多元函數(shù)的極值及其應用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——多元函數(shù)的極值及其應用多元函數(shù)的極值與最值及其應用

在管理科學、經濟學、以及大量工程與科技問題中，往往需要研究函數(shù)的最大值與最小值問題，它們統(tǒng)稱最值問題.需要求最值的函數(shù)為目標函數(shù)，該函數(shù)的自變量為決策變量，相應的問題為優(yōu)化問題.

一、一般方法求極值和最值

實際問題中求最大值和最小值

1.制作一定體積的物體，求用料最少。

例用鐵皮制作有蓋長方體水箱，且其長、寬、高分別為x,y,z.若體積V?2時,怎樣用料最省?解:用料S?2(xy?yz?zx)?2(xy?22?),其中x,y?0.xy2?S?2(y?)?0,x2??x?3223x?z??2.令?同時??32xyy?2??Sy?2(x?2)?0.y??據(jù)實際狀況可知,長、寬、高均為32時,用料最省.

2.施工時對于建筑材料使用的最小值例一水渠的橫斷面是面積為S的等腰梯形，問應當如何選取岸邊的傾斜角?與高度h，可以使得濕周L最??？（濕周為橫斷面上與水接觸的各邊總長.一般地：濕周越小，所需建材與修筑工作量越少）

解設梯形下底的長為a，則橫斷面面積

S?h?cot?h2hS2h????h?cot?(h?0,0???)濕周L?a?sin?hsin?2S?(a?h?cot?)h?a?1

1?2cos??L?h?0?2???sin????,h?由?3?L??S?2?cos??0h?h2sin??故當??S，43S時，433S2h??h?cot?(h?0,0???)達到最小值Lmin.函數(shù)L??hsin?2,h?3.生產利潤的最大值

例某工廠生產A,B兩種型號的產品，A型產品的售價為1000元/

?B型產品的售價為900元/件，件，生產A型產品x件和B型產品y件的總成本為

C(x,y)?40000?200x?300y?3x2?xy?3y2元，求A,B兩種

產品各生產多少件時，利潤最大？

解：設L(x,y)為生產A型產品x件和B型產品y件時的總利潤，則L(x,y)＝R(x,y)?C(x,y)

??3x2?xy?3y2?800x?600y?40000，

??x?120?Lx(x,y)??6x?y?800?0??由?，

L(x,y)??x?6y?600?0??y?80?y又有

A?Lxx(120,80)??6?0,B?Lxy(120,80)??1,C?Lyy(120,80)??6?AC?B2?35?0故函數(shù)L(x,y)在點(120,80)取得最大值，且Lmax(x,y)?L(120,80)?32000（元）.

4.求一定區(qū)域內函數(shù)的最值

例求函數(shù)z?1?x?2y在D??(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}上的最大值與最小值.

解在區(qū)域?(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}內，由于

zx?1?0,zy?2?0所以在區(qū)域的內部函數(shù)無極值點；

在邊界上：

2

在x?0(0?y?1)上，z?1?2y，所以有zmax?3；zmin?1.在y?0(0?x?1)上，z?1?x，所以有zmax?2；zmin?1.在x?y?1(0?y?1)上，z?2?y，所以有zmax?3；zmin?2.綜上所述：函數(shù)在區(qū)域D上的最大值為zmax?3；

最小值為zmin?2.

22例求函數(shù)f(x,y)?xy1?x?y在D??(x,y)|x?0,y?0,x2?y2?1}上的最大值與最小值.

22解在區(qū)域(x,y)|x?0,y?0,x?y?1}內，由

??x2y22?0?fx(x,y)?y1?x?y?221?x?y??2xy?f(x,y)?x1?x2?y2??022?y1?x?y?3333?x?y??f(,)?333933P(,)為區(qū)域內的惟一駐點；

332222在邊界x?0,y?0,x?y?1上：f(x,y)?xy1?x?y＝0；

綜上所述：函數(shù)的最大值為fmax?f(最小值為fmin?0.

333,)?；339例函數(shù)z?x?y在x?4y?4上的最大值與最小值.

2222?zx?2x?0解：在區(qū)域x?4y?4內：由?，?駐點為P（0，0）z??2y?0?y22但由于zxx?2?0,zyy??2?0，所以在x?4y?4內無極值點.

22在邊界x?4y?4上：z?x?y?4?5y(?1?y?1)

222223

?x??2由zy??10y?0?y?0??為極值點，

y?0?由z|y?0?4,z|y??1??1知

邊界上的最大值為z|y?0?4，最小值為z|y??1??1.綜上所述：函數(shù)z?x2?y2在x2?4y2?4上的

最大值為zmax?z|y?0?4；最小值為zmin?z|y??1??1.二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

1.條件極值：對自變量有附加條件?(P)?0時f(P)的極值．2.f(P)在P0(x0,y0)點取得條件極值的必要條件:

?fx(P0)???x(P0)?0,??fy(P0)???y(P0)?0,其中?為某一常數(shù).??(P)?0.0?

3.拉格朗日乘數(shù)法

(1)構造輔助函數(shù)（拉各朗日函數(shù)）F(P)?f(P)???(P)，

其中?稱為拉各朗日乘子；

??Fxi(P)?fxi(P)???xi(P)?0,(2)解方程組???F?(P)??(P)?0.(i?1,2?n)

(3)由上方程解出P,?，其中P就是可能的極值點的坐標.

(4)根據(jù)實際狀況確定極值.例題

1.曲線上的點到直線的最小距離

例.求拋物線y?4x上的點,使它與直線x?y?4?0相距最近.解設拋物線y?4x上的點(x,y)到直線x?y?4?0的距離為

22d?x?y?412?(?1)2?1x?y?422222問題可化為求函數(shù)z?(x?y?4)在條件y?4x下的最小值點.令拉格朗日函數(shù)為F(x,y)?(x?y?4)??(y?4x)

4

?Fx??2(x?y?4)?4??0?解方程組?Fy???2(x?y?4)?2?y?0得x?1,y?2.

?2?F???y?4x?0于是(1,2)是拋物線y2?4x上距直線x?y?4?0最近的點.

2.表面積一定，求最大體積

例求表面積為a2,而體積為最大的長方體的體積.解:設x,y,z分別為長方體三棱長,此題即要求在條件

?(x,y,z)?2xy?2yz?2zx?a2?0下函數(shù)V?xyz的最大值,

其中x,y,z?0.

令F(x,y,z)?xyz??(2xy?2yz?2zx?a2),

?Fx?yz??2(y?z)?0?F?xz??2(x?z)?0?y解方程組??Fz?xy??2(y?x)?02?F?2xy?2yz?2xz?a?0??

（注意：解此類方程組時用比商的方法消去?，并找出x,y,z間的關系）

??Fx?yz??2(y?z)?0比商yy?z???x?y由?F?xz??2(x?z)?0xx?z??y?Fz?xy??2(y?x)?0比商yy?x由????z?y

F?xz??2(x?z)?0zx?z?y將x?y?z代入F??2xy?2yz?2xz?a2?0?6x2?a2得：6a,663此時V?a.由題意知,V最大值存在且在區(qū)域內取得,故V3663的最大值為a.

36x?y?z?

5

3.函數(shù)在約束條件下的最值問題

例函數(shù)u?x2?y2?z2在在約束條件z?x2?y2和

x?y?z?4下的最大和最小值.

解：設

F(x,y,z)?x2?y2?z2??1(x2?y2?z)??2(x?y?z?4)?Fx(x,y,z)?0?2x?2x?1??2?0?F(x,y,z)?0?y??2y?2y?1??2?0??得方程組?Fz(x,y,z)?0即?2z??1??2?0

?2?222x?y?z?0x?y?z?0????x?y?z?4?0?x?y?z?4?0?2x?2x?1??2?0???x?y2y?2y?1??2?0??x?y?x?y?2z?????0?2z?????0??1212??2?22x?y?z?02x?z?0????x?y?z?4?0??2x?z?4?x??2?x?1??解得?y??2或?y?1

?z?8?z?2??得Umax?(?2)?(?2)?8?，7U2min?1?1?2?6.4.最優(yōu)廣告策略問題

例公司通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告,根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R(萬元)與電臺廣告費用x1(萬元)及報紙廣告

222222x2(萬元)之間的關系有如下經驗公式:

2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2(1)在廣告費用不限的狀況下,求最優(yōu)廣告策略;

(2)若提供的廣告費用是1.5萬元,求相應的最優(yōu)廣告策略.解(1)利潤函數(shù)

6

2L?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2?(x1?x2),

?1?13?8x2?4x1?0??x1?0.75?Lx令?得?

?x?1.25??2?Lx2?31?8x1?20x2?0由問題的實際意義可知,當x1?0.75,x2?1.25時,公司獲得的總利

潤最大.

2(2)將x2?1.5?x1代入L中得L?39?4x1,

?1??8x1?0得x1?0,從而x2?1.5,令Lx故最優(yōu)廣告策略為將1.5萬元全部用于報紙的廣告費.另解：公司利潤為

2L?R?x1?x2?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2在條件?(x1,x2)?x1?x2?1.5?0下,求L的最大值.令

2F?15?13x1?31x2?8x1x2?2x12?10x2??(x1?x2?1.5),

?Fx?1?13?8x2?4x1???0,?解方程組?Fx?2?31?8x1?20x2???0,???F??x1?x2?1.5?0,得:x1?0,x2?1.5.

5..實際生產問題中的總利潤最大問題

例某廠家生產的一種產品同時在兩個市場銷售,售價分別為P1和

P2,銷售量分別為Q1和Q2,需求函數(shù)分別為Q1?24?0.2P1,Q2?10?0.5P2,總成本函數(shù)為C?34?40(Q1?Q2),問廠家如何

確定兩個市場的售價,能使其獲得的總利潤最大？解：依題意,總收益為R(P1,P2)?P1Q1?P2Q2,

總利潤為L(P1,P2)?R?C?P1Q1?P2Q2?[34?40(Q1?Q2)]

22??0.2P1?0.5P2?32P1?30P2?1360,

?L?L??P2?30?0;令,??0.4P?32?01?P2?P1得駐點(P1,P2)?(80,30),而

??(80,30)??0.4?0,B?L12??(80,30)?0,A?L117

??(80,30)??1,D?AC?B2?0.4?0,C?L22所以廠家確定兩個市場的售價分別為P1?80與P2?30時,獲得的

總利潤最大.

例設某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產品，兩個市場的需求函數(shù)分別是P1?18?2Q1,P2?12?Q2,其中P1和P2分別表示該產品在兩個市場的價格(單位：萬元/噸),Q1和Q2分別表示該產品在兩個市場的銷售量(即需求量,單位:噸),并且該企業(yè)生產這種產品的總成本函數(shù)是C?2Q?5,其中Q表示該產品在兩個市場的銷售總量,即Q?Q1?Q2.

（2）假使該企業(yè)實行價格區(qū)別策略,試確定兩個市場上該產品的

銷售量和價格,使該企業(yè)獲得最大利潤;

（2）假使該企業(yè)實行價格無區(qū)別策略,試確定兩個市場上該產品的

銷售量及其統(tǒng)一的價格,使該企業(yè)的總利潤最大化;并比較兩種價格策略下的總利潤大小.解(1)總利潤函數(shù)

L?R?C?P1Q1?P2Q2?(2Q?5)2??2Q12?Q2?16Q1?10Q2?5.

?2??2Q2?10?0分別得唯一駐點?1??4Q1?16?0,LQ令L1?4(噸),Q2?5(噸),對應的價格分別為P1?10(萬元/噸),

P2?7(萬元/噸).又實際問題一定存在最大值,故最大值必在唯一駐

點處取得,即最大利潤為

L??2?42?52?16?4?10?5?5?52(萬元).(2)假使實行價格無區(qū)別策略,即P1?P2,則有約束條件2Q1?Q2?6.作拉格朗日函數(shù)

2F(Q1,Q2,?)??2Q12?Q2?16Q1?10Q2?5??(2Q1?Q2?6)

?1??4Q1?16?2??0?FQ??2??2Q2?10???0令?FQ???F??2Q1?Q2?6?0解得唯一駐點Q1?5(噸),Q2?4(噸),對應的統(tǒng)一價格P1?P2?8(萬元/噸).又實際問題一定存在最大值,故最大值必在唯

一駐點處達到,即最大利潤為

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L??2?52?42?16?5?10?4?5?49(萬元).

由上述結果可知,企