2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二第1講三角函數(shù)Word版含答案

專題二

三角函數(shù)、解三角形、平面向量與數(shù)列第1講三角函數(shù)考向展望1．三角函數(shù)的圖象，主要波及圖象變換問題以及由圖象確立分析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考察；2．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單一區(qū)間等，主要以解答題的形式考察；3．三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱門，此中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、引誘公式是解決心算問題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心．知識與技巧的梳理1．常用三種函數(shù)的圖象性質(zhì)(下表中kZ)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象遞加2k,2k2k2kk,k區(qū)間2222遞減2k,2k2k2k區(qū)間22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱kπ,0k,0k,0中心22對稱軸x＝kπ＋2x＝kπ周期性2π2ππ2．三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)y＝Asin(ωx＋φ，當(dāng)φ＝π(∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝π＋(kZ)時為偶函數(shù)；)kkk2對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(kZ)求得．2(2)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；2對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(kZ)求得．(3)y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(kZ)時為奇函數(shù)．3．三角函數(shù)的兩種常有變換向左0或向右0(1)y＝sinx平移個單位縱坐標(biāo)變成本來的A倍y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．橫坐標(biāo)不變y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．4．三角函數(shù)公式(1)同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，sintan．cosk，kZ的三角函數(shù)值”與“α角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下邊口訣記憶：(2)引誘公式：對于“2奇變偶不變，符號看象限．(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sinsincoscossin；coscoscossinsin；tantantan．1tantan(4)二倍角公式：sin22sincos，cos22222．cossin2cos112sin(5)協(xié)助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，此中tanb．a(chǎn)熱門題型熱門一三角函數(shù)的圖象【例1】(1)(2018清·流一中)已知函數(shù)y2cos1xπ，41）用“五點法”作出這個函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；（2）函數(shù)ycosx圖象經(jīng)過如何的變換能夠獲得y2cos1xπ的圖象？24(2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0,0,的部分圖象以下圖，則函數(shù)f(x)的分析式為( )2A．f(x)2sinxB．f(x)2sin2x63C．f(x)2sin2xD．f(x)2sin2x126(1)解(1)列表xππ3π5π7π222221πππ3π2πx02224πy2cosx2020224【注：列表每行1分，該行一定全對才得分；圖象五點對得1分，圖象趨向錯扣1分】（2）把ycosx的圖象向左平移π個單位獲得ycosxπ的圖象，再把ycosxπ的圖象縱坐標(biāo)不444變，橫坐標(biāo)變成本來的2倍獲得ycos1xπ的圖象，最后把ycos1xπ的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)2424變成本來的2倍，獲得y2cos1xπ的圖象．24(2)由(1)知f(x)5sin2x，依據(jù)圖象平移變換，得g( )5sin2x2．6x6因為y＝sinx的對稱中心為kπ,0，kZ．令2x＋2θ－＝kπ，kZ，解得xk，kZ．2126因為函數(shù)y＝g(x)的圖象對于點,0成中心對稱，令k125，kZ，解得k，kZ．1221223由θ>0可知，當(dāng)k＝1時，θ獲得最小值6．(2)分析(1)由題意知A＝2，T45，ω＝2，126因為當(dāng)x5時獲得最大值2，所以22sin25，121252k，kZ，解得2kπ，kZ，所以21223因為|φ|<，得，所以函數(shù)f()2sin2x．233π3π研究提升1．“五點法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，2，π，2，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得．2．在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，仍是先周期變換．變換不過相對于此中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確立變換的單位長度和方向．3．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求分析式時，常采納待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特別點求A；由函數(shù)的周期確立ω；確立φ常依據(jù)“五點法”中的五個點求解，此中一般把第一個零點作為突破口，能夠從圖象的起落找準(zhǔn)第一個零點的地點．【訓(xùn)練1】(1)(2018孝·感期末)已知函數(shù)fxAsin2x1A0,0π，gx3m3x223x，fx的圖像在y軸上的截距為1，且對于直線xπ對稱．若對于隨意的x11,2，存在x20,π，126使得gx1fx2，則實數(shù)m的取值范圍為______．(2)(2017貴·陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，0，π)的部分圖象以下圖．2①求函數(shù)f(x)的分析式；②將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到本來的1倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移π個26π單位長度，獲得函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，8上的最小值．分析(1)因為fx的圖像在y軸上的截距為1，且對于直線xπ對稱，12所以f0Asin11，sin2π1，212又A0，0π，所以π，A3，23所以fx3sin2xπ1，x0,π，326所以2xππ2π，sin2xπ3，fx1,31，fxmin1，33,332,12因為gx3m3x3m，x1,2，所以gxmin1m，3x3x3若對于隨意的x11,2，存在x20,π，使得gx1fx2，6則gx1minfx2min，所以1m1，解得m2，33所以實數(shù)的取值范圍為,2，答案為,2．33答案,23T2πππ(2)解①設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由題圖可知A＝1，2＝3－6＝2，2π即T＝π，所以π＝ω，解得ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)．ππ由0＝sin2×＋φ可得＋φ＝2kπ，kZ，63πππ則φ＝2kπ－，k∈Z，因為|φ|＜，所以φ＝－，323π故函數(shù)f(x)的分析式為f(x)＝sin2x－3．g(x)＝sinπ②依據(jù)條件得4x＋3，當(dāng)x∈πππ5π0，8時，4x＋∈，，336π1．所以當(dāng)x＝時，g(x)獲得最小值，且g(x)min＝82熱門二三角函數(shù)的性質(zhì)【例2】(2018·哈爾濱三中)已知函數(shù)fxAsinxA0,0,π的圖象與y軸的交點為0,3，2它在y軸右邊的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為x0,2和x0π,2．2（1）求fx分析式及x0的值；（2）求fx的單一增區(qū)間；（3）若x0,π時，函數(shù)gx2fx1m有兩個零點，務(wù)實數(shù)m的取值范圍．2解（1）由題意知，A2，Tπ，∴Tπ，∴2π2；22T又∵圖象過點0,3，∴2sin3，∴sin3；2又∵π，∴π；∴fx2sin2xπ；233又∵x0,2是fx在y軸右邊的第1個最高點，∴2x0ππ，解得x05π．3212（2）由2π2π2πππ5ππxkZ，得kπxkπkZ，2312212∴fx的單一增區(qū)間為π5πkπ,πkZ；1212（3）∵在x0,π時，函數(shù)gx2fx1m有兩個零點，2∴gx0有兩個實數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個交點．∴sin2xπm1在π上有兩個根，340,2∵xπ，∴2xππ0,3,2π，233∴聯(lián)合函數(shù)圖象，函數(shù)gx2fx1m有兩個零點的范圍是5,231．m5,231．研究提升1．議論三角函數(shù)的單一性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對稱性，都一定第一利用協(xié)助角公式，將函數(shù)化成一個角的一種三角函數(shù)．2．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單一區(qū)間，是將ωx＋φ作為一個整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間)，求出的區(qū)間即為y＝Asin(ωx＋φ)的增區(qū)間(或減區(qū)間)，可是當(dāng)A＞0，ω＜0時，需先利用引誘公式變形為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間．【訓(xùn)練2】(2017·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π的值；3(2)求f(x)的最小正周期及單一遞加區(qū)間．解(1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π，62π4ππ則f3＝－2sin3＋6＝2．(2)f(x)的最小正周期為π．由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令ππ3π2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，262π2π得kπ＋≤x≤kπ＋3，k∈Z．6所以函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為π2πkπ＋，kπ＋，k∈Z．63熱門三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(2017·西安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期為π．(1)求函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間．π1個單位，獲得函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移6個單位，再向上平移上起碼含有10個零點，求b的最小值．解(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋3(2sin2ωx－1)＝sin2ωx－3cos2ωx＝2sin2ωx－π．3由最小正周期為π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－π，3πππZ，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k232π5π整理得kπ－12≤x≤kx＋12，kZ，所以函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間是π，kπ＋5π，kZ．kπ－1212π1個單位，獲得y＝2sin2x＋1的圖象；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移6個單位，再向上平移所以g(x)＝2sin2x＋1．令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π11π或x＝kπ＋12(kZ)，12所以在[0，π]上恰巧有兩個零點，若y＝g(x)在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標(biāo)即可．11π59π所以b的最小值為4π＋12＝12．研究提升1．研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，重點是將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解．2π2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝|ω|．應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期為T＝π．|ω|【訓(xùn)練3】函數(shù)的性質(zhì)往常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單一性、奇偶性、對稱性等，請選擇適合的研究次序，研究函數(shù)fx1sinx1sinx的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上填寫下表，作出fx在區(qū)間π,2π上的圖象．性質(zhì)原因結(jié)論得分定義域值域奇偶性周期性單一性對稱性作圖解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒建立，∴函數(shù)的定義域為R；2∵f2x1sinx1sinx22cosx，∴由|cosx|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函數(shù)的值域為[，2]；∵fxπ1sinx1sinxfx，∴函數(shù)的最小正周期為π，∵當(dāng)x0,π時，fx1sinx1sinx2cosx，在0,π上為減函數(shù)，222當(dāng)xπ1sinx1sinx2sinx，在π,π時，fx,π上為增函數(shù)，222∴fx在kππ上遞加，在kπ,kππ上遞減kZ，,kπ22∵fxfx，且fπxfπx，22∴fx在其定義域上為偶函數(shù)，聯(lián)合周期為π獲得圖象對于直線所以，可得以下表格：性質(zhì)原因定義域1sinx1值域y222cosx[2,4]奇偶性fxfx周期性fxπfx2cosx,x0,π單一性fx22xπxπ2sin,,22對稱性f（-x）=f（x），fπxfπx，22

kπ對稱，2結(jié)論得分定義域R值域2,2偶函數(shù)周期Tπ在kππ,kπ上遞加，2在kπ,kππ上遞減kZ2對于直線對稱kZ作圖熱門四三角恒等變換及應(yīng)用3ππcosα－10【例4】(1)(2015重·慶卷)若tanα＝2tan5，則π＝()sinα－5A．1B．2C．3D．4tanα3ππ3ππππ＋1πcosα－10＝sin2＋α－10＝sinα＋5＝sinαcos5＋cosαsin5tan5＝2＋1＝3．分析ππππ＝tanαsinα－sinα－sinα－π2－1555sinαcos－cosαsin5－15πtan5答案C．研究提升1．三角恒等變換的基本思路：找差別，化同角(名)，化簡求值．2．解決條件求值問題的三個關(guān)注點(1)剖析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來表示未知角．(2)正確地運用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示．(3)解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要依據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，而后聯(lián)合角的取值范圍，求出角的大?。居?xùn)練4】(1)(2018泰·安一中)平面直角坐標(biāo)系xOy中，點Px0,y0在單位圓O上，設(shè)xOP，π5π，且sinπ3，則x0的值為_________．若3,656(2)(2017石·家莊質(zhì)檢)若cos(2α－β)＝－11，sin(α－2β)＝43ππ147，0<β<<α<，則α＋β的值為________．42分析(1)∵點Px0,y0在單位圓O上，且xOP，∴cos＝0，sin＝0，又π5π，且sinπ3，則cosπ4，3,65656∴0＝cosα＝cos[（α）]＝cos（α）cossin（α）sinπ4331343．6525210故答案為343．10(2)因為cos(2α－β)＝－11π53．且4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝1414因為sin(α－2β)＝43且－ππ1．<α－2β<，所以cos(α－2β)＝7427所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－111＋5343114×14×7＝．72π3ππ因為<α＋β<，所以α＋β＝．443π答案(1)－；(2)．3限時訓(xùn)練（45分鐘）經(jīng)典慣例題1．(2018·全國I卷)已知函數(shù)fx2cos2xsin2x2，則（）A．fx的最小正周期為π，最大值為3B．fx的最小正周期為π，最大值為4C．fx的最小正周期為2π，最大值為3D．fx的最小正周期為2π，最大值為42．(2018·全國II卷)若fxcosxsinx在a,a是減函數(shù)，則a的最大值是（）A．πB．πC．3πD．π4243．(2018·全國III卷)函數(shù)fxtanx的最小正周期為（）1tan2xA．πB．πC．πD．2π424．(2018·全國III卷)函數(shù)fxcos3xπ在0,π的零點個數(shù)為________．65．(2018·全國II卷)已知，則__________．高頻易錯題1．(2018·余江一中)已知函數(shù)f(x)sin2x在xπ時有極大值，且fx為奇函數(shù)，則，的一組12可能值挨次為（）（A）π，π（B）π，π（C）π，π（D）π，π61261236362．(2018·湖師附中)若函數(shù)＝＋(，)的圖象的一條對稱軸方程是，函數(shù)的圖象的一個對稱中心是，，則的最小正周期是（）A．B．C．D．3．(2017·全國Ⅰ卷)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π，則下邊結(jié)論正確的選項是( )3A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向右平移π個單位長度，6獲得曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到本來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向左平移π個單位長度，12獲得曲線C2C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到本來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向右平移π個單位長度，獲得曲線26C2D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到本來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把獲得的曲線向左平移π個單位長度，212獲得曲線C24．(2017長·沙一中調(diào)研)已知f(x)＝asinx－bcosx，若fππ）－x＝f＋x，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為（44ππ2π3πA．4B．3C．3D．45．(2018濰·坊期中)已知，為第二象限的角，，，則的值為（）A．B．C．D．精確展望題1．(2018·春外國語長)定義隊列式運算，已知函數(shù)，知足：，，且的最小值為，則的值為（）A．B．C．D．2．(2018·濱州期末)已知函數(shù)，的圖象以下圖，為了獲得函數(shù)的圖象，只要把上全部的點（）A．向右平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向左平移個單位長度π1ππ＝________．3．(2017·池州模擬)已知sin－α＝30<α<2＋α3，則sin64．(2018煙·臺期中)已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為．（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程及單一遞加區(qū)間；（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將獲得的圖象上全部點的橫坐標(biāo)縮短到本來的（縱坐標(biāo)不變），獲得函數(shù)y=g（x）的圖象，當(dāng)x∈（，）時，求函數(shù)g（x）的值域．5．(2017·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinπ3cos2x＋3．－xsinx－22(1)求f(x)的最大值及獲得最大值時x的值；2(2)若方程f(x)＝3在(0，π)上的解為x1，x2，求cos(x1－x2)的值．參照答案經(jīng)典慣例題1．【解題思路】第一利用余弦的倍角公式，對函數(shù)分析式進行化簡，將分析式化簡為fx3cos2x5，22以后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)獲得有關(guān)的量，從而獲得正確選項．【答案】依據(jù)題意有fxcos2x11cos2x2352cos2x，22所以函數(shù)fx的最小正周期為T2ππ，且最大值為fx35，應(yīng)選B．max42222．【解題思路】先確立三角函數(shù)單一減區(qū)間，再依據(jù)會合包括關(guān)系確立a的最大值，【答案】因為fxcosxsinx2cosxπ，4所以由02kπxππ2kπ,kZ，得π2kπx3π2kπ,kZ，444所以，π，3π，π，3ππ，從而的最大值為π，應(yīng)選A．4點睛：函數(shù)，的性質(zhì)：(1)+，．(2)周期．(3)由ππ求對稱軸，(4)由ππππ求增區(qū)間；由ππ3ππ求減區(qū)間．3．【解題思路】將函數(shù)fxtanx進行化簡即可1tan2xtanxsinx1【答案】由已知得fxcosxsinxcosxtan2xsinx2sin2x，121cosxx的最小正周期T2ππ，應(yīng)選C．24．【解題思路】求出的范圍，再由函數(shù)值為零，獲得的取值可得零點個數(shù)．0xπππ19π，，或，【答案】3x，由題可知666解得，，或，故有3個零點．5．【解題思路】利用兩角差的正切公式睜開，解方程可得．【答案】，解方程得．高頻易錯題1．【解題思路】由極值點的導(dǎo)數(shù)為0確立，由奇函數(shù)確立．【答案】f(x)2cos2x，因為當(dāng)xπ時有極大值，所以2cos2π=0，1212解得πkππ，kZ，當(dāng)k0時，π；263因為fxsin2xπsin2x2π為奇函數(shù)，所以2πkπ，kZ，333當(dāng)k0時，π，應(yīng)選D．62．【解題思路】依據(jù)題意獲得，得，得出，即可求解函數(shù)的最小正周期，獲得答案．【答案】由題設(shè)，有，即，得，又，所以，從而，所以，，即，，又由，所以，于是，故的最小正周期是．應(yīng)選B．3．【解題思路】先把y＝cosx用引誘公式化為正弦形式，再依據(jù)平移伸縮原則確立答案．【答案】易知C1：y＝cosx＝sinx＋π，把曲線C1上的各點的橫坐標(biāo)縮短到本來的1倍，縱坐標(biāo)不變，獲得函22數(shù)y＝sin2x＋π的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移π個單位長度，可得函數(shù)y＝sin2x＋π＋π＝122122sin2x＋2π的圖象，即曲線C2，所以D項正確．應(yīng)選D．34．【解題思路】由fπππa，b的關(guān)系．－x＝f＋x，可得x＝是其對稱軸，再依據(jù)特別值確立444【答案】在fπ＝fπππ，即－b＝a，－x＋x中，令x＝，得f(0)＝f4442∴直線ax－by＋c＝0的斜率k＝a＝－1，所以直線的傾斜角為3b4π．應(yīng)選D．5．【解題思路】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinπ和cosπ的值，再利用兩角和的正弦公44式求得sinsinππ的值．44【答案】∵α，β為第二象限的角，cos（）=，sin（β+）=，∴sin（）==，cos（β+）=﹣=﹣，則sinsinππsinπcosπcosπcosπ41235444444513513，應(yīng)選B．精確展望題1．【解題思路】先求出函數(shù)的分析式，而后由的最小值為能夠求出周期，從而求出．【答案】由題意得，（），，因為的最小值為，所以，則由得．2．【解題思路】由函數(shù)的最值求出，由周祈求出，由五點法