一階倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

/課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)課程名稱：限制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)題目：一階倒立擺限制器設(shè)計(jì)院系：信息和電氣工程學(xué)院班級(jí)：設(shè)計(jì)者：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)老師：設(shè)計(jì)時(shí)間：2013年2月25日到2013年3月8號(hào)課程設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū)專(zhuān)業(yè)自動(dòng)化班級(jí)0902101學(xué)生指導(dǎo)老師題目一階倒立擺課程設(shè)計(jì)子題設(shè)計(jì)時(shí)間2013年2月25日至2013年3月8日共2周設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)（論文）的任務(wù)和基本要求，包括設(shè)計(jì)任務(wù)、查閱文獻(xiàn)、方案設(shè)計(jì)、說(shuō)明書(shū)（計(jì)算、圖紙、撰寫(xiě)內(nèi)容及規(guī)范等）、工作量等內(nèi)容。1．建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型2．做模型仿真試驗(yàn)（1）給出Matlab仿真程序。（2）給出仿真結(jié)果和響應(yīng)曲線。3．倒立擺系統(tǒng)的PID限制算法設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)PID限制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿和垂直方向的夾角變更小于0.1弧度并作PID限制算法的MATLAB仿真4．倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)限制算法設(shè)計(jì)用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)限制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）擺桿角度和小車(chē)位移的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）的上升時(shí)間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。指導(dǎo)老師簽字：系（教研室）主任簽字：2013年3月5日書(shū)目TOC\o"1-3"\h\u一、建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型 41.一階倒立擺的微分方程模型 42.一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型 63.一階倒立擺的狀態(tài)空間模型 7二、一階倒立擺matlab仿真 9三、倒立擺系統(tǒng)的PID限制算法設(shè)計(jì) 13四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)限制算法設(shè)計(jì) 23五、總結(jié) 28六、參考文獻(xiàn) 29建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型首先建立一階倒立擺的物理模型。在忽視空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M小車(chē)質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車(chē)上的力x小車(chē)位置φ擺桿和垂直向上方向的夾角θ擺桿和垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）一階倒立擺的微分方程模型對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)中的小車(chē)和擺桿進(jìn)行受力分析，其中，N和P為小車(chē)和擺桿相互作用力的水平和垂直方向的重量。圖SEQ圖\*ARABIC1-2小車(chē)及擺桿受力圖分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把這個(gè)等式代入式(1-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（1-4）為了推出系統(tǒng)的其次個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到其次個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（1-8）設(shè)，（φ是擺桿和垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)φ<<1弧度，則可以進(jìn)行近似處理：。用u代表被控對(duì)象的輸入力F，利用上述近似進(jìn)行線性化得直線一階倒立擺的微分方程為：（（1-9）一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型對(duì)式(1-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：（2-1（2-1）留意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度φ，求解方程組的第一個(gè)方程，可得：（2-2（2-2）或（（2-3）假如令QUOTE，則有：（（2-4）（2-5）把上式代入方程組（2-1（2-5）整理后得到傳遞函數(shù)：（2-6（2-6）其中。一階倒立擺的狀態(tài)空間模型設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：（（3-1）方程組（2-9）對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下：（3-1（3-1）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：（3-2（3-2）（3-3（3-3）擺桿的慣量為，代入（1-9）的第一個(gè)方程為：得：化簡(jiǎn)得：（3-4（3-4）設(shè)則有：（3-5（3-5）4.實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M小車(chē)質(zhì)量0.5Kgm擺桿質(zhì)量0.2Kgb小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.3mI擺桿慣量0.006kg*m*m代入上述參數(shù)可得系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù)：（4-1（4-1）（4-2）擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為：（4-3）擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（（4-4）以小車(chē)加速度為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（4-5）（4-5）一階倒立擺matlab仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下，依據(jù)上面給出的例子求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進(jìn)行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的matlab仿真。 小車(chē)質(zhì)量 1.096Kg 擺桿質(zhì)量 0.109Kg 小車(chē)摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25m擺桿慣量 0.0034kg*m*m采樣時(shí)間 0.005秒傳遞函數(shù)法Matlab程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num=[m*L/q00]den=[1b*(I+m*L^2)/q-(M+m)*m*g*L/q-b*m*g*L/q0];[r,p,k]=residue(num,den);s=p;得到傳遞函數(shù)的分子：num=2.356600以及傳遞函數(shù)分母:den=1.00000.0883-27.8285-2.30940開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：s=-5.27805.2727-0.08300由此可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式表達(dá)式為：（2-1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為（s):、、、，由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)并不是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如下，由圖也可見(jiàn)，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法可以進(jìn)行單輸入多輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)，因此在這個(gè)試驗(yàn)中，我們將嘗試同時(shí)對(duì)擺桿角度和小車(chē)位置進(jìn)行限制。為了更具挑戰(zhàn)性，給小車(chē)加一個(gè)階躍輸入信號(hào)。我們用Matlab求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣，并仿真系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)。在這里給出一個(gè)state.m文件，執(zhí)行這個(gè)文件，Matlab將會(huì)給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A，B，C和D矩陣，并繪出在給定輸入為一個(gè)0.2N的階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。state.m程序如下：p=I*(M+m)+M*m*L^2;>>A=[0100;0-(I+m*L^2)*b/p(m^2*g*L^2)/p0;0001;0-(m*L*b)/pm*g*L*(M+m)/p0]A=01.0000000-0.08830.629300001.00000-0.235727.82850>>B=[0;(I+m*L^2)/p;0;m*L/p]B=00.883202.3566>>C=[1000;0010]D=[0;0]C=10000010D=00matlab仿真的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線如下圖所示，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線倒立擺系統(tǒng)的PID限制算法設(shè)計(jì)試驗(yàn)要求和目的要求：設(shè)計(jì)PID限制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿和垂直方向的夾角變更小于0.1弧度并作PID限制算法的MATLAB仿真目的：進(jìn)一步熟識(shí)PID限制器的設(shè)計(jì)方法，步驟，以及P、I、D三參數(shù)的調(diào)整方法。2.理論分析PID限制原理在模擬限制系統(tǒng)中，限制器最常用的限制規(guī)律是PID限制。常規(guī)PID限制系統(tǒng)原理框圖如下圖所示。系統(tǒng)由模擬PID限制器KD(S)和被控對(duì)象G(S)組成。PID限制器是一種線性限制器，它依據(jù)給定值和實(shí)際輸出值構(gòu)成限制偏差將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過(guò)線性組合構(gòu)成限制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行限制，故稱PID限制器。其限制規(guī)律為或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式式中：——比例系數(shù)；——積分時(shí)間常數(shù)；——微分時(shí)間常數(shù)。在限制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫(xiě)成式中：——比例系數(shù)；——積分系數(shù)；——微分系數(shù)。

簡(jiǎn)潔說(shuō)來(lái)，PID限制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：（1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映限制系統(tǒng)的偏差信號(hào)，偏差一旦產(chǎn)生，限制器馬上產(chǎn)生限制作用，以削減偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消退穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。（3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變更趨勢(shì)（變更速率），并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)整時(shí)間。擺桿角度限制這個(gè)限制問(wèn)題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)限制問(wèn)題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng)，視察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如下：圖中是限制器傳遞函數(shù)，是被控對(duì)象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入，結(jié)構(gòu)圖可以很簡(jiǎn)潔地變換成該系統(tǒng)的輸出為其中：——被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)——被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)——PID限制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) ——PID限制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是其中PID限制器的傳遞函數(shù)為只需調(diào)整PID限制器的參數(shù)，就可以得到滿足的限制效果。小車(chē)位置限制小車(chē)位置作為輸出時(shí)，系統(tǒng)框圖如下：其中，是擺桿傳遞函數(shù)，是小車(chē)傳遞函數(shù)。由于輸入信號(hào)，所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成：其中，反饋環(huán)代表我們前面設(shè)計(jì)的擺桿的限制器。從今框圖我們可以看出此處只對(duì)擺桿角度進(jìn)行了限制，并沒(méi)有對(duì)小車(chē)位置進(jìn)行限制。小車(chē)位置輸出為：其中，，，，分別代表被控對(duì)象1和被控對(duì)象2傳遞函數(shù)的分子和分母。和代表PID限制器傳遞函數(shù)的分子和分母。下面我們來(lái)求，依據(jù)前面試驗(yàn)二的推導(dǎo)，有可以推出小車(chē)位置的傳遞函數(shù)為其中可以看出，==，小車(chē)的算式可以簡(jiǎn)化成：3.PID限制算法的MATLAB仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M小車(chē)質(zhì)量1.096Kgm擺桿質(zhì)量0.109Kgb小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mI擺桿慣量0.0034kg*m*mF加在小車(chē)上的力x小車(chē)位置T采樣時(shí)間擺桿的matlab仿真程序代碼如下：M=0.5;m=0.2;b=0.1;I=0.006;g=9.8;L=0.3;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num1=[m*L/q00];den1=[1b*(I+m*L^2)/q-(M+m)*m*g*L/q-b*m*g*L/q0];Kp=1;Ki=1;Kd=1;numPID=[KdKpKi];denPID=[10];num=conv(num1,denPID);den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1));[r,p,k]=residue(num,den);s=pt=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis([02010])運(yùn)行程序得到：s=-6.41613.96930.001900并得到仿真圖像如下：圖3.1kp=ki=kd=1時(shí)的仿真響應(yīng)圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)并不穩(wěn)定，此時(shí)應(yīng)當(dāng)首先調(diào)整kp，視察其響應(yīng)的變更：講kp設(shè)置為150，得到并視察響應(yīng)圖如下：s=-1.2224+18.0044i-1.2224-18.0044i-0.0000-0.0000-0.0000圖3-2，kp=150系統(tǒng)仿真圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)均在S平面做平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為4秒，滿足要求。此時(shí)系統(tǒng)有微小的靜態(tài)誤差，依據(jù)系統(tǒng)對(duì)于精度的要求可酌情考慮是否添加積分限制，本文添加積分限制。將積分參數(shù)設(shè)為5，得到并視察閉環(huán)響應(yīng)圖。在筆者經(jīng)過(guò)多次嘗試之后，發(fā)覺(jué)積分限制對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整作用微小，筆者給出當(dāng)積分參數(shù)分別設(shè)為10和50的響應(yīng)圖如下：圖3-3，ki=10的響應(yīng)圖3-4，ki=50系統(tǒng)的響應(yīng)積分作用通常是用來(lái)調(diào)整系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，使之達(dá)到須要的范圍，但是此處明顯積分作用對(duì)系統(tǒng)的影響不大，并了解到被控對(duì)象的特性屬于變更快的類(lèi)型，應(yīng)當(dāng)考慮變更微分限制，雖然微分限制在實(shí)際系統(tǒng)中運(yùn)用并不多見(jiàn)。筆者將微分作用參數(shù)設(shè)置為10,20,50視察其效果圖。圖3-5，kp=150,ki=50,kd=10的仿真圖像圖3-6，kp=150,ki=50,kd=20的仿真圖像圖3-7，kp=150,ki=50,kd=50的仿真圖像當(dāng)微分效果加上去的時(shí)候，系統(tǒng)閉環(huán)仿真圖像結(jié)果得到了質(zhì)的改善，瞬間取代了超調(diào)，不穩(wěn)定，響應(yīng)時(shí)間也快速降到了0.5秒，穩(wěn)定時(shí)間在1秒，完備地完成了任務(wù)。其效果已經(jīng)不能簡(jiǎn)潔的用好來(lái)形容，但是微分作用并非如此普及，并且每次都效果如此良好，要依據(jù)不同的對(duì)象來(lái)推斷用什么作用。必須要說(shuō)的是，微分作用在物理實(shí)現(xiàn)中是并不簡(jiǎn)潔的，假如只有比例調(diào)整和積分調(diào)整就能達(dá)到預(yù)想的效果，那就不要運(yùn)用微分調(diào)整。小車(chē)位置限制算法仿真pid2.m是仿真小車(chē)位置變更的m文件，文件如下：%小車(chē)位置PID限制%輸入倒立擺傳遞函數(shù)G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M=1.096;m=0.109;b=0.1; I=0.0034;g=9.8;l=0.25;q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;num1=[m*l/q00];den1=[1b*(I+m*l^2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];num2=[-(I+m*l^2)/q0m*g*l/q];den2=den1;%輸入限制器PID數(shù)學(xué)模型Gc(s)=numPID/denPIDKp=150;Ki=50;Kd=50;numPID=[KdKpKi];denPID=[10];%計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=num/den%多項(xiàng)式相乘num=conv(num2,denPID);%多項(xiàng)式相加den=polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1));%求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)[r,p,k]=residue(num,den);%顯示閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)s=p%求取多項(xiàng)式傳函的脈沖響應(yīng)t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)%顯示范圍：橫坐標(biāo)0-5，縱坐標(biāo)0-10，此條語(yǔ)句參數(shù)可依據(jù)仿真輸出曲線調(diào)整

axis([05-0.10.5])

grid此時(shí)系統(tǒng)取Kp=150，Ki=50，Kd=50，階躍響應(yīng)仿真曲線如下圖所示：s=-115.0953-2.4030-0.417700圖3-8，小車(chē)位置仿真由仿真結(jié)果能夠看出，當(dāng)擺桿角度處于很好的閉環(huán)限制下時(shí)，小車(chē)位置雖然處于失控狀態(tài)，但是上升速度不快。四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)限制算法設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)目的和要求現(xiàn)代限制理論的最突出特點(diǎn)就是將限制對(duì)象用狀態(tài)空間表達(dá)式的形式表示出來(lái)，這樣便于對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。線性二次型最優(yōu)限制算法（）是現(xiàn)代限制理論中一種重要的、基本的方法，算法的目的是在肯定的性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的限制效果最佳，即利用最少的限制能量，來(lái)達(dá)到最小的狀態(tài)誤差。本章主要利用最優(yōu)限制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車(chē)位置的同時(shí)限制。

設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)如何運(yùn)用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的限制算法。設(shè)計(jì)要求：用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)限制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.2N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）擺桿角度和小車(chē)位移的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）的上升時(shí)間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。

最優(yōu)限制器的設(shè)計(jì)在PID調(diào)整中，我們的輸入是脈沖量，并且在設(shè)計(jì)限制器時(shí)，只對(duì)擺桿角度進(jìn)行限制，而不考慮小車(chē)的位移。然而，對(duì)一個(gè)倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，把它作為單輸出系統(tǒng)是不符合實(shí)際的，假如把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出系統(tǒng)的話，用狀態(tài)空間法分析要相對(duì)簡(jiǎn)潔一些，在這一章我們將設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)擺桿位置和小車(chē)位移都進(jìn)行限制的限制器。系統(tǒng)狀態(tài)方程為在倒立擺相關(guān)參數(shù)為： 小車(chē)質(zhì)量 1.096Kg 擺桿質(zhì)量 0.2109Kg 小車(chē)摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25m擺桿慣量 0.0034kg*m*m采樣時(shí)間 0.005秒的條件下，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下：；；；最優(yōu)限制的前提條件是系統(tǒng)是能控的，下面來(lái)推斷一下系統(tǒng)的能控能觀性。Matlab仿真程序如下：A=[0100;0-(I+m*L^2)*b/p(m^2*g*L^2)/p0;0001;0-(m*L*b)/pm*g*L*(m+M)/p0]B=[0;(I+m*L^2)/p;0;(m*L)/p]C=[1000;0010]D=[0;0]Qc=ctrb(A,B);//推斷能控性K=rank(Qc)Qo=obsv(A,C)；//推斷能觀性I=rank(Qo)Matlab仿真結(jié)果為：K=4I=4即：系統(tǒng)的能控矩陣的秩。系統(tǒng)的能觀矩陣的秩。故系統(tǒng)是能控能觀的。因此可以給系統(tǒng)加上最優(yōu)限制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足暫態(tài)性能指標(biāo)。在運(yùn)用線性二次型最優(yōu)限制算法進(jìn)行限制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要的目的就是獲得反饋向量的值。由上一小節(jié)的推導(dǎo)知道，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋限制器時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo)泛函中加權(quán)矩陣和的選取。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，我們將取為對(duì)角陣。假設(shè)；這樣得到的性能指標(biāo)泛函為 由上式可以看出，是對(duì)的平方的加權(quán)，的相對(duì)增加就意味著對(duì)的要求相對(duì)其它狀態(tài)變量嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大，的偏差狀態(tài)相對(duì)減小。是對(duì)限制量的平方加權(quán)，當(dāng)相對(duì)較大時(shí)，意味著限制費(fèi)用增加，使得限制能量較小，反饋減弱，而取值較小時(shí)，系統(tǒng)限制費(fèi)用減小，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)快速。考慮到一階倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，主要的被控量為系統(tǒng)的輸出量和，因此在選取加權(quán)對(duì)角陣的各元素值時(shí)，由于代表小車(chē)位置的權(quán)重，而是擺桿角度的權(quán)重，所以只選取、，而。

選取和時(shí)須要留意的幾個(gè)方面：（1）由于我們采納的系統(tǒng)模型是線性化的結(jié)果，為使系統(tǒng)個(gè)狀態(tài)量能夠在線性范圍工作，要求各狀態(tài)量不應(yīng)過(guò)大。（2）閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)太大以免系統(tǒng)頻帶過(guò)寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲太敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。（3）加權(quán)矩陣的減小，會(huì)導(dǎo)致大的限制能量，應(yīng)留意限制的大小，不要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實(shí)力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。限制系統(tǒng)如下圖所示，圖中R是施加在小車(chē)上的階躍輸入，四個(gè)狀態(tài)量、、和分別代表小車(chē)位移、小車(chē)速度、擺桿位置和擺桿角速度，輸出包括小車(chē)位置和擺桿角度。我們要設(shè)計(jì)一個(gè)限制器，使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會(huì)搖擺，然后仍舊回到垂直位置，小車(chē)到達(dá)新的吩咐位置。系統(tǒng)仿真M=0.5; m=0.2; b=0.1; I=0.006; g=9.8; l=0.3;p=I*(M+m)+M*m*l^2;A