數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用(畢業(yè)論文)

數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)解題方法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍適用的方法，把知識(shí)的學(xué)習(xí)、能力的提升和智力的發(fā)展有效結(jié)合.形與數(shù)常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化.本文在概述數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，分析了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在處理集合問(wèn)題、方程根的存在性問(wèn)題、不等式問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、求極值問(wèn)題、線性規(guī)劃問(wèn)題和復(fù)數(shù)問(wèn)題等，并針對(duì)解決不同類型的數(shù)學(xué)題目給出了詳細(xì)的例題分析，最終給出了在培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)需注意的問(wèn)題，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力和思維能力.關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；集合；方程；極值Thecombinationofnumberandshapeintheproblemsolvingapplication（MathematicsandstatisticsofJishouUniversityCollege，JishouHunan416000）Abstract:Thenumbershapeunionthinkingisaveryimportantmathematicalmethodofsolvingproblems,isagenerallyapplicablemethodofmathematicslearning,toenhancethedevelopmentofeffectivecombinationofintelligenceandknowledgelearning,ability.Formandnumberoftentogether,communicatewitheachotherinthecontent,permeateeachotherinmethod,transformeachotherundercertainconditions.Inthispaper,basedonthenumberandshapeofthought,analysisthenumbershapeunionapplicationinmiddleschoolmathematics,mainlysetproblem,indealingwiththeexistenceofrootofanequation,inequality,trianglefunctionextremumproblems,problems,linearprogrammingproblemsandcomplexproblems,andtosolvedifferenttypesofmathematicsthetitlegivesadetailedanalysisoftheexample,theneedtopayattentiontocombineideasintrainingstudentstousenumbershapewhentheproblemisgiven,tostimulatestudents'interestinlearning,improvestudent'sproblemsolvingabilityandthinkingability.Keywords:Thecombinationofnumberandshape,set,equation,extreme1引言我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是數(shù)的計(jì)算和形的研究，還有著數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.好的數(shù)學(xué)思想能夠引導(dǎo)學(xué)生使用正確的數(shù)學(xué)方法，從而準(zhǔn)確、快速地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.數(shù)形結(jié)合既是一種思想，也是一種方法.它的本質(zhì)就是抽象思維與形象思維的結(jié)合，以“形”助“數(shù)”，或以“數(shù)”助“形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使抽象問(wèn)題直觀化.所以，本文在概況數(shù)形結(jié)合思想方法的基礎(chǔ)上，詳細(xì)分析了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，并主要從下面幾個(gè)方面進(jìn)行了討論：集合問(wèn)題、方程根的存在性問(wèn)題、不等式問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、求極值問(wèn)題、線性規(guī)劃問(wèn)題和復(fù)數(shù)問(wèn)題等，而且還給出了各種類型對(duì)應(yīng)的實(shí)際例題及其詳細(xì)的求解過(guò)程.2數(shù)形結(jié)合思想方法概述主要概述數(shù)形結(jié)合的思想方法，并在此的基礎(chǔ)上介紹數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，為后面的內(nèi)容“數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用”做鋪墊.2.1

數(shù)形結(jié)合的思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn).數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)“數(shù)”與”形”相結(jié)合來(lái)解決題目，在中學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，通過(guò)這個(gè)方法，我們常常能很容易的解決問(wèn)題.2.2

數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值數(shù)形結(jié)合這種思維方法的運(yùn)用，有助于我們解決中學(xué)許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)加深我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使數(shù)學(xué)更具有創(chuàng)造性.數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題的整個(gè)過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用.它有下面這些優(yōu)點(diǎn)：第一，在解決相關(guān)的題目時(shí)，數(shù)形結(jié)合方法在思路上比較靈活，過(guò)程上很簡(jiǎn)便，方法上多樣化；第二，數(shù)形結(jié)合思想方法為我們提供了很多種解決問(wèn)題的道路，使我們解決問(wèn)題更加靈活，也具有創(chuàng)造性；第三，數(shù)形結(jié)合豐富的思想內(nèi)涵，能是引起大家的聯(lián)想，啟迪同學(xué)們的思維，拓寬解題的思路；第四，數(shù)形結(jié)合思想能提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，提高學(xué)生遷移思維的能力.3數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用接來(lái)下我主要講述數(shù)形結(jié)合在解決集合、不等式、方程、三角函數(shù)、極值、線性規(guī)劃和復(fù)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，并且給出了例題及詳細(xì)解答過(guò)程，說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常廣泛，是一種重要的解題方法.3.1

利用數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)中，集合問(wèn)題是一類比較簡(jiǎn)單的題目，我們常常可以借助韋恩圖或者數(shù)軸來(lái)解決這些問(wèn)題，它的關(guān)鍵是怎么樣準(zhǔn)確將集合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形.3.1．1利用韋恩圖解決集合題目例1有48名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時(shí)參加數(shù)理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的6人，同時(shí)參加理化小組的7人，問(wèn)同時(shí)參加數(shù)理化小組的有多少人？分析我們可用圓、、分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖1），則三圓的公共部分正好表示同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù).解用表示集合的元素，則有：即:所以：答：即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有1人.圖1例2例若集合且,,試求與.分析

利用韋恩圖把元素放入相應(yīng)位置，從而寫出所求集合.解如圖2，我們可得：.圖23.1.2

利用數(shù)軸來(lái)解決集合問(wèn)題例3已知，.（1）若,求的取值范圍；（2）若,求的取值范圍.分析在數(shù)軸上標(biāo)出集合、所含的元素的范圍，利用、的位置關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍.解（1），利用數(shù)軸得到滿足的不等式組，如圖三，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.圖3（2）由知，利用數(shù)軸得到滿足的不等式，，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.圖4

從上面三個(gè)實(shí)際的例題可以看出，合理、靈活、巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解題，可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，化難為易，有事半功倍之效.所以，平時(shí)應(yīng)該注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想.3.2利用數(shù)形結(jié)合解決方程問(wèn)題數(shù)形集合思想在方程的題目中經(jīng)常用到，尤其是含有一次式、二次式、對(duì)數(shù)式和指數(shù)式方程，下面就是幾種常見(jiàn)的題型中用到了數(shù)形結(jié)合.3.2.1數(shù)形結(jié)合在含有一次、二次式的方程中的應(yīng)用下面兩個(gè)例題將把方程進(jìn)行變換再求解，再根據(jù)相對(duì)應(yīng)圖形的性質(zhì)來(lái)解答，這樣可以加深我們對(duì)基本概念的理解，加強(qiáng)對(duì)基本知識(shí)與基本技能的靈活運(yùn)用.例4[5]當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是多少？圖5函數(shù)圖像分析這道題原方程中包含有絕對(duì)值運(yùn)算符號(hào)，我們直接求解比較困難，所以，我們能想到求方程解的個(gè)數(shù)等價(jià)于就其相對(duì)應(yīng)函數(shù)圖形的交點(diǎn).解

由于則令和如圖5示我們把函數(shù)和的圖像畫出來(lái)其交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是我們方程所以求得的解的個(gè)數(shù)即原方程解的個(gè)數(shù)是三個(gè)例5當(dāng)取何值時(shí)，方程有唯一解？有兩解？無(wú)解？分析用換元法，令，再轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.O圖6解

原方程即

令.則有,再令及.則方程解的個(gè)數(shù)等于直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由圖6可知當(dāng)或時(shí)，原方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解；當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解.3.2.2數(shù)形結(jié)合在含對(duì)數(shù)、指數(shù)的方程的應(yīng)用由于對(duì)數(shù)式、指數(shù)式形式比較特殊，所以在解決一些含對(duì)數(shù)、指數(shù)方程時(shí)，我們時(shí)?？梢愿鶕?jù)它們性質(zhì)畫圖來(lái)解.例6..1個(gè)

.2個(gè)

.3個(gè)

.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)解出兩個(gè)函數(shù)圖象，由圖7易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根,選（）.圖7例7方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（

）．(0，1)

．(1，2)．(2，3)

．(3，+∞)分析我們可以把原方程拆分成函數(shù)與，求原方程解所在的區(qū)間也就是求這2個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)所在區(qū)間.y=-x+3y=lgx圖8解如圖8所示，函數(shù)y=lgx與y=-x+3它們圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除，至于選還是選，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實(shí)際上這是要比較與2的大?。?dāng)x=2時(shí)

lgx=lg2

3-x=1．由于lg2＜1因此＞2

從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選在上面四個(gè)例題中，我們可以知道利用數(shù)和形的各自優(yōu)勢(shì)，往往能使我們盡快地找到解題途徑或簡(jiǎn)化解題過(guò)程，給解題帶來(lái)極大的方便.3.3

數(shù)形結(jié)合在求不等式問(wèn)題中的應(yīng)用不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)有著重要地位，而不等式的證明又是個(gè)難題，它的題型廣泛、靈活.下面我將從運(yùn)用代數(shù)式的幾何意義或借助函數(shù)的圖象構(gòu)造幾何圖形入手，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)巧妙地求解不等式問(wèn)題.3.3．1構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠矫鎴D形，利用三角形三邊的關(guān)系來(lái)證明不等式我將舉常見(jiàn)的兩個(gè)證明題，并且給出詳細(xì)解答步驟，來(lái)說(shuō)明不等式和數(shù)形結(jié)合思想的巧妙結(jié)合.例8已知實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明如下不等式成立.分析：我們可以構(gòu)造一個(gè)四邊形，在利用勾股定理來(lái)解.證明：如圖9所示，作以,