概率論第二章節(jié)課件

概率論第二章節(jié)課件1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.1隨機(jī)變量的概念例1設(shè)一口袋中有依次標(biāo)有1,2,3,4,5,6數(shù)字的六個(gè)球。從這口袋中任取一個(gè)球，觀察取得的球上所標(biāo)數(shù)字。X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的。X=i表示“

球上標(biāo)示的數(shù)字為i”，設(shè)變量X表示取得的球上所標(biāo)數(shù)字，

第二章隨機(jī)變量及其分布X都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，稱X為隨機(jī)變量。2第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五X可能取的值為0、1、2例2袋中有3個(gè)白球,2個(gè)黑球,任取兩球，求其中的白球數(shù)X.3第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3觀察放射性物質(zhì)在一段時(shí)間內(nèi)放射的粒子數(shù)Y。例4在一個(gè)形狀為旋轉(zhuǎn)體的均勻陀螺的圓周上,[0,3)上的諸數(shù)字，均勻地刻上當(dāng)停下時(shí),圓周與桌面接觸的刻度Z。例5

拋擲一枚硬幣

引入一個(gè)變量4第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定義如果對(duì)于試驗(yàn)的樣本空間中每一個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則變量變量函數(shù)，是樣本點(diǎn)的實(shí)記作稱這樣的變量為隨機(jī)變量。離散隨機(jī)變量：連續(xù)隨機(jī)變量:可能取值為有限個(gè)或可數(shù)無(wú)窮個(gè).可取得某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值.分類隨機(jī)變量是以隨機(jī)事件為自變量的實(shí)值函數(shù)。表示5第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例如，打靶試驗(yàn)中，表示事件“中5環(huán)”。表示事件“環(huán)數(shù)不超過(guò)6環(huán)”。表示事件“環(huán)數(shù)大于3環(huán)小于7環(huán)”。注意需要指出的是，試驗(yàn)的結(jié)果中，隨機(jī)變量X取得某一個(gè)值x，記做它表示一個(gè)事件，同樣，隨機(jī)變量X取得取得某一個(gè)區(qū)間它們也都是隨機(jī)事件。某一個(gè)小于x的值，可記做內(nèi)的值，可記做6第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2.2離散隨機(jī)變量概率分布（表）而取得這些值的概率分別為設(shè)離散隨機(jī)變量取得的一切可能值為即：稱為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律（列）。性質(zhì)7第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五⑵.若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)值則⑶.若隨機(jī)變量X可能取可數(shù)無(wú)窮多個(gè)值，則例1a為何值時(shí)，隨機(jī)變量X的分布列。才能成為解要使X的分布列，則需成為隨機(jī)變量8第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：（1）設(shè)隨機(jī)變量X

是取球次數(shù)，因此，所求概率分布為：例2：取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布。假定：袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從袋中任取1個(gè)球，直至（1）取出的黑球不再放回去；（2）取出的黑球仍放回去。9第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例2：取得白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的概率分布。假定：袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從袋中任取1個(gè)球，直至（2）取出的黑球仍放回去。因此，所求概率分布為：（2）設(shè)隨機(jī)變量Y是取球次數(shù)，10第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五幾何分布如：一射手連續(xù)不斷地進(jìn)行射擊，直到第一次命中為止，如每次命中的概率為p，則所需射擊次數(shù)X服從幾何分布。(Geometricaldistribution):其中易知11第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五幾種常見的離散隨機(jī)變量的分布:1.“0-1”分布(兩點(diǎn)分布)§2.3超幾何分布·二項(xiàng)分布·泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X

只能取兩個(gè)數(shù)值0和1，而取得這些值的概率分布表為：其中則稱此分布為“0-1”

分布(或兩點(diǎn)分布)。向上的次數(shù)，例1：擲硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)變量X表示一次試驗(yàn)中正面則X服從01分布,其概率分布表為12第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五記X為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則2.二項(xiàng)分布(Binomialdistribution)設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為m=0,1,2,,n，概率函數(shù)為其中這種分布叫做二項(xiàng)分布。其分布列為：在n次獨(dú)立重復(fù)的Bernoulli試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即為“0—1”分布。易知13第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解設(shè)X為在同一時(shí)刻需要供應(yīng)一個(gè)單位電力的工人數(shù)，則例2設(shè)一批產(chǎn)品共N個(gè),其中有M個(gè)次品，對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行放回抽樣,即次品率為如此連續(xù)抽n次,設(shè)X表示得到的次品數(shù)，則例3（能量供應(yīng)問(wèn)題）設(shè)有9個(gè)工人間歇性地使用電力，在任以上的工人需要供應(yīng)一個(gè)單位的電力的概率？一時(shí)刻每個(gè)工人以同樣的概率0.2需要一個(gè)單位的電力，如果各個(gè)工人使用電力相互獨(dú)立，問(wèn)在同一時(shí)刻有7個(gè)或7個(gè)注：放回抽樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布14第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例4一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的．某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？解15第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五易知3.泊松分布(Poisson

distribution)m=0,1,2,…,設(shè)隨機(jī)變量X

的可能取值為m=0,1,2,,概率函數(shù)為其中常數(shù)>0,這種分布叫做泊松分布。在大量試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從Poisson分布。16第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在大量試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生的次數(shù)可以近似地看作服從Poisson分布。在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：大賣場(chǎng)的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；17第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Poisson分布表P286附錄1例如定理2其中設(shè)隨機(jī)變量X

服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則當(dāng)時(shí)，X

近似地服從泊松分布，即下面的近似等式成立：注：當(dāng)n越大,p越小時(shí)，該公式近似程度越好。一般來(lái)講，18第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由已知解隨機(jī)變量X的分布律為得由此得方程得解所以，例4設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知19第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.超幾何分布(Hypergeometricdistribution)其中都是正整數(shù),且概率函數(shù)為這種分布稱為超幾何分布。記為設(shè)隨機(jī)變量的可能值為記X為取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)，則其分布列：例5在N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)次品，從這批產(chǎn)品中任取n個(gè)產(chǎn)品，超幾何分布20第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五事實(shí)上，從一批產(chǎn)品中任意取出n個(gè)產(chǎn)品，可以有兩種不同的方式：（1）一次任意取出n個(gè)產(chǎn)品；（2）每次任意取出一個(gè)產(chǎn)品，取出的產(chǎn)品不再放回，連續(xù)取n次。對(duì)于（1）對(duì)于（2）注：不放回抽樣的隨機(jī)變量服從超幾何分布例6：設(shè)一批產(chǎn)品共有N個(gè),其中有M個(gè)次品.中任取出n個(gè)產(chǎn)品,從這批產(chǎn)品則取出的n個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)21第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理1當(dāng)一批產(chǎn)品的總數(shù)N很大，而抽樣的個(gè)數(shù)n遠(yuǎn)較N為?。ㄒ话阏f(shuō)來(lái)，）時(shí)，則不放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從超幾何分布）與放回抽樣（樣品中的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布）實(shí)際上沒多大差別，即在這種情況下，超幾何分布可近似用二項(xiàng)分布來(lái)代替。注：其中近似地服從二項(xiàng)分布B(n,p)，即：設(shè)隨機(jī)變量X~H(n,M,N)，則當(dāng)N→∞時(shí)，22第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五記X為取出的4個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)，設(shè)一批產(chǎn)品共100個(gè)，其中有5個(gè)次品，按以下幾種方式取樣：（1）一次任取出4個(gè)產(chǎn)品；（2）每次任取出一個(gè)產(chǎn)品，按不放回抽樣連續(xù)抽取4次；例7

（3）

每次任取出一個(gè)產(chǎn)品，按放回抽樣連續(xù)抽取4次。(1)(2)：(3)：23第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例8設(shè)一批產(chǎn)品共2000個(gè)，有40個(gè)次品。隨機(jī)抽取100個(gè)樣品，求樣品中次品數(shù)X的概率分布：（1）不放回抽樣，則即∵這批產(chǎn)品總數(shù)N=20