2.9電容、導體系與部分電容

2.9電容、導體系與部分電容2.9.1電容（1）電容的概念定義：在兩導體之間施加電壓。，兩導體上有等值異號的電荷+Q和-Q,則兩導體的電容為QC=U （2.9.1）電容的單位為F（法拉）。它僅與導體形狀、尺寸、相互位置以及兩導體間的介質(zhì)有關，而與所帶的電荷、電壓無關。這種電容稱為線性電容。一個孤立導體的電容可以看成是它與無限遠處另一導體之間的電容。當取無限遠處為電位參考點，則孤立導體的電容為CqC-- （2.9.2）從電容只與導體形狀、尺寸、相互位置以及兩導體間的介質(zhì)電特性相關來看，可以認為電容是從宏觀上描述兩導體之間介質(zhì)電特性的參數(shù)。而靜電場的構成方程：D=￡E，它反映場域中某點處介質(zhì)對場矢量的影響，可知這兩式是對應的。（2）電容的計算計算總是從電容的定義式出發(fā)的。具體做法：①依題意先設定電容器導體極板上的電荷（或者導體極板之間的電壓）為已知；②分析該電容器中電場的分布，建立適當?shù)淖鴺讼?，采用高斯定理、或建立邊值問題、或運用間接放法求解；③由所得的D、E或-，求導體極板之間的電壓（或?qū)w極板上的電荷）；④求電容C。例1.計算兩線輸電線單位長度的電容，尺寸如圖所示。解：設輸電線兩導體上所帶線電荷密度分別為+T和一工。由電軸法計算電軸位置

一 .1"b=、h2—a2=1_d2—a24輸電線兩導體周圍的電位分布T1r9=In上1 2n￡ r01兩導體上的電位t?b+(d/2—a)兩導體上的電位9=—9=In2 2n￡~ b—dl/2—a)0兩圓柱導線間電壓「 T?b+(d/2—a)兩圓柱導線間電壓U=9—9= In一2 n￡ b—ld/2—a)0dd般情況下，a?2,則dd般情況下，a?2,則b"2此時n￡1b+(d/2-a)

1nb-Q/2-a),n￡C=1nd/aa)2.9.2導體系統(tǒng)與部分電容實際問題中，一個系統(tǒng)常有兩個以上的導體，每兩個導體之間的電壓、每個導體的帶電量，都受其它帶電體的影響，也就是說前面所述一個系統(tǒng)內(nèi)只有兩個帶電體的電容概念不能直接引用，需要擴展，從而引入部分電容概念。靜電獨立系統(tǒng)：一個多導體系統(tǒng)，所有D通量全部由系統(tǒng)內(nèi)的帶電體發(fā)出，又全部終止于系統(tǒng)中的帶電體上。本章所研究的系統(tǒng)都是靜電獨立系統(tǒng)。設有N個導體和大地一起構成N+1個導體的靜電獨立系統(tǒng)，取大地的電位為零，從大地開始，按0、1、2、…..、N順序編號。靜電獨立系統(tǒng)有以下特點：①N+1導體上的帶電量之代數(shù)和為零；②系統(tǒng)與外界沒有任何聯(lián)系。在上述系統(tǒng)中，每個導體的電位與產(chǎn)生電場的各導體電荷量之間呈線性關系。若各

導體的電荷分別為%、q2、…、qN，根據(jù)疊加原理，各導體的電位9=aq+aq+…+aqT1 11, 1272 1N，N9=aq+aq+…+aq（2.9.3）（2.9.3）9=aq+aq+…+aqNN11 N22 NNN用矩陣表示（2.9.4）式中aij稱為電位系數(shù)，a.稱為自有電位系數(shù)，a.稱為互有電位系數(shù)。J II ij電位系數(shù)的性質(zhì)有：（1）電位系數(shù)都是正值；（2）自有電位系數(shù)aii大于與它有關的互有電位系數(shù)a..；（3）a.=a..，即la］為對稱陣；（4）電位系數(shù)只與導體的幾何形狀、j jiij尺寸、相互位置和電介質(zhì)的介電常數(shù)有關。如果求解上述方程組，可得各導體的電荷q]，L9]=W9]即q=B9+P9+…+B9勺廠11丁1廠12T2 L1NNq=B9+B9+…+B92 211 222 2NNq=B9+B9+…+B9N N11N22 NNNTOC\o"1-5"\h\z式中，Bij稱為靜電感應系數(shù)，B..稱為自有感應系數(shù)，B.（i中j）稱為互有感應系數(shù)。J ii ij感應系數(shù)的性質(zhì)有：（1）自有感應系數(shù)均位正值；（2）互有感應系數(shù)均為負值；（3）自有感應系數(shù)B..大于與它有關的互有感應系數(shù)的絕對值B..；（4）靜電感應系數(shù)是只與ii ij導體的幾何形狀、尺寸、相互位置以及空間介電常數(shù)有關的常數(shù)。。如果將上式表示成電荷與電壓的關系式%=（P^+P12+.一+P]N）（91一°）-^12（91-92）JL JLJL JL乙 JLzV JL JL乙JL 乙—B （9—9）—…—B （9—9）廠13 1 3 1N 1N令C10=B11+B12+???+'NC12f12CC12f12C13=-B13，…，C1N=-B1Nq=CU+CU+CU+…+CU

1010 1212 1313 ININ于是，方程組(2.9.6)化為q=CU+CU+CU+…+CU11 1010 1212 1313 ININq=CU+CU+CU+…+CU(2.9.7)12 2121 2020 2323 2N2N(2.9.7)q=CU+CU+CU+…+CU1NN1N1N2N2N3N3 NONO式中，稱系數(shù)，為部分電容，導體與大地之間的電容°淚稱為自有部分電容，兩導體之間的電容C. 稱為互有部分電容。所有的部分電容恒為正值且僅與導體的IJJI⑶ （b）幾何形狀、尺寸、相互位置以及空間介電常數(shù)有關。一般而言，在N+1個導體組成的系統(tǒng)中共有N（N+l）/2個部分電容，形成電容網(wǎng)絡，這樣就把一個靜電場的問題變?yōu)橐粋€電容電路的問題，從而把電場和電路的概念聯(lián)系起來。圖（a）示出由三個導體和大地組成的四導體系統(tǒng)，圖（b）則為由六個部分電容構成的對應電容網(wǎng)絡。例2.設二輸電線距地面高度為h,線間距離為d,導線半徑為Q，且a<<d,。。，如圖⑷所示。試計算考慮大地影響時的二線傳輸系統(tǒng)的各部分電容，及二輸電線間的等效電容。解：整個系統(tǒng)是由三個導體組成的導體系統(tǒng)，共有三個部分電容。為了計算部分電容，首先計算電位系數(shù)，有

(p=at+atTOC\o"1-5"\h\z1 111 122(P=at+at2 211 222將地面的影響用鏡象電荷代替，并令TP,。 0,計算此情況下的(p(p將地面的影響用鏡象電荷代替，并JL 4 J- 乙略去導線2上感應電荷的影響，則得T12h

In—f1n，1T1、:4h2+d2 ln略去導線2上感應電荷的影響，則得T12h

In—f1n，1T1、:4h2+d2 ln%所以a11a21同理可得r212n80?2hIn—2n80lna22.2hIn2n8 a0C12IIo2C10再根據(jù)各個系數(shù)間的關系，可得輸電系統(tǒng)單位長度各部分電容再根據(jù)各個系數(shù)間的關系，可得輸電系統(tǒng)單位長度各部分電容C10=C20=P11+P12a-a22 12=2nC10=C20=P11+P12a-a22 12=2n801n2h，4h2+d2adC12=C21f2a212n8In0j4h2+d2Inr1n?4h2+d2、2其中，A=a11a21a1