專題38 幾何最值之胡不歸問題【熱點(diǎn)專題】-【中考高分導(dǎo)航】備戰(zhàn)【2022年】中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總復(fù)習(xí)（全國通用）【有答案】

專題38專題38幾何最值之胡不歸問題方法技巧方法技巧問題分析從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.模型展示：如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。?，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．題型精講題型精講【例1】如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延長AD，作PH⊥AD延長線于H點(diǎn)，即可得，∴=PB+PH．當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，可得PB+PH取到最小值，即BH的長，解直角△ABH即可得BH長．【例2】（2021·重慶中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長線過點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．【答案】（1）①；②見解析；（2）【分析】（1）①連接AG，根據(jù)題意得出△ABC和△GEF均為等邊三角形，從而可證明△GBC≌△GAC，進(jìn)一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點(diǎn)K，連接KF，先證明出△BFK是頂角為120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，從而得出結(jié)論即可；（2）利用“胡不歸”模型構(gòu)造出含有30°角的直角三角形，構(gòu)造出，當(dāng)N、P、J三點(diǎn)共線的時(shí)候滿足條件，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別計(jì)算出PN與DN的長度，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖所示，連接AG，由題意可知，△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，∵AB=6，∴AD=3，AG=BG=，∴在Rt△ADG中，，∴；②證明：以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點(diǎn)K，連接KF，如圖，∵△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由輔助線作法可知，F(xiàn)B=FK，則∠K=∠FBE，∵BD是等邊△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，在△FEB與△FHK中，∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK=BF，即：；（2）如圖1所示，以MP為邊構(gòu)造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，則PJ=MP，∴求的最小值，即為求的最小值，如圖2所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至N、P、J三點(diǎn)共線時(shí)，滿足最小，此時(shí)，連接EQ，則根據(jù)題意可得EQ∥AD，且EQ=AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，由題意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，∵∠BDC=90°，∴四邊形ODNJ為矩形，NJ=OD，由題，AD=3，BD=，∵M(jìn)J∥AC，∴△BMO∽△BAD，∴，∴OD=BD=，OM=AD=，設(shè)PJ=x，則MJ=x，OJ=x-，由題意可知，DN=CD=2，∴，解得：，即：PJ=，∴，∴．【例3】已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；（3）點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為．【詳解】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，則，，故有最大值，此時(shí)，故點(diǎn)；(4)存在，理由：如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)，而點(diǎn)，則，即的最小值為．提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.【答案】B【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故選B．2．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，，經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．【答案】(1)；；(2)的面積最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；(3)的最小值是3.【詳解】解：(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線解析式為，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式得，，∴，∴拋物線的解析式為，即．令，解得，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，代入拋物線解析式得，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．(2)過點(diǎn)作軸交于，如圖，設(shè)，則，∴，∴，，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．(3)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．3．已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【詳解】解：（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴．即．當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．由，得，，∴點(diǎn)在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)．如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．可知點(diǎn)在第四象限，且在直線的右側(cè)．考慮到，可取點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，有，得，則此時(shí)點(diǎn)滿足題意．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．在中，可知．∴，．∵點(diǎn)，∴．解得．∵，∴．∴．4．如圖，已知拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝－x＋b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少.【解析】（1）拋物線y＝（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直線BD解析式為：．當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝，∴D（﹣5，）．∵點(diǎn)D（﹣5，）在拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由拋物線解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC＝∠PAB，如答圖2﹣1所示．設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋k），代入拋物線解析式y(tǒng)＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（與點(diǎn)A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC＝∠PAB，如答圖2﹣2所示．設(shè)P（x，y），過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝x，PN＝y(tǒng)．tan∠ABC＝tan