基礎(chǔ)解數(shù)日可由下式?jīng)Q定:這也就是說:所述現(xiàn)象只能有ｎ－ｒ個相互獨立的相似準則?；蛘弑硎鰹?；這ｎ－ｒ個相似準則是該現(xiàn)象的相似準則的完整集合。第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解例如，方程式組(４-３７)的系數(shù)矩陣為:這個矩陣的三階子式有不等于零的，故其秩ｒ

=3，而參量的數(shù)目為4。則根據(jù)式(４-４２)?？芍荒苡幸粋€相似準則，即Ｎe。

在此情況下，若再令為其他值，所求得的相似準則對于Ｎe

來說將是非獨立的。如令，即可求得。

則對應(yīng)可列出:顯然，這不是什么新的準則，而是由牛頓準則派生的。第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解又例如方程式組(２-３９)的系數(shù)矩陣為:這個矩陣的秩ｒ

=3，而參量的數(shù)目為6，則只能有3個相互獨立的相似準則。在此情況下，若在令，可相應(yīng)地求得，ｘ，則對應(yīng)可列出:顯然，

相對于來說不是獨立的相似準則，而是準則的冪函數(shù)的乘積，可由這三個準則求得。因次，構(gòu)成了所述現(xiàn)象的相似準則的完整集合。第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解３)求現(xiàn)象的相似準則完整集合的方法一般可按下述步驟進行:(１)列出參量的指數(shù)關(guān)系式，如式(４-４１)所示。(２)列出參量的指數(shù)關(guān)系式的因次矩陣，并計算其秩。(３)根據(jù)式(４-４２)計算獨立的相似準則的數(shù)目。(４)根據(jù)參量的指數(shù)關(guān)系式，求參量的指數(shù)值。為此先列出求解的方程式(假定因次矩陣的秩ｒ

=3)，上述方程式可以表述為:根據(jù)式(４-４２)和式(４-４１)應(yīng)有ｎ

-３個基礎(chǔ)解。根據(jù)線性代數(shù)理論，這ｎ

-３個基礎(chǔ)解系可由式(４-４４)用如下方法求得:

求第一個解:令，可求得第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解求第二個解:令，可求得。求第ｎ

-３個解:令，可求得，，。以上ｎ

-３個解可以簡明用下列解矩陣的形式表示之。第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解(５)根據(jù)解矩陣列出相似準則完整集合，顯然，解矩陣的每一行就是組成相似準則的參量的一組指數(shù)。在上述情況下，相似準則的完整集合為:根據(jù)解矩陣第一行，可列出:根據(jù)解矩陣的第二行，可列出：根據(jù)解矩陣的第ｎ

-3行，可列出:第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解下面以求前述黏性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫相似運動現(xiàn)象的相似準則為例，說明一下上述方法的具體應(yīng)用。①列出參數(shù)關(guān)系式，見式(４-３９)。②列出式(４-３９)的因次矩陣，見式(４-４３)，并計算它的秩ｒ=3。③計算獨立相似準則的數(shù)目。因為參量數(shù)目等于６，故獨立的相似準則數(shù)目等于３。④求參量的指數(shù)值。根據(jù)式(４-３９)可解出:根據(jù)方程式組(４-４５)就可列出如下解矩陣:第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.３相似準則的求解⑤列出相似準則的完整集合。根據(jù)解矩陣第一行，可列出:根據(jù)解矩陣第一行，可列出：根據(jù)解矩陣第一行，可列出:第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期五

４.４模型實驗的數(shù)據(jù)處理4.4.1相似準則形式的轉(zhuǎn)換探求相似準則的目的是以此為根據(jù)設(shè)計和組織模型實驗，最終導(dǎo)出描述原型現(xiàn)象的關(guān)系式。為此，由上述方法求得的相似準則的形式有時需要進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換(即改變形式)，轉(zhuǎn)換的出發(fā)點有:(１)相似準則應(yīng)具有明顯的物理意義，并使其物理意義與所研究的現(xiàn)象密切相關(guān)。(２)轉(zhuǎn)換成常用的相似準則的形式，例如，雷諾準則Ｒe、傅汝德準則Ｆr，因為它們均具有明顯的物理意義。前者表示慣性力與黏滯力的比值，后者表示慣性力與重力的比值。(３)使準則關(guān)系式的形式最簡單。(４)使相似準則的組成中不包含在進行模型實驗時難以控制和測量的參量。(５)使易于控制且是表征現(xiàn)象的主要參量只出現(xiàn)在相似準則完整集合中的某一個相似準則中。這樣在模型試驗時，就能實現(xiàn)最方便的控制。第43頁，共46頁，2023年，2月20日