奧數(shù)第六講分數(shù)百分數(shù)應用題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——奧數(shù)第六講分數(shù)百分數(shù)應用題第六講：分數(shù)百分數(shù)應用題

教學目標

1.分析題目確定單位“1〞

2.確鑿找到量所對應的率，利用量÷對應率＝單位“1〞解題3.抓住不變量，統(tǒng)一單位“1〞BJ03-Y0355知識點撥：

一、知識點概述

分數(shù)應用題是研究數(shù)量之間份數(shù)關系的典型應用題，一方面它是在整數(shù)應用題上的延續(xù)和深化，另一方面，它有其自身的特點和解題規(guī)律．在解這類問題時，分析中數(shù)量之間的關系，確鑿找出“量〞與“率〞之間的對應是解題的關鍵．

關鍵：分數(shù)應用題經(jīng)常要涉及到兩個或兩個以上的量，我們往往把其中的一個量看作是標準量．也稱為：單位“1〞，進行對比分析。在幾個量中，關鍵也是要找準單位“1〞和對應的百分率，以及對應量三者的關系例如：（1）a是b的幾分之幾，就把數(shù)b看作單位“1〞．

1，乙比甲少幾分之幾？819191方法一：可設乙為單位“1〞，則甲為1??，因此乙比甲少??.

888891方法二：可設乙為8份，則甲為9份，因此乙比甲少1?9?.

9（2）甲比乙多

二、怎樣找準分數(shù)應用題中單位“1〞

（一）、部分數(shù)和總數(shù)

在同一整體中，部分數(shù)和總數(shù)作比較關系時，部分數(shù)尋常作為比較量，而總數(shù)則作為標準量，那么總數(shù)就是單位“1〞。例如：

我國人口約占世界人口的幾分之幾？——世界人口是總數(shù)，我國人口是部分數(shù)，世界人口就是單位“1〞。解答題關鍵：只要找準總數(shù)和部分數(shù)，確定單位“1〞就很簡單了。（二）、兩種數(shù)量比較

分數(shù)應用題中，兩種數(shù)量相比的關鍵句十分多。有的是“比〞字句，有的則沒有“比〞字，而是帶有指向性特征的“占〞、“是〞、“相當于〞。在含有“比〞字的關鍵句中，比后面的那個數(shù)量尋常就作為標準量，也就是單位“1〞。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人數(shù)為標準（單位“1〞），

解題關鍵：在另外一種沒有比字的兩種量相比的時候，我們尋常找到分率，看“占〞誰的，“相當于〞誰的，“是〞誰的幾分之幾。這個“占〞，“相當于〞，“是〞后面的數(shù)量——誰就是單位“！〞。（三）、原數(shù)量與現(xiàn)數(shù)量

有的關鍵句中不是很明顯地帶有一些指向性特征的詞語，也不是部分數(shù)和總數(shù)的關系。這類分數(shù)應用題的單位“1〞比較難找。需要將題目文字完善成我們熟悉的類似帶“比〞的文字，然后在分析。例如：水結成冰后體積增加了，冰溶化成水后，體積減少了。

完善后：水結成冰后體積增加了→“水結成冰后體積比原來增加了〞→原來的水是單位“1〞

冰溶化成水后，體積減少了→“冰溶化成水后，體積比原來減少了〞→原來的冰是單位“1〞解題關鍵：要結合語文知識將題目簡化的文字豐富后在分析

例題精講

(小數(shù)報數(shù)學競賽初賽)甲、乙兩人星期天一起上街買東西，兩人身上所帶的錢共計是86元.在人

4民市場，甲買一雙運動鞋花去了所帶錢的，乙買一件襯衫花去了人民幣16元．這樣兩人身上所

9剩的錢正好一樣多．問甲、乙兩人原先各帶了多少錢?

5方法一：把甲所帶的錢視為單位“1〞，由題意，乙花去16元后所剩的錢與甲所帶錢的一樣多，那么86?16955元錢正好是甲所帶錢的?1，那么甲原來帶了(86?16)?(?1)?45(元)，乙原來帶了86?45?41(元)．

99方法二：

4份甲乙16元86元

設甲所帶的錢數(shù)為9份，則甲和乙都還剩5份，所以每份是(86?16?(9?5)?5(元)，則甲原來帶了5?9?45(元)，乙原來帶了5?5?16?41(元).

一試驗五年級共有學生152人，選出男同學的正好相等。五年級男、女同學各有多少人？

根據(jù)題意畫出線段圖，找出量率對應：

1和5名女同學參與科技小組，剩下的男、女人數(shù)11

題中所給的已知數(shù)量雖然沒有直接的對應關系，但從中可以看出，假使女工去掉5人就和男工人數(shù)

11）相對應，因此總人數(shù)也應去掉5人，相應的與男工人數(shù)的（1－＋1）相對應。因此11111男工有：（152－5）÷（1－＋1）=77（名）女工有：152－77=75（名）答：男共有77名，女

11的（1－工有75名。

五年級有學生238人，選出男生的

問：五年級女生有多少人？

男生人數(shù)為(238?14)?(1?)?128(人)，女生有：128?

1甲、乙兩個書架共有1100本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是乙書架的2倍

3還多150本，問乙書架原有多少本書？

1和14名女生參與團體操，這時剩下的男生和女生人數(shù)一樣多，43?14?110(人)．434甲甲甲共1100本

乙乙乙乙甲還剩下~乙乙甲甲的150本21比乙的多150本32同時擴大兩倍

甲甲甲甲甲的4比乙多300本3

這個題目的難點就在于甲乙的數(shù)目同時發(fā)生了變化，變化之后的關系是兩倍還多150本，也就是說：

甲的

21比乙的的兩倍還多150本，假使能夠正確地理解和轉化這個條件，這道題也就迎刃而解了，342121比乙的的兩倍還多150本〞其實也就是“甲的比乙的多150本〞，34324比乙多300本〞，結合“甲乙的和為1100本〞3乙乙乙乙150本150本從上圖中不難看出，“甲的

假使同時擴大兩倍，他們之間的關系就變成了“甲的

這個條件，這個問題就變成了一個簡單的和倍問題了。11121，?2?，1??，1?75%?，150?2?300（本）4233421(1100?300)?(?2??2)?600（本）…………甲的書本數(shù)目

321100?600?500（本）………………乙的書本數(shù)目

方法二：設甲原有x本書，??1??x?150??2??1?75%??x?1100，解得x?600，則乙為500

????1?3???本。

五年級上學期男、女生共有300人，這一學期男生增加

學年六年級男、女生各有多少人?

方法一：此題我們用假設法來解答．假設這一學期五年級男、女生人數(shù)都增加

應為300?1，那么增加的人數(shù)2511，女生增加，共增加了13人．這一25201?12(人)，這與實際增加的13人相差13?12?1(人)．相差1人的原因是把女生增加的2511111看成計算了，即少算了原女生人數(shù)的，也就是說這1人正好相當于上學期女生??20252025100111人數(shù)的1%，可求出上學期女生的人數(shù)：(13?300?)?(?)?100(人)，男生人數(shù)為：

2520251300?100?200(人)，這學年女生的人數(shù)：100?(1?)?105(人)，這學年男生的人數(shù)：

202300?(1?)?208(人)．

25方法二：此題可以看成男生1份＋女生1份＝13（人），那么男生20份＋女生20份=13×20＝260（人），對比分析可以看出：300—260＝40（人）對應男生的25—20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝105（人）。

11，把銀放在水里稱，其重量減輕．現(xiàn)有一塊金銀合金重770克，1910放在水里稱共減輕了50克，問這塊合金含金、銀各多少克？

11方法一：設合金含金x克，則銀有(770?x)克．依題意，列方程得：x?(770?x)?50，

1910解得x?570，所以這塊合金中金有570克，銀有200克．方法二：此題可以看成金1份＋銀1份＝50（克），那么金10份＋銀10份=50×10＝500（克），對比分析可以看出：770—500＝270（克）對應金的19—10＝9（份），所以金有270÷9×19＝570（人），銀有770—570=200（人）。

42光明小學有學生900人，其中女生的與男生的參與了課外活動小組，剩下的340人沒有參與．這

73所小學有男、女生各多少人?

22（用假設法）假設男生、女生都有的人參與了課外活動小組，那么共有900??600(人)，比現(xiàn)在

33?24?多出了600??900?340??40(人)，這多出的40人即為女生的???，所以女生人數(shù)為

?37??24?40?????420(人)，男生人數(shù)為900?420?480(人)．

?37?

3二年級兩個班共有學生90人，其中少先隊員有71人，又知一班少先隊員占全班人數(shù)的，二班少

45先隊員占全班人數(shù)的，求兩個班各有多少人？

6此題與雞兔同籠問題相像，根據(jù)雞兔同籠問題的假設法，可求得一班人數(shù)為

553(90??71)?(?)?48(人)，那么二班人數(shù)為90?48?42(人)．

664

2盒子里有紅，黃兩種玻璃球，紅球為黃球個數(shù)的，假使每次取出4個紅球，7個黃球，若干次后，

5盒子里還剩2個紅球，50個黃球，那么盒子里原有________個玻璃球．

由于紅球與黃球個數(shù)比為2:5，所以若每次取4個紅球，10個黃球，則最終剩下的紅球與黃球的個

數(shù)比仍為2:5，即最終剩下2個紅球，5個黃球，而實際上是每次取4個紅球，7個黃球，最終剩2個紅球，50個黃球，每次少取了3個黃球，最終多剩下45個黃球，所以一共取了45?3?15次，所以球的總數(shù)為(4?7)?15?2?50?217個．

甲乙兩班的同學人數(shù)相等，各有一些同學參與課外天文小組，已知甲班參與的人數(shù)恰好是乙班未參

加人數(shù)的三分之一，乙班參與人數(shù)恰好是甲班未參與人數(shù)的四分之一，問甲班沒有參與的人數(shù)是乙班沒有參與的人數(shù)的幾分之幾？

分別用甲參、甲未、乙參、乙未表示甲、乙班參與和未參與的人數(shù)，則：甲參+甲未=乙參+乙未，

甲11118將甲參?乙末、乙末?甲末代入上式，得乙末?甲末?甲末?乙末,解得末?

3434乙末9把金放在水里稱，其重量減輕

（2023年第七屆“希望杯〞五年級一試）工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，原計劃15天完成。實際生產(chǎn)時改進

5了生產(chǎn)工藝，每天生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量比原計劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的多10件，結果提前4天完成了

11生產(chǎn)任務。則這批產(chǎn)品有件。

設原計劃每天生產(chǎn)11份，則實際每天生產(chǎn)5份加10件，而根據(jù)題意這批產(chǎn)品共有11?15?165份，所

以實際每天生產(chǎn)165?(15?4)?15份，所以15份與5份加10件的和一致，所以每份就是1件，所以這批產(chǎn)品共有165件.或用方程來解.

有若干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中白子都占28％．小明從某一堆中拿走一半棋子，

而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32％．那么，共有棋子多少堆?

設每堆棋子為100個有x堆棋子，那么每堆中白子為28個，黑子為72個，那走一半棋子且為黑子

時，還剩白子為28x個，黑子為（72x—50）個，所以列方程為：以有4堆。

我從飛機的舷窗向外看去，看見了部分海島、部分白云以及不大的一塊海疆，假定白云占窗口畫

面的一半，它遮住了島的

多少？

5/12.

28x?32%,解得x=4，所

100x?5011，因此島在窗口畫面上只占，問被白云遮住的那部分海洋占畫面的44

1養(yǎng)殖專業(yè)戶王老伯養(yǎng)了大量雞鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的1倍．鴨比雞少幾分之幾？

41111方法一：把鴨看成單位“1〞，那么雞就是1，鴨比雞少：(1?1)?1?(此時的單位“1〞是雞

4445的只數(shù))．

1方法二：設鴨有4份，則雞有5份，所以鴨比雞少1?5?.

5

3某校男生比女生多，女生比男生少幾分之幾？

733103103方法一：男生比女生多，則男生有1??，女生比男生少??.

77777103方法二：設女生有7份，則男生有10份，所以女生比男生少3?10?.

10

學校閱覽室里有36名學生在看書，其中女生占

有看書人數(shù)的

4，后來又有幾名女生來看書，這時女生人數(shù)占所99．問后來又有幾名女生來看書?194把總人數(shù)視為“1〞，緊抓住男生人數(shù)不變進行解答．男生人數(shù)是36?(1?)?20人，后來閱覽室的

99總人數(shù)是20?(1?)?38(名)，后來有38?36?2(名)女生進來．

19

（2023年五中小升初入學測試題）工廠原有職工128人，男工人數(shù)占總數(shù)的

工若干人，調(diào)入后男工人數(shù)占總人數(shù)的

1，后來又調(diào)入男職42，這時工廠共有職工人．51在調(diào)入的前后，女職工人數(shù)保持不變．在調(diào)入前，女職工人數(shù)為128?(1?)?96人，調(diào)入后女職工

4233占總人數(shù)的1??，所以現(xiàn)在工廠共有職工96??160人．

555

12119???而光明區(qū)、中心區(qū)、朝陽區(qū)獲獎學生數(shù)占參賽總數(shù)375105111211111???的?，?，?.所以有參賽學生數(shù)是3、7、5、72、56、90的倍數(shù)，

324727165651890有遠郊區(qū)參賽的占參賽總數(shù)的1-即為2520的倍數(shù)，而參賽學生總數(shù)只有2000多人,所以只能是2520．光明區(qū)、中心區(qū)、朝陽區(qū)獲獎學生共35+45+28=108人，占獲獎總數(shù)的1?生有2520名，獲獎學生有126名．

166?，所以獲獎學生總數(shù)為108÷=126.即參賽學777一爐鐵水凝成鐵塊，其體積縮小了

了幾分之幾?

1，那么這個鐵塊又熔化成鐵水（不計損耗），其中體積增加34

方法一：設鐵水的體積為1，則鐵塊為1?133?．現(xiàn)在變回來，那么鐵塊的體積就要變?yōu)閱挝?，34343334341?則鐵水的體積就為1?，故體積增加了：(?1)?1?.343333331.33方法二：體積縮小是鐵塊比鐵水縮小,所以可以設鐵水為34份,則鐵塊為33份,鐵塊又熔化成鐵水,體積增加是比鐵塊增加,所以用差的1份除以鐵塊的33份就是答案

水結成冰后體積增大它的

1.問：冰化成水后體積減少它的幾分之幾？10設水的體積是10份，則結成冰后體積為11份，冰化成水后比冰減少1?11?

(2023年清華附中考題)在下降的電梯中稱重，顯示的重量比實際體重減少

重，顯示的重量比實際體重增加

1.111；在上升的電梯中稱71．小明在下降的電梯中與小剛在上升的電梯中稱得的體重一致，6小明和小剛實際體重的比是．

6小明在下降的電梯中稱得的體重為其實際體重的，小剛在上升的電梯中稱得的體重為其實際體重

77的，而小明在下降的電梯中與小剛在上升的電梯中稱得的體重一致，所以小明和小剛實際體重的6?6??7?比是：?1??:?1???49:36．

?7??6?

某工廠二月份比元月份增產(chǎn)

11，三月份比二月份減產(chǎn)．問三月份比元月份增產(chǎn)了還是減產(chǎn)了？1010工廠二月份比元月份增產(chǎn)

1111，將元月份產(chǎn)量看作1，則二月份產(chǎn)量為：1?(1?)?，三月比二101010111199?1，所以三月份比元月份減產(chǎn)了．月減產(chǎn)，則三月份產(chǎn)量為：?(1?)?101010100

11一件商品先漲價，然后再降價，問現(xiàn)在的價格和原價格比較升高、降低還是不變？

55111?(1?)?(1?)?0.96?1，所以現(xiàn)在的價格比原價降低了.

55

如圖⑴，線段MN將長方形紙分成面積相等的兩部分．沿MN將這張長方形紙對折后得到圖⑵，

將圖⑵沿對稱軸對折，得到圖⑶，已知圖⑶所覆蓋的面積占長方形紙面積的平方厘米．長方形的面積是多少？

N3，陰影部分面積為610

如圖⑶所示，陰影部分是2層，空白部分是4層，假使將陰影部分縮小一半，即變?yōu)?平方厘米，

那么陰影部分也變成4層，此時覆蓋面的面積占長方形紙片面積的長方形紙片面積的(

M(1)M(2)N(3)1，即縮小的3平方厘米相當于43131?)，所以長方形紙片面積為3?(?)?60(平方厘米).104104課后練習

7，并且比一班多320練習1.某小學六年級有三個班，一班和二班人數(shù)相等，三班的人數(shù)是全年級總人數(shù)的

人，六年級共有多少人？

根據(jù)條件“三班的人數(shù)占全年級的

77，并且比二班多3人〞可知一班、二班都比全年級的少3202377人，假設一班、二班都占全年級的，那么將比實際人數(shù)多出3×2=6人，比單位“1〞多出（

202377777＋＋－1），兩個數(shù)量正好對應。因此全年級的人數(shù)為：3×2÷（＋＋－1）=1202320232023（人）六年級共有120人。

練習2.有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑、白兩色棋子．第一堆里的黑子和其次堆里的白子

一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的

2，把這三堆棋子集中在一起，問白子占全部棋子的幾分之5幾?

不妨認為其次堆全是黑子，第一堆全是白子，(即將第一堆黑子與其次堆白子互換)，其次堆黑子是

全部棋子的的1-

11225，同時，又是黑子的1-．所以黑子占全部棋子的÷(1-)=，白子占全部棋子3355954=.99練習3.有紅、黃、白三種球共160個。假使取出紅球的1/3，黃球的1/4，白球的1/5，則還剩120個；如

果取出紅球的1/5，黃球的1/4，白球的1/3，則剰116個，問：（1）原有黃球幾個？（2）原有紅球、白球各有幾個？（1）兩次共取出球160×2-（120＋116）＝84（個），共取出紅、白球的

推知原有黃球(160?118111??，黃球的??。3515442881?84)?(?)?40(個)15152?紅?白?160?40?紅?白?120??（2）整理得?1?1111紅??40?白?160?120紅?白?30，解得紅=45，白=75?3?3455??

練習4.有一塊菜地和一塊稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公頃，稻田的一半和菜地的三

分之一合在一起是12公頃。那么這塊稻田有多少公頃？?菜地+稻田???1?11?+?=13+12，整理得到菜地+稻田=30，?菜地+稻田?=15，而題目中

2?23?11?11?菜地+稻田=13，兩者對比分析得到，稻田為?15?13??????12(公頃)23?23?

練習5.學校派出60名選手參與2023年“華羅庚金杯小學數(shù)學邀請賽〞，其中女選手占

幾名女選手因故缺席，這樣就使女選手人數(shù)變?yōu)閰①愡x手總數(shù)的

1．正式比賽時有42．正式參賽的女選手有多少名？11由于女選手人數(shù)有變化，男選手人數(shù)未變，所以抓住男選手人數(shù)不變求解．把總人數(shù)視為“1〞，男

12)=45(人)，男選手人數(shù)占正式參賽選手總數(shù)的1-，所以正式參賽選手總數(shù)41122是：45÷(1-)=55(人)，正式參賽的女選手人數(shù)是55×=10(人)。

1111選手人數(shù)是60×(1-

練習6.四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的總數(shù)的

第三只小猴吃的是另外三只的總數(shù)的少個桃？

根據(jù)題意知前三只小猴分別吃了總數(shù)的

所以四只小猴共吃了46?(1?

11，其次只小猴吃的是另外三只吃的總數(shù)的，341，第四只小猴將剩下的46個桃全吃了.問四只小猴共吃了多5111，，，456111??)?120（個）456月測備選

五年級選出男生的

1和12名女生參與數(shù)學競賽，剩下的男生人數(shù)是女生的2倍．已知五年級共有11學生156人，其中男生有多少人?

15方法一：把男生人數(shù)視為單位“1〞，未參與比賽的女生是：(1?)?2?，156?12?144(人)是男

11115生和剩下的女生人數(shù)，所以男生有144?(1?)?99(人).

11?(11?1)?2]?(9人)，所以男生有方法二：設五年級男生有11份，所以每份是(156?12)?[(119?11?99(人).

1甲、乙兩個書架，已知甲書架有600本書，從甲書架借出，從乙書架借出75%以后，甲書架是

3乙書架的2倍還多150本，乙書架原有多少