面排列組合二項式定理學(xué)習(xí)筆記(精華版)

歡迎下載——精品資料精品資料精品資料考試內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.排列.排列數(shù)公式.組合，組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個性質(zhì)，二項式定理，二項展開式的性質(zhì).考試要求：(1)掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題.(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題。一、兩個原理.1.乘法原理、加法原理.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二.…第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復(fù)排列數(shù)m·m·…m=m"..例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少二、排列.1.(1)對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.如果：兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相.從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號A”表示.A=A"+A-Cm-=A"+mA"A=nA-'規(guī)定C?=C"=12.含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a?,az……an其中限重復(fù)數(shù)為精品資料精品資料■■例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)?其排列個·1.(1)組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有C"1C1=C■一類是不含紅球的選法有CⅢ)②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有,如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有種，依(4)排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”,后者是“并成一組”,前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.(5)①幾個常用組合數(shù)公式②常用的證明組合等式方法例.i.裂項求和法.如：(利用ii.導(dǎo)數(shù)法.iii.數(shù)學(xué)歸納法.iv.倒序求和法.v.遞推法(即用.精品資料精品資料證明：這里構(gòu)造二項式(x+1)"(l+x)"=(1+x)2其中x”的系數(shù)，左邊為四、排列、組合綜合.1.1.排列、組合問題幾大解題方法及題型：①直接法.②排除法.又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為A2-AT1-A3②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A=A2·③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有A2-A=注：①③區(qū)別在于①是確定的座位，有A?種；而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少?AH-m-A-m(插空法),當(dāng)n-m+12m,即時有意義.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素：從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有A”種，m(m<n)個元素的全排列有Am種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法?解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2).n=n!/m!;解法二：(比例分配法)⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有歡迎下載——精品資料精品資料精品資料例如：從1,2,3,4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法?有(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少?注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法?有,當(dāng)n-m+1≥m,即時有意義.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)●x+x?+x?…+x?=A=a-l+a?-1+.?-1=A,進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個指定位置則有·例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少種排法?中取m-1,這與用插空法解決是一樣的)⑩指定元素排列組合問題.i.從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列(或組合),規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)。ii.從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合),規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)。iii從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合),規(guī)定每個排列(或組合)都只①特殊元素優(yōu)先安排策略；②合理分類與準(zhǔn)確分步策略；③排列、組合混合問題先選后排的歡迎下載——精品資料精品資料精品資料策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列);④正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；⑤相鄰問題插空處理策略；⑥不相鄰問題插空處理策略；⑦定序問題除法處理策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小2.組合問題中分組問題和分配問題.CgC,C2C2C2C2/A2-A4種③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A/A?-A例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4,參加三種不同勞動，分法種數(shù)為3④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不考)6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3,其分法種數(shù)為CC;C)=12600.五、二項式定理.(a+b)"=C?a"b?+C,CaCwa歡迎下載——精品資料精品資料精品資料最大.附：一般來說(ax+by)”(a,b為常數(shù))在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求絕對值)的辦法來求解.(4)如何來求(a+b+c)”展開式中含a"b'c'的系數(shù)呢?其中p,q,r∈N,且p+q+r=n把其系數(shù)2.近似計算的處理方法.當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式(1+a)"≈1+na,因為這時展開式的后面部分C2a2+C?a3+…+C"a”很小，可以忽略不計。類似na成績不論做什么事情都應(yīng)該講究方法，科學(xué)的方法能夠加速問題解決的速度，學(xué)生學(xué)習(xí)更是如此。我們在教學(xué)過程經(jīng)常會遇到這樣的現(xiàn)象，有的學(xué)生盡管學(xué)習(xí)也歡迎下載——精品資料精品資料精品資料很認真刻苦，花了大量的時間，但學(xué)習(xí)效率不高，成績并不是很理想。究其原因也許很多，學(xué)習(xí)的方法不當(dāng)應(yīng)是關(guān)鍵的因素之一?？茖W(xué)的學(xué)習(xí)方法，往往能取得事半功倍的效果?；谶@個認識，我在教學(xué)過程中很注重學(xué)習(xí)方法研究，也經(jīng)常有意識地對學(xué)生進行學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，不少學(xué)生取得了良好的效果?，F(xiàn)把其定名為二是希望對想上進的求知學(xué)子有所幫助。具體內(nèi)容是：一預(yù)習(xí)：“學(xué)、做、練、標(biāo)”(1)學(xué)：學(xué)書本上的內(nèi)容和例題，要看清和看全，甚至連書本上的注解也要看，尤其是文科后面的注釋一定要看，對于知識要點要多看幾遍，多想想為什么，最好能弄清楚來龍去脈，對于書上的黑體字、定理、定律和公式要動手抄寫，力求能先背誦和默寫，英語中的單詞和短語尤其要如此。(2)做：做書本上的例題，要把自己的解題過程和書本上的例題對照一下，看看差異在什么地方，要找出差距。語文和英語自己結(jié)實關(guān)鍵的詞語和整個句子更好，自己的解釋和自己造的句子要和書本上的規(guī)范句子對照，看看有沒有錯誤，如果有，看錯誤的原因是什么，自己容易弄錯的地方，也許就是上課要重點解決的問(3)練：書本上的簡單題目在預(yù)習(xí)時應(yīng)該完成，獨立完成后要檢查對錯，發(fā)現(xiàn)自己在什么地方還沒有弄懂。也可以找一套有標(biāo)準(zhǔn)答案的課外資料來練習(xí)，做好的作業(yè)也要對照答案檢查，看看正誤，及時了解自己預(yù)習(xí)中存在的問題。預(yù)習(xí)時做的題目選題目要典型，不要過多。本階段的重點是通過聯(lián)系來發(fā)現(xiàn)自己預(yù)習(xí)中存在的問題，如果自己看書能解決的，應(yīng)該自己再看書解決，否則要做記錄，留請教老師和同學(xué)，幫助自己解決。本次做錯的題目做為一級錯題，打一個“,可以在資料和課本上標(biāo)注，等待上課時候解決，徹底解決了，就不用上“總(4)標(biāo)：在課本上標(biāo)出學(xué)習(xí)的知識要點，和自己沒有弄懂的難點，以及自己不夠清楚的疑問點，以便上課時候重點突破。不同類型的最好用不同顏色的筆標(biāo)出，二上課：“看、聽、記、想”(1)看：看書本和老師在黑板上板書的重點內(nèi)容，弄清出那些是自己以前沒有弄懂的和不清楚的內(nèi)容，如果是課本上的可以在上面標(biāo)出，如果是老師補充的就應(yīng)該認真記錄，如果需要背誦的內(nèi)容一定要準(zhǔn)確無誤。(2)聽：認真聽老師的講解，教師的講解是自己學(xué)習(xí)無法替代的，對于同學(xué)的發(fā)言也要認真地聽，這其中也有別人的長處和智慧的火花。認真聽取老師的講解和同學(xué)的發(fā)言，及時篩選對自己的有用的信息，必要的要做記錄。(3)記：課堂筆記是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是將來復(fù)習(xí)的最好資料，這里有老師的汗水，也有自己的智慧，自己不理解的和老師反復(fù)強調(diào)的重點內(nèi)容一定要認真記錄，尤其是教師補充的課外內(nèi)容更不能放過。只要自己還沒有掌握的，課本上也沒有現(xiàn)成內(nèi)容的就應(yīng)該記錄。自己熟悉的，課本上有現(xiàn)成內(nèi)容的就不要記錄，重做深刻(4)想：到下課的時候，一定要想一想，老師今天講課的重點內(nèi)容是什么，自己還有沒有不懂的地方，如果有就應(yīng)該及時請教老師和同學(xué)，把自己要學(xué)習(xí)的內(nèi)容全部搞懂，不留任何遺憾。身邊的同學(xué)是最好的老師，取長不短，是學(xué)習(xí)的科學(xué)三課后：“練、測、補、結(jié)”歡迎下載——精品資料精品資料精品資料(1)練：認真完成老師布置的作業(yè)，教師提供的作業(yè)應(yīng)該是最好的資料，自己購買的資料如果和課本、老師布置的作業(yè)、以及做過的資料有重復(fù)的，最好不做，免得浪費時間。做過的題目一定要對照標(biāo)準(zhǔn)答案，找出錯誤的原因，自己不能順利正確的完成的題目才是自己鞏固練習(xí)的重點，自己很容易正確完成的題目看看就可以了，重復(fù)的也可以不看。重點攻克的應(yīng)該是自己歷次做錯的題目，這些才反復(fù)學(xué)習(xí)的重點。此次做錯的題目可以做為第二級錯題，打上兩個(2)測：選擇適合自己水平的同步測試試卷，在學(xué)習(xí)完相應(yīng)的內(nèi)容后，自己找時好。完成后要對照標(biāo)準(zhǔn)答案進行認真的自我的批改，找出失誤的原因，采取響應(yīng)的解決辦法，需要看書的還要認真看書，需要死記的內(nèi)容就應(yīng)該準(zhǔn)確的記憶，理解不透的要深刻理解，題目太難的做不出來的，可以在標(biāo)準(zhǔn)答案的提示下，反復(fù)做做，直到徹底弄懂為止，試卷出現(xiàn)的任何失誤，都應(yīng)該搞清楚來龍去脈。次此(3)補：針對自己檢查和學(xué)校作業(yè)、檢測中出現(xiàn)的失誤，屬于自己不懂和不會造成的要集中到一個本子上，并認真訂正，還要寫出失誤的原因，提示自己在以后的學(xué)習(xí)中不要出現(xiàn)類似的錯誤。善于發(fā)現(xiàn)自己的不錯，并能夠及時彌補的人，才(4)結(jié)：沒有總結(jié)就沒有提高，對于自己收集好的錯誤題目，光訂正了還不夠，還要分析原因，進行總結(jié)和提高。對于在錯題中暴露出來的屬于知識不清的，要分類進行總結(jié)，內(nèi)容不多的就可以寫在相應(yīng)的題目后面，如果內(nèi)容太多，書本上有的就可以標(biāo)出頁碼，課外資料上的，自己沒有的可以復(fù)印。要善于總結(jié)規(guī)律性(1)看：看課本上的知識要點、自