2022年高考理數(shù)真題試卷（全國甲卷）（含答案）

2022

年高考理數(shù)真題試卷（全國甲卷）一、選擇題：本題共

12

小題，每小題

5

分，共

60

分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若 ，則 （

）A．B．C．D．2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取

10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這

10

位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于

70%講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于

85%講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差設全集 ，集合（

）B． C．，則D．4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為

1，則該多面體的體積為（

）A．8B．12C．16D．205．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A．B．C．D．6．當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A．-1B．C．D．17．在長方體，則（

）中，已知 與平面和平面所成的角均為A．B．AB

與平面所成的角為C．D． 與平面 所成的角為8．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以

O

為圓心，OA

為半徑的圓弧，C

是

AB

的中點，D

在 上， ．“會圓術”給出的弧長的近似值s

的計算公式：．當時，（

）A．B．C．D．9．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A．B．C．D．10．橢圓的左頂點為

A，點

P，Q

均在

C

上，且關于

y軸對稱．若直線的斜率之積為，則

C

的離心率為（

）A．B．C．D．11．設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．12．已知 ，則（

）A． B． C．二、填空題：本題共

4

小題，每小題

5

分，共

20

分。13．設向量 ， 的夾角的余弦值為 ，且D．，則

．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則

．從正方體的

8個頂點中任選

4

個，則這

4個點在同一個平面的概率為

．已知 中，點

D

在邊

BC

上， ．當小值時，

．取得最三、解答題：共

70

分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第

17～21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第

22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。記 為數(shù)列 的前

n

項和．已知 ．證明： 是等差數(shù)列；若 成等比數(shù)列，求 的最小值．在四棱錐 中， 底面．（1）證明：；（2）求

PD與平面 所成的角的正弦值．19．甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得

10

分，負方得

0

分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為

0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲學校獲得冠軍的概率；（2）用

X

表示乙學校的總得分，求

X

的分布列與期望．20．設拋物線 的焦點為

F，點點．當直線

MD

垂直于

x

軸時， ．（1）求

C

的方程：，過 的直線交

C

于

M，N

兩（2）設直線與

C

的另一個交點分別為

A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線

AB

的方程．21．已知函數(shù)．（1）若，求a

的取值范圍；（2）證明：若 有兩個零點 ，則 ．四、選考題：共

10

分。請考生在第

22、23

題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t

為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s

為參數(shù)）．寫出 的普通方程；以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線，求 與 交點的直角坐標，及 與23．已知

a，b，c

均為正數(shù)，且 ，證明：（1） ；（2）若 ，則 ．的極坐標方程為交點的直角坐標．答案解析部分【答案】C【答案】B【答案】D【答案】B【答案】A【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】11【答案】【答案】【答案】

或【答案】（1）已知，即①，當 時，②，①-②得，即 ，，即 ，所以，且，所以 是以

1

為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）中 可得，，，，又 ， ， 成等比數(shù)列，所以，即 ，解得，所以，所以，所以，當 或 時18．【答案】（1）證明：在四邊形．中，作于，于，因為，所以四邊形所以為等腰梯形，，故，，所以，所以，因為所以平面，， 平面 ，又，所以又因所以平面平面，，（2）解：

由(1)知，PD，AD，BD

兩兩垂直，，建立空間直角坐標系如圖所示，則∴設平面

PAB

的法向量為，則即不妨設 ，則設

PD

與平面PAB

的所成角為

θ，則，∴PD

與平面PAB

的所成的角的正弦值為.19．【答案】（1）

解：設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為

A，B，C，所以甲學校獲得冠軍的概率為P==0.16+0.16+

0.24+0.04=0.6.（2）解：依題可知，X

的可能取值為，所以，，，，.即

X

的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望20．【答案】（1）解：拋物線的準線為此時 ，所以所以拋物線

C

的方程為 ；，，當與

x

軸垂直時，點

M

的橫坐標為p，（2）解：設，直線 ，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線

MN、AB

的傾斜角分別為所以 ，，若要使最大，則，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線 .21．【答案】（1） 解：

由題意得，函數(shù)f(x)的定義域為，，令

f'(x)=0，

得

x=1

，當

x∈（0，1），f'(x)<0，

f(x)單調(diào)遞減，當

x∈（1，+∞），f'(x)>0，

f(x)單調(diào)遞增

，若

f(x)≥0，則

e+1-a≥0，

即

a≤e+1

，所以

a

的取值范圍為（-∞，e+1）（2）證明：由題知， 一個零點小于

1，一個零點大于

1不妨設要證，即證因為，即證因為，即證即證即證下面證明時，設，則設所以，而所以，所以所以在單調(diào)遞增即，所以令所以在單調(diào)遞減即，所以；綜上，，所以22．【答案】（1）解：因為，，所以，即普通方程為．（2）解：因