線性離散系統(tǒng)的分析

§10-4 線性離散系統(tǒng)的分析前面討論了線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：一種是輸入輸出模型，一種是狀態(tài)空間模型。本節(jié)將要根據(jù)這些數(shù)學(xué)模型來分析線性離散系統(tǒng)的特性，例如穩(wěn)定性、能控性和能觀測(cè)性。一、穩(wěn)定性穩(wěn)定性是動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)十分重要的性質(zhì)。本節(jié)只討論線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題是比較復(fù)雜的。有兩大類的穩(wěn)定性分析方法。一類是分析離散系統(tǒng)極點(diǎn)在z平面內(nèi)的位置。一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的充分必要條件是其特征方程的全部根都必須分布在z平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。當(dāng)然，我們可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用貝爾斯特-牛頓疊代法）。但是在工程上希望不經(jīng)過解特征方程而找到一些間接的方法，例如代數(shù)判據(jù)法，基于頻率特性分析的奈奎斯特法，或通過雙線性變換把z平面問題變成S平面的問題，再用連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)。另一類研究穩(wěn)定性的方法是李雅普諾夫第二方法，它規(guī)定了關(guān)于穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義和方法。本節(jié)只介紹代數(shù)判據(jù)法。Routh、Schur、Cohn和Jury都研究過相類似的穩(wěn)定判據(jù)。如果已知一個(gè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式A（z）=azn+azn-i+…+a （10.87）ai ai0 1aai ai0 1aiai10aa???aa01n-1naaa???aaa =—nnn-110na0an-ian-i—an-101n-1an-1an-ian-1—an-1a=—n-1n-1n—20n-1 an-i0aia=—i-i ai0a00其中

ak-i=ak—aaki ikk—iaka=—i—kak0表中第一行和第二行分別是(10.87)中的系數(shù)按正序和倒序排列的。這兩行的最后兩個(gè)元素相除而得到an=』。第一行的各元素分別減去第二行的相應(yīng)元素乘以a，這就得na n到第三行的各元素。顯然，第三行的最后一個(gè)元素為零，即第三行比前兩行少一個(gè)元素。第四行的元素是第三行的元素反過來排列的。這樣一直做下去，直到第2n+1行，即此行只剩下一個(gè)元素為止。于是有Jury穩(wěn)定性判據(jù)如果a0>0，方程(10.87)的根全在單位圓內(nèi)的充分必要條件是：算表中所有奇數(shù)行的第一個(gè)元素都是正數(shù)。如果這些元素中有的為負(fù)數(shù)，則負(fù)元素的個(gè)數(shù)代表(10.87)中含有在單位圓以外根的個(gè)數(shù)。［例10-17］已知特征方程為A(z)=z2+az+a=0寫出Jury算表為1a1aa12aa1a=a21221—a2a(1—a)212aa(1—a) 1—a2 a=——u1 2 2 11+a21—a2—?dú)?1—a2)2 1+a2如果要求特征方程的根全在單位圓內(nèi)，則必須滿足1—a2>021—a1 [(1+a)2-a2]>02即laJ<1a>—1+aa>—1—a系數(shù)a2和a「吏此二階系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)間如圖10-17所示。

圖10-17圖10-17二、能控性在現(xiàn)代控制理論中有兩個(gè)基本的概念，一個(gè)是討論是否有可能把一個(gè)系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)控制到任何其它狀態(tài)；另一個(gè)是討論通過測(cè)量動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的輸入和輸出能否確定其狀態(tài)。這就是卡爾曼在1960年提出的能控性和能觀性的概念。1.定義我們現(xiàn)在來討論線性定常系統(tǒng)(10.88)X(k+1)=^X(k)+TU(k)(10.88)Y(k)=CX(k)的能控性問題。對(duì)此系統(tǒng)，如能找到控制序列u(0),U(1),…，把系統(tǒng)(10.88)從任意初始狀態(tài)X0，在有限時(shí)間內(nèi)控制到0,則此系統(tǒng)是能控的。對(duì)系統(tǒng)(10.88)，如能找到控制序列U(0),U(1),…，把系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)X0，在有限時(shí)間內(nèi)控制到任一狀態(tài)X]，則此系統(tǒng)是能達(dá)的或完全能控的。能控并不意味著就能達(dá)。這一點(diǎn)是很容易理解的，因?yàn)槿绻兄杏?0)=0，則此系統(tǒng)即使不加控制，在n步內(nèi)也能達(dá)到零狀態(tài)。此系統(tǒng)是能控的，但不一定能達(dá)。對(duì)線性定常系統(tǒng)來說，如①是可逆的，能控與能達(dá)是等價(jià)的。2,能控性定理定理：系統(tǒng)(10.88)的能控性矩陣為r ]W=板Qr Qn-1「」 (10.89)(10.88)的狀態(tài)完全能控的充分必要展件是矩陣W的秩等于n，即CrankWc=n (10.90)這個(gè)定理的證明是很容易的。由(10.88)，有X(n)=QX(n—1)+"U(n—1)=Q2X(n—2)+Q"U(n—2)+"U(n—1)=QnX(0)+Qn-1"U(0)+..?+Q"U(n—2)+"U(n—1)或?qū)懗蒛(n-1)L ］u(n-2)X(n)-OhX(0)=虹or Oh-1「」._U(0)_=wuC要使X(n)=X］，這里X1是任一要求達(dá)到的狀態(tài)，則要由下列方程求出uWU=XfnXc 1 0它的解存在的條件是Wc的秩為n。但要注意如果控制作用不是單輸出情形，這解將不是唯一的。這里要對(duì)能控性定理作簡(jiǎn)要的討論：1)如果rankW<n，從定理看出在n步內(nèi)不可能把系統(tǒng)從狀態(tài)X0控制到X，而且再增加幾步也不能控制到X1。例如再增加一步控制，則能控性陣的秩仍小于n，即ranker①r...①〃-1「①nr」<n由Cayley-Hamiltom定理中n=-a①n-1 a中一aI其中ai(i=1,2,…n)是①的特征方程的系數(shù)。它說明①n是①，(i=1,2,...,n-1)的線性組合，于是①nr與其它列之間不是線性獨(dú)立的，因而并不增加能控性矩陣的秩。再增加幾步控制，結(jié)果仍是一樣。因而在n步內(nèi)不能達(dá)到X1，而且無論用多少步控制都不可能達(dá)到。能控性是系統(tǒng)的一個(gè)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。如果系統(tǒng)是不能控的，辦法只有修改系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果要了解系統(tǒng)輸出的能控性，而不是狀態(tài)的能控性，用類似于狀態(tài)能控性的定義和定理的辦法就可以得到。即如定義系統(tǒng)輸出能控性陣」Crc①r con-1r」后，如果要把系統(tǒng)從任意初始輸出K(k0)，在有限時(shí)間內(nèi)控制到任一輸出K(k1)的充分必要條件是輸出能控性矩陣的秩為m。這里m是輸出向量K的維數(shù)。 1［例10-18］兩個(gè)質(zhì)量塊m1和m2用阻尼器r相連，如果在一個(gè)質(zhì)量塊上施加外力，能不能控制兩個(gè)質(zhì)量塊的位置和速度？此系統(tǒng)如圖10-18所示。FF圖10-18一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)解：寫出此系統(tǒng)的微分方程為

mx + |Li(x -x ) =Fmx + |Li(x -x ) =0設(shè)m=m=m,—=c和旦=f，可寫出其狀態(tài)方程為12mmVc-cV11=1+0fV-ccV2」1——121——1Vc-c0V111?V=-cc0V+022x11 00x10「o2r1=1cc2ror0-c-2c01c如果不考慮x2則有如果不考慮x2則有2r.nVc-c00「「V]T11?V-cc00V02=2+fx1 000x011xl_c—10 100_xl_Q—1_0_及能控性矩陣z,21cc24c2「10-c-2c2-4c2『oro2ro3r?=01c2c2_0 0-c-2c2_其秩為2,即在F的作用下質(zhì)量塊mi和m2的狀態(tài)七和V2是完全能控的。下面我們來判斷此機(jī)械系統(tǒng)的位置能控性。利用狀態(tài)方程其秩小于4,即在F的作用下F不能控制此系統(tǒng)的狀態(tài)x。其秩為3,這三個(gè)狀態(tài)是完全能控的。一、能觀測(cè)性對(duì)系統(tǒng)(10.88)來說，如果在有限時(shí)間內(nèi)，能通過觀測(cè)其輸入和輸出值，唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)X0，則此時(shí)系統(tǒng)在k=0是能觀測(cè)的。如果對(duì)任意初態(tài)X0都能觀測(cè)，則此系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。 °能觀測(cè)性是一個(gè)很有用的概念。一個(gè)系統(tǒng)如果能由其輸出(它是一些能直接觀測(cè)到的狀態(tài))，在最短時(shí)間內(nèi)重構(gòu)出那些不能被直接測(cè)量的狀態(tài)，這對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)是十分重要

的。如果系統(tǒng)是能控的和能觀測(cè)的，才有可能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制。能觀測(cè)性定理定理：系統(tǒng)(10.88)的能觀測(cè)性陣為「C]C①W廣. (10.91)C①〃-1(10.88)的狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分和必要條件是矩陣W。的秩等于n，即rankW=n (10.92)這個(gè)定理的證明也可以由(10.88)式直接得到，由Y(0)=CX0Y(1)=C^X0+CTU(0)Y(n—1)=C①n-1X+C①n-2ru(0)+...+CTU(n—2)可寫成 0CC①:X0=WX0 CC①:X0=WX0 (10.93)C①n-1Y⑴—CTU(0):?n-2Y(n—1)—Ct①n—2—kTU(k)1- k=0如果要從k=0到n—1的輸入和輸出值計(jì)算出系統(tǒng)的初態(tài)X0，則(10.93沖矩陣七的秩必須為n。滿足能觀測(cè)性的系統(tǒng)，能通過n步的觀測(cè)確定其初始狀態(tài)X0。如果「C] °C①

rank<n:gn-1即使再多觀測(cè)幾步也不能確定其初態(tài)X0。例如再多觀測(cè)幾步，能觀測(cè)性陣的秩仍小于〃。即「C-grank: <nC①n-1其理由仍是①n可被表示成①i(i=1,2,...,n)的線性組合，于是C①n與其它行之間不是線性獨(dú)立的，這就不能增加能觀測(cè)性陣的秩。再增加幾步觀測(cè)，結(jié)果也是這樣。因而一個(gè)系

統(tǒng)由〃步的觀測(cè)值不能確定X0，無論用多少步觀測(cè)都不可能。［例10-19］一個(gè)旋轉(zhuǎn)剛體的動(dòng)力學(xué)方程為Jp=M°和所有的P），因而中是不能觀測(cè)的。原因如下。它有兩個(gè)狀態(tài)：轉(zhuǎn)角甲和轉(zhuǎn)速P。如果測(cè)量出P，經(jīng)過若干步后可以計(jì)算出甲。但是僅測(cè)量出p°和所有的P），因而中是不能觀測(cè)的。原因如下。X1X1X2」X-1X2離散化后，得如果只測(cè)量平x(k如果只測(cè)量平x(k+1)「1T]x(k)「E]1=1+2TX(k+1)1-2 :01X(k)2則，u(k)[11]其秩為2,系統(tǒng)是能觀測(cè)的?！溉绻粶y(cè)量（P，即C=11][0其秩小于2,系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的。［習(xí)題］1.S平面與Z平面的映射關(guān)系z(mì)=esTa)b)ca)b)c)d)S平面的虛軸，當(dāng)?由0T8變化時(shí)，Z平面上軌跡的變化如何?S平面的左半平面映射到Z平面為 S平面的右半平面映射到Z平面為 用代數(shù)判據(jù)法判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性:1）系統(tǒng)的特征方程為

3.2)x(kT+T3.2)x(kT+T)=10.50.50x(kT)系統(tǒng)如下圖所示，其中T=1秒，K=2Ks(s+2)Y(z)1）試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； s2） 當(dāng)采樣頻率不變，但提高K=20時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性又如何?4.今有系統(tǒng)2(1-