數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6的學(xué)習(xí)課件

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6的學(xué)習(xí)課件第1頁(yè)/共31頁(yè)6.1古典概率定義定義假設(shè)某一實(shí)驗(yàn)滿(mǎn)足下面的條件：

(1)它的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，設(shè)此數(shù)為N;(2)每個(gè)結(jié)果等可能出現(xiàn)，則一個(gè)恰好包含M個(gè)結(jié)果的事件A的概率定義為

P(A)=M/N甲、乙兩位棋手棋藝相當(dāng)?，F(xiàn)在他們?cè)谝豁?xiàng)獎(jiǎng)金為1000元的比賽中相遇，比賽為五局三勝制。已經(jīng)進(jìn)行了三局的比賽，結(jié)果為甲二勝一負(fù)?，F(xiàn)因故停止比賽，問(wèn)如何分配這1000元比賽獎(jiǎng)金才算公平？第2頁(yè)/共31頁(yè)平均分配對(duì)甲欠公平，完全歸甲則對(duì)乙欠公平。那么合理的分法是按一定的比例分配而甲拿大頭。一種看起來(lái)合理的分法是按已勝局?jǐn)?shù)份，即甲拿2/3，乙拿1/3。這種分法合理嗎？下面，在甲乙已經(jīng)兩勝一負(fù)的基礎(chǔ)上，我們?cè)谟?jì)算機(jī)上模擬兩位棋手以后的比賽，計(jì)算他們應(yīng)得到的獎(jiǎng)金。由于兩位棋手棋藝相當(dāng)，可假定他們?cè)诿恳痪值谋荣愔袆儇?fù)機(jī)會(huì)各半。用產(chǎn)生0、1的隨機(jī)函數(shù)Random[Integer]來(lái)決定。可用1表示甲勝，0表示乙勝。第3頁(yè)/共31頁(yè)第4頁(yè)/共31頁(yè)關(guān)于概率古典定義的幾個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)1).列舉出同時(shí)拋擲三顆骰子的所有可能結(jié)果，比較擲出點(diǎn)數(shù)和為9與和為10，何者更容易。2).利用概率古典定義計(jì)算在拋擲一對(duì)骰子的實(shí)驗(yàn)中，哪種點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的概率最大，那種點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的概率最??？3).計(jì)算下列兩事件的概率大小：拋四次骰子至少有一次出現(xiàn)一點(diǎn)；拋擲一對(duì)骰子24次至少有一次出現(xiàn)兩個(gè)一點(diǎn)。

第5頁(yè)/共31頁(yè)第6頁(yè)/共31頁(yè)第7頁(yè)/共31頁(yè)Thenumberofsum2is1Thenumberofsum3is2Thenumberofsum4is3Thenumberofsum5is4Thenumberofsum6is5Thenumberofsum7is6Thenumberofsum8is5Thenumberofsum9is4Thenumberofsum10is3Thenumberofsum11is2Thenumberofsum12is1第8頁(yè)/共31頁(yè)幾何概率在平面上的區(qū)域[-1，1]×[-1，1]中隨意的選取一點(diǎn)，問(wèn)“選取的點(diǎn)落在單位圓內(nèi)“這個(gè)事件A的概率是多少？因?yàn)檎叫蝺?nèi)包含無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，古典概率定義無(wú)法使用。于是，我們把“等可能性”概念安本問(wèn)題的特點(diǎn)引申一下：正方形內(nèi)相同的面積具有同樣的概率。因此可以算出事件A的概率為P(A)=Pi/4這樣算出的概率稱(chēng)為“幾何概率”，因?yàn)樗腔趲缀螆D形的面積、體積、長(zhǎng)度等算出來(lái)的。第9頁(yè)/共31頁(yè)計(jì)算實(shí)驗(yàn)二的蒲豐隨機(jī)擲針試驗(yàn)中，針與線(xiàn)相交的概率設(shè)針的中點(diǎn)與最近直線(xiàn)的距離為ｘ和針與直線(xiàn)的夾角為ｙ．則當(dāng)針與最近直線(xiàn)相交時(shí)有

在單位圓內(nèi)隨意的取一條弦，問(wèn)“弦長(zhǎng)超過(guò)該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”這一事件的概率是多少？因?yàn)槊恳粭l弦的中點(diǎn)和圓的中心連線(xiàn)都和該弦垂直，由此規(guī)則，每個(gè)點(diǎn)可以確定一條弦。這樣我們只需要隨機(jī)選取一個(gè)點(diǎn)就等于選取了一條弦。第10頁(yè)/共31頁(yè)6.2概率的統(tǒng)計(jì)定義以骰子為例，定義古典概率時(shí)，要假定：（1）骰子的質(zhì)料絕對(duì)均勻；（2）骰子是絕對(duì)的正方體；（3）擲骰子時(shí)離地面有充分的高度。實(shí)際中不可能達(dá)到上述要求。通過(guò)試驗(yàn)得到事件A1的概率：設(shè)反復(fù)投擲大量骰子的次數(shù)為ｎ次，若在這次拋擲中一點(diǎn)發(fā)生了m1次，則稱(chēng)m1/n為A1這個(gè)事件在這ｎ次試驗(yàn)中的頻率。，概率的統(tǒng)計(jì)定義就是將m1/n作為事件A1的概率P(A1)的估計(jì)。第11頁(yè)/共31頁(yè)背景：當(dāng)一個(gè)事件發(fā)生的可能性大（小）時(shí)，如果在同樣條件下反復(fù)重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，則該事件發(fā)生的頻繁程度就大（?。?。對(duì)于任何一組實(shí)驗(yàn)，頻率不會(huì)恒等于一個(gè)數(shù)，但是對(duì)幾乎任何一組實(shí)驗(yàn)，當(dāng)ｎ趨于無(wú)窮時(shí)，頻率m1/n趨向同一個(gè)數(shù)。p是區(qū)間[0,1]內(nèi)任一實(shí)數(shù),在該區(qū)間內(nèi)取隨機(jī)數(shù)λ，則λ≤p的概率應(yīng)等于p。取n(=100,

1000,10000)個(gè)這樣的λ,計(jì)算λ≤P的次數(shù)m，看m/n是否接近于p。

第12頁(yè)/共31頁(yè)(2)利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬本實(shí)驗(yàn)練習(xí)２中的(1)--(3)。(3)利用例2的結(jié)果和概率的統(tǒng)計(jì)定義，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬估計(jì)π的值。

(4)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行下面的模擬：(i)在線(xiàn)段[0,1]中隨機(jī)地取一點(diǎn)，共取n次。(ii)將該線(xiàn)段n等分，計(jì)算個(gè)小線(xiàn)段中含有的點(diǎn)數(shù).(iii)計(jì)算小線(xiàn)段中恰含k(k取0,1,2,3,4,5)的概率。第13頁(yè)/共31頁(yè)第14頁(yè)/共31頁(yè)第15頁(yè)/共31頁(yè)第16頁(yè)/共31頁(yè)6.3二項(xiàng)分布與Poisson分布對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量Ｘ，它取一個(gè)值ｘ就對(duì)應(yīng)于某個(gè)事件，對(duì)于此事件就有一個(gè)概率值p(x),它是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱(chēng)它為隨機(jī)變量Ｘ的概率分布?？紤]如下問(wèn)題：將一枚硬幣投擲5次，恰好等到2次國(guó)徽向上的概率是多少？投擲一顆骰子9次，恰好等到4個(gè)2點(diǎn)的概率是多少？盒中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，有放回地隨機(jī)取6次，恰好有2次取到紅球的概率是多少？

第17頁(yè)/共31頁(yè)上面的幾個(gè)問(wèn)題都是下面這個(gè)問(wèn)題的特例：設(shè)某事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p?，F(xiàn)把這個(gè)試驗(yàn)獨(dú)立的重復(fù)n次，以X記A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，求X恰好為k的概率。A發(fā)生則記為A，不發(fā)生則記為，若X正好等于k，必須在這n次試驗(yàn)的紀(jì)錄中，有k個(gè)A,n-k個(gè)，每個(gè)A有概率p，而每個(gè)有概率1-p,又這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的，所以每個(gè)這樣的紀(jì)錄序列出現(xiàn)的概率是pk(1-p)n-k,這樣的序列有個(gè)，所以X恰好為k的概率為第18頁(yè)/共31頁(yè)如果隨機(jī)變量X的概率分布具有以上形式，則稱(chēng)X服從具有參數(shù)(n,p)的二項(xiàng)分布(Binomialdistribution)，記作Ｘ～Ｂ(n,p)。計(jì)算機(jī)模擬本節(jié)開(kāi)始提出的三個(gè)問(wèn)題。其中拋硬幣可以用0-1隨機(jī)數(shù)模擬；擲骰子可以用1-6的隨機(jī)數(shù)模擬；摸球可以用1-5的隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬。對(duì)這三個(gè)試驗(yàn)用計(jì)算機(jī)模擬，看是否和理論值接近？下面用二項(xiàng)分布來(lái)導(dǎo)出另一重要分布：Poisson分布。第19頁(yè)/共31頁(yè)考慮在一定時(shí)間內(nèi)某交通路口所發(fā)生的事故個(gè)數(shù)X，求X恰好為k的概率。為方便起見(jiàn)，設(shè)所觀(guān)察的這段時(shí)間為[0,1)，取一個(gè)很大的自然數(shù)n，把時(shí)間[0,1)分為等長(zhǎng)的n段：

I1=[0,1/n),I2=[1/n,2/n),…,Ij=[j-1/n,j/n),…,In=[n-1/n,1)現(xiàn)假定：1.在每段Ij內(nèi)，恰發(fā)生一次事故的概率，近似的與這段時(shí)間的長(zhǎng)度成正比，即可取為/n。又假定在n很大因而1/n很小時(shí)，在Ij這么短的時(shí)間內(nèi)，要發(fā)生兩次或兩次以上事故是不可能的。因此,在Ij時(shí)段內(nèi)不發(fā)生事故的概率為1-/n.第20頁(yè)/共31頁(yè)2.I1,

I2,…,In各段內(nèi)是否發(fā)生事故是相互獨(dú)立的。此時(shí)，在[0,1)時(shí)段內(nèi)發(fā)生的事故數(shù)X就等于在n個(gè)時(shí)段I1,

I2,…,In內(nèi)有事故發(fā)生的時(shí)段數(shù)，按1、2的假設(shè)，X應(yīng)該服從二項(xiàng)分布B(n,/n).于是，嚴(yán)格講，上式只是一個(gè)近似式，因?yàn)樵诩僭O(shè)1中，每個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生一次事故的概率只是近似等于/n,當(dāng)n→∞時(shí)，就得到確切答案。因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)有第21頁(yè)/共31頁(yè)

所以如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布具有上式的形式，我們稱(chēng)X服從具有參數(shù)的Poisson分布，記為X～P().利用本節(jié)的知識(shí)解釋本實(shí)驗(yàn)練習(xí)3(4)的結(jié)果.驗(yàn)證P(np)與X:B(n,p)當(dāng)n很大而p很小時(shí),兩者近似,取定p:(i)對(duì)很大的n,是否認(rèn)為X服從P(np);

(ii)對(duì)很大的n，取k=20，30，40，50，分別作出kP(np+（i-1）sqrt(n)/k<=X<np+i*sqrt(n)/k)的圖形，進(jìn)行觀(guān)察。

第22頁(yè)/共31頁(yè)驗(yàn)證P(np)與X:B(n,p)當(dāng)n很大而p很小第23頁(yè)/共31頁(yè)第24頁(yè)/共31頁(yè)取定p時(shí)第25頁(yè)/共31頁(yè)第26頁(yè)/共31頁(yè)6.4正態(tài)分布設(shè)T是在區(qū)間[0，1]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。T連續(xù)取n個(gè)值,記為t1,t2,...,計(jì)算X=(t1+t2+...+tn-0.5*n)/sqrt(n)為一次試驗(yàn)，共進(jìn)行N次,結(jié)果記作X1,X2,…,XN.取一個(gè)短的區(qū)間長(zhǎng)度d，對(duì)每一個(gè)正實(shí)數(shù)x，計(jì)算落在區(qū)間[x-d/2,x+d/2]內(nèi)的Xi的個(gè)數(shù)Nx，以Nx/N作為隨機(jī)變量X在點(diǎn)x的概率密度f(wàn)(x)，取足夠大的N和n，計(jì)算出足夠多的f(x)