空間中的平行與垂直-2018年高考數(shù)學（理）之高頻+含解析

解密15空間中的平行與垂直

解雷高考

高考考點命題分析三年高考探源考查頻率

空間點、線、面

位置關(guān)系的基本2016課標全國n14★★★

問題

空間點、線、面位置關(guān)系既

是高考的必考點，也是考查的難

2017課標全國I18

平行與垂直關(guān)系點，其在高考中的命題形式較為

2016課標全國HI19★★★★★

的證明穩(wěn)定，以解答題的形式重點考查

2015課標全國I18

空間平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證

明

平面圖形的翻折

2016課標全國H19★★★

與存在性問題

對點解審

考點1空間點、線、面位置關(guān)系的基本問題

題組一位置關(guān)系的判斷

調(diào)研1設(shè)必，〃是兩條不同的直線，。，￡是兩個不同的平面,給出下列四個命題:

①若m//n,ml.￡,則nL￡;②若卬〃a,mH￡,則?！ㄊ?/p>

③若m//n,m//2，則n//B;④若mA.a,z?7±月則a_L萬.

其中真命題的個數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【解析】根據(jù)空間平行與垂直的判定和性質(zhì)定理逐個對命題進行判斷.①顯然正確；

對于②，由加〃。，m//月,不一定得到?！ㄈf，。和￡的關(guān)系不確定；

對于③，〃可能在平面B內(nèi)，所以③不正確；

對于④，由可知。，所以④不正確.

故選A.

二「。谷一冬。.?運.。*.???'.*冬?尸率?。充.：：S

☆技巧點撥☆

空間中點、線、面的位置關(guān)系的判定方法：

(1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學會找特例、反例.

(2)可以借助長方體，在理解空間點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義.

運Y*S」冬。??運?。零運??。冬。」*。??運?。冬.：：蠹?篇

題組二位置關(guān)系的判斷與其他知識相結(jié)合

調(diào)研2已知，為平面a內(nèi)的一條直線，a,￡表示兩個不同的平面，則“a_L￡”是“AL￡”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】若/為平面a內(nèi)的一條直線且則反過來則不一定成立，所以”是“/

_L￡”的必要不充分條件，故選B.

考點2平行與垂直關(guān)系的證明

題組一平行的判定及性質(zhì)

調(diào)研1如圖,三棱柱ABC-AxBxQ中,平面ABC,BCVAB,AM,N分別是線段4G,46的中點.設(shè)平面MNB\

與平面BCCB的交線為1,求證:，郎〃1.

4M

【解析】可先證明/V〃平面BCC鳳然后利用線面平行的性質(zhì)定理即可得證.

方法一：如圖,連接C\B,在中，點M/V分別為4G,48的中點，所以MN//QB.

又就W平面BCCB,G6U平面BCCG,

所以助V〃平面BCCB”

又助VU平面MNB\,平面助陶CI平面BCC\B\-所以MN//1.

方法二：取力歸的中點R連接"帖如圖所示.

在△4片。|中，點M,一分別為4G,4A的中點,所以MP//CB.

又』的平面BCCB,。合仁平面BCCB,所以切〃平面BCC瓜.

同理可證AP〃平面h石瓦

因為MPCN片P,，次U平面MNP,/忸U平面MNP,所以平面助儼〃平面BCGBx.

因為助忙平面MNP,所以1邠〃平面BCCB.

又MNU平面MNB,,平面助陶。平面BCC\B\=1,所以MN//1.

調(diào)研2如圖，四棱錐P-4BCD中，PA1平面4BCZMZV/BC/B=AD=AC=3,PA=BC4,M為線段4。上一

點,4M=2MD,N為PC的中點.

p,

(1)證明：MN〃平面PAB;

(2)求四面體N-BCM的體積.

2,,1

AM=-AD=2TN//BC.TN=-BC=2

【解析】(1)由已知得3，取8P的中點T,連接4T,TN,由N為PC中點知2，即

TN=AM,

又AD]IBC,即7N〃/1M,故四邊形4MNT為平行四邊形,于是MN〃4T,

因為“u平面P4B,MNC平面P4B,所以MN〃平面P4B.

1

-PA

⑵因為玄，平面4BCD,N為PC的中點,所以N到平面4BCD的距離為2'

取BC的中點E,連接4E,

由4B=AC=3得4E1BC,AE=‘AB?_BE?=4,

由4M〃BC得M到BC的距離為代

,,S&BCM=—x4x^5=2V5

故2

JPA=4亞

所以四面體N-BCM的體積為N-BCM_gX△BCMX2-3.

題組二垂直的判定及性質(zhì)

調(diào)研3如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為正方形，平面ABE1底面

BCDE,AB=AE=BE,點M,N分別是AE,AO的中點.

(1)求證：MN〃平面ABC；

(2)求證：平面AOE；

(3)在棱。E上求作一點P,使得CPLAZ),并說明理由.

【解析】(1)因為點M，N分別是AE,的中點，所以MN〃DE.

因為四邊形成班'為正方形，所以8C〃OE.

所以MN〃3c.

因為MN<Z平面ABC,BCu平面ABC,所以MN〃平面43c.

(2)因為平面ABE_L底面8COE,DEd.BE,所以。E_L平面ABE.

因為BMu平面ABE,所以。ELBM.

因為==點M是AE的中點，所以

因為OEnAE=E,OEu平面AOE,AEu平面AOE,

所以8MJL平面ADE.

(3)取BE中點F，連接AF,DF,過C點作CP，。尸，交DE于點P.則點P即為所求作的點.

理由：因為AB=AE=BE,點尸是BE的中點，所以4F_L8￡

因為平面A8EJL底面5COE,所以AFJ?平面8CDE,

所以AF,CP.

因為CPLOF,AFHDF=F,所以。尸_1_平面4。尸.

因為AOu平面A。/，所以CPJ.AD

SS?**?二想。.?篇。??運*.??運??:颼?%運。.?■?！??-0<.,!?篇

☆技巧點撥☆

空間平行與垂直關(guān)系的證明主要是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，如下圖：

線面平行(垂直)

判7^質(zhì)^性\、《定

線線平行(垂直)之面面平行(垂直)

性質(zhì)

在解決平行(垂直)關(guān)系的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化；而應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序則

正好相反.在實際應(yīng)用中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運用.

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題組三線面角與二面角

調(diào)研4如圖所示,在四棱錐4-BCDE中，平面BCDE，平面4BC,8ES.EC.BC=6,AB=4#4ABe=30°.

⑴求證:4C1BE;

(2)若二面角B-AC-E為45。,求直線4B與平面4CE所成的角的正弦值.

八"_AB2+8C2-AC2

cos^ABC=---------------------=—

【解析】⑴在△AC8中，應(yīng)用余弦定理得2ABBC2，解得4。=28.

所以+Be?=AB2,所以4c±BC.

因為平面BCDE1平面4EC,平面ECDEn平面4BC=BC.BC±AC,所以4ci平面BCDE.

又因為BEu平面BCDE,所以4C1BE.

(2)因為4c_L平面BCDE,CEu平面BCDE,所以AC1CE.

又BC1AC,平面4CEn平面4EC=AC,

所以4BCE是平面E4C與平面B4C所成的二面角的平面角，即用〃=45°.

因為BEJ.EC,AC±BE,ECn=C,所以BEJ.平面力CE.

所以4B4E是直線4E與平面力CE所成的角.

因為在RtABCE中，BE=BCsin45°=3或，

./RALBE_屈V6

sinN8AE=----=——

所以在RtZXBAE中，AB4.即直線4B與平面4CE所成的角的正弦值為4.

調(diào)研5已知三棱柱4BC-AB1G中，NBC4=90°,AC=BC=2,占在底面加C上的射影恰為4c的中點D,

%LAC1

⑴求證:“i，平面&BC；

(2)求二面角A-aB-C的余弦值.

【解析】(1)由題意知為。,平面力BC,且4/=

又占Du平面41cle4,.?.平面4G。，平面4BC.

又???BC1AC,BC±平面年1叫

又ACyc平面/4[C]C4,???BC1AC]

又???84LACXt且B&B4為平面&BC內(nèi)的兩條相交直線,

???4G，平面4避。

⑵設(shè)4cl與41c的交點為。,則由⑴有4?！榔矫?BC

過點4作4E>出于已連接0E,則。EJ.aB.

故"E。為所求二面角的平面角.

???40J,平面418G???401年

由。為41c中點，得44=4C=2,則4。=也.

又在△48C中，得加=三

在△AOE中，乙=90。/。=居E0=得COSZ4E。=1

立

即二面角4-AiB-'的余弦值為7.

怎?二運.?■°.*S.o培.?發(fā)「.*0―境?％冬。.?*。??電J。章.??**.<

☆技巧點撥☆

記住以下幾個常用結(jié)論：

(1)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.

(2)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(3)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

(4)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

(5)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(6)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

(7)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

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考點3平面圖形的翻折與存在性問題

題組一翻折問題

調(diào)研1如圖，已知矩形4BCD中,AB=10,fiC=6,將矩形沿對角線BD把△ABO折起,使“移動到點心且公

在平面BCD上的射影。恰好在CD上.

⑴求證:BC14/；

(2)求證:平面4BC，平面&BD；

(3)求三棱錐BCD的體積.

【解析】(1)因為4在平面8C。上的射影。恰好在CD上，所以40,平面BCD,

又BCu平面BCD,所以BC■L4。，

又BC，DC,所以BC_L平面&CC,

又々Du平面4[CD,所以BCLAXD

⑵因為力BCD是矩形,所以4W-L公紇

由⑴知1CBC=B,

所以4W平面&BC,

又4i"u平面&BD,所以平面&BC1平面4聲。

⑶因為1平面&BC,所以4山

因為&C=6,CA10,所以41c=8,

所以乙「皿乙一4平小(36'8)義6=48.

這?產(chǎn)篇?二運。.?C°??運J。培.：：莪「魂運??:腱.?。運?富"?運J。母：：：。

☆技巧點撥☆

折疊與展開，這兩種方式的轉(zhuǎn)變是空間幾何與平面幾何問題轉(zhuǎn)化的集中體現(xiàn)，求解翻折問題的關(guān)鍵是把握

翻折前后的變量和不變量.

運"產(chǎn)篇運.?<0<.?簿:鬻S?尸#運。.?富。??運?，瑞.：：?-*.<

題組二探索性問題

調(diào)研2如圖，平行四邊形4BCD中，4C1BCMC=BC=1,現(xiàn)將△AOC沿4c折起，得到三棱錐。-4BC,且

D4J.BC,點E為側(cè)棱DC的中點.

(1)求證:4E1平面DBC;

(2)求三棱錐。-4EB的體積；

(3)在乙1CB的角平分線上是否存在一點F,使得〃平面4BE?若存在，求DF的長;若不存在,請說明理由.

【解析】⑴在平行四邊形4BCD中，有4D=BC=AC,

又因為E為側(cè)棱DC的中點,所以4E1CD,

又因為4c1BC/。1BC,且4cr>4。=4,所以BC_L平面4CD,

又因為4Eu平面4CD,所以4E1BC,

因為BCCCD=C,所以4E1平面BCD.

(2)因為%-AEB=VB-AED-BC■>■平面4CQ所以BC是三棱錐B-4ED的高，

11

故小春”XBC岳.

(3)取AB中點。,連接C。并延長至點F,使CO=OF,連接4F,DF,BF,OE,

因為BC=AC,所以射線C。是角乙4cB的角平分線，

又因為點E是CD的中點,所以。E〃DF,

因為。Eu平面4BE,。尸C平面4BE,所以D尸〃平面48E,

因為48、FC互相平分,所以四邊形4CBF為平行四邊形,則BC〃4F,

又因為1BC,所以4尸J.4D/F=4D=1,則DF=&.

運?.：*.tsr.**。??運?。霜運?尸*:wJ??運?。亳.：：蠹?*.*

☆技巧點撥☆

（1）推理型探索性問題

推理型探索性問題，以探究空間中直線、平面的平行與垂直關(guān)系為主，解決此類問題主要采用直接法，即

利用空間平行與垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)定理進行邏輯推理，將其轉(zhuǎn)化為平面圖形中的線線關(guān)系進行探究，

邏輯推理的思維量較大.

（2）計算型探索性問題

計算型探索性問題，主要是對幾何體的表面積、體積或距離等問題進行有關(guān)探究.解決此類問題主要采用

直接法，即利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征，巧設(shè)未知量，將所探究的問題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于所設(shè)未知量的函數(shù)或方

程，依據(jù)目標函數(shù)的性質(zhì)或方程解的存在性求解.

運?.!!<?。運.?<0.?運.<：<.?S-*.<運??:嗨??。運°一篇".二「。母；：：慧?*.<

強化集皿

1.（2017-2018學年貴州省遵義市航天高級中學高三上學期模擬考試）設(shè)1即簿表示三條直線，a￡y表示三個

平面,則下列命題中不成立的是

A.若？nua,n^a,m//n,貝!|n〃a

B.若aJLy,a〃/?，則夕j.y

C.若mu/?,n是，在夕內(nèi)的射影,m11,則mJ.n

D.若al/?,a=m11m,則/_L￡

【答案】D

【解析】對于A,由線面平行的判定定理可知，若mca.na,mH飛則a,正確;

對于B,互相平行的平面，一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于第三個平面，故正確；

對于C,由三垂線定理可知，若mJ.2,則??11n,正確；

對于D,由兩個平面垂直的性質(zhì)定理可知，要使l_L尸，則需要添加條件南如ua,故D錯誤.

2.（2017-2018學年南寧市高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考）在如圖所示的正方體中方、F分別是

棱為反4。的中點，則異面直線BF與所成角的余弦值為

714

710

【答案】D

【解析】取能的中點G,連接BG,FG,易知四邊形啊C是平行四邊形,則BGUED^/FBG（或其補角）

等于異面直線BF與D/所成的角,令正方體488-4向。必的棱長為2）則B戶&FG=/,BG=3,從而cos

5+9-2=2石2/

2x3x755.則異面直線BF與所成角的余弦值為飛二

3.（云南省昆明市第一中學2018屆高三第五次月考）已知a,4表示兩個不同的平面，/表示一條直線，

且則/JL/是/〃a的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】由題意，a'B,11/3,則/〃a或/ua,所以充分條件不成立；又當a,力，/〃a時，

不能得到/所以必要條件不成立，故選D.

4.（2018屆四川省瀘縣第二中學高三上學期期末考試）在直三棱柱ABC-A^G中,4?=1"C=2,戊7=退〃E

分別是4G和國的中點,則直線必■與平面跖GC所成的角為

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【答案】A

【解析】取4c的中點尸，連接D即尸，

因為DZ分另提ACi和那1的中點”所以DF=5E,且DF*甌所以四邊形庾班是平行四邊形，所以的腳,

過點尸作加垂直于5C,交6c于點G,由題意得/FBG（或其補角）等于直線DE與平面氏S1QC所

成的角，

因為AB=lrAC=2^BC=，所以乙LBC=90°：ZBCA=30°,。尸=的=廢=1,所以48030°即直線DE

V3

與平面651cle所成的角為30。.故選A.

5.（陜西省渭南市2018屆高三教學質(zhì)量檢測（I））二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,8。分別在這

個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知AB=2,AC=3,BD=4,CD=y/n,則該

二面角的大小為

A.45°B.60°

C.120°D.150°

【答案】B

【解析】如圖，由已知可得益?衣=QN瓦麗=0,CD=CA+AB+BD,

二甌甲+而+甌］函+2CA-AB+2CA-BD+21B-BD=32+21+41+

2=2=2+^4JB

2x3x4cos件質(zhì)）=17,「.8S仔項人二，即（麗麗卜1200,.”.二面角的大小為60。，

2

故選B.

6.（福建省閩侯第四中學2018屆高三上學期期末考試）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCO為正方

形，E,E分別為PA,P。的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論:

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；

③直線所〃平面PBC；④平面5CEJ?平面PAO.

其中正確的有

A.1個

C.3個

【答案】B

【解析】將幾何體展開圖還原為幾何體，如圖所示:

①項，???￡F分別為P4PO的中點，.?.EE〃AO〃BC,即直線BE與CR共面，故錯誤；

②項，?.?3區(qū)平面尸4。，Ee平面PAO,E任AF,，與AF是異面直線，故正確；

③項，尸〃AO〃8C,EFZ平面PBC,8。＜=平面尸8。，，石尸〃平面尸3。，故正確；

④項，平面尸4。與平面5CE不一定垂直，故錯誤.

綜上所述，正確的有2個.故選B.

7.（山東省濟南市長清第一中學大學科技園校區(qū)2017-2018學年高三質(zhì)量檢測）如圖所示，在正方體

ABC?！狝耳G"中，M,N分別是棱A&和AB上的點，若/用MN是直角，則/6也等于

【答案】90°

【解析】因為正方體疑CD-44GD1中，N分別是棱山1和四上的點，/B1胸是直角，所以

MW1M81,因為51cli平面加44,所以WlBCi,又BiCGMB尸Bi,所以MN1平面MBiQ,所

以NCiMA9O°.故填90°.

8.（北京市海淀區(qū)2018屆高三第一學期期末）已知正方體ABCD-A^QD,的棱長為4正，點M是棱BC

的中點，點P在底面43co內(nèi)，點。在線段AC上，若PM=1，則P。的最小值為.

【答案】V33

【解析】過點。作QWJ?平面4BCD,垂足為N,

則點N在線段4C上，連接尸0尸改，

在中，尸Q=肥儲+?=+92,

在平面.?CD內(nèi)過點4/作板_1/。，垂足為E,則泡后=2,即M到直線NC的最短距離為2,

又產(chǎn)M=l,當PeME時，此時尸.叫出=ME-1=1,

所以PQ*=44可7=屈.

9.（2017-2018學年河北省定州中學高三上學期期中考試）如圖，在正方形仍切中，￡、尸分別是BC、CD的中

點，G是"的中點.現(xiàn)在沿力E、4F及"把這個正方形折成一個空間圖形，使員C、。三點重合，重合后的

點記為從下列說法錯誤的是（將符合題意的選項序號填到橫線上）.

①AG_LaEF”所在平面;②AH，/\EFH所在平面;

③“尸_LZ\AEF所在平面；④所在平面.

【答案】①③④

【解析】①根據(jù)條件4H_LHE,4HJ.HF,所以4,_L平面EFH,故4G不可能垂直于平面EFH,所以錯誤;②正

確;③若HF1平面4EF,則HFJ.",顯然一個三角形中不能有兩個直角，錯誤;④若HG1平面4EF,則

XAHG中有兩個直角，錯誤,故填①③④.

10.（河北衡水金卷2018屆高三高考模擬）如圖，在直角梯形ABCO中，AB1BC,AD//BC,

==1,點E是線段CQ上異于點C,。的動點，EF_L49于點F,將aOE尸沿

2

EF折起到APEb的位置，并使PFJ.AF,則五棱錐P-ABCEF的體積的取值范圍為.

【答案】I0,1

【解析】PF±EF.PF±AF,EFC\AF=F,PF，平面ABCEF,]^DF=x(Q<x<l),則

即=用翅=2-%二5~=5皿-5皿=；0+28一/=以3-，)，

則五棱錐尸一N5c時的體積修㈤=1x：(3—巧)=：國一力，則廣(x)=；(l—巧，當

0<x<l時，廣(x)>O,P(x)單調(diào)遞增，故/(0)<「0)<夕(1),即P(x)的取值范圍是(0,；),故

答案為(0,)

11.(江蘇省淮安市等四市2018屆高三上學期第一次模擬)如圖，在直三棱柱ABC-44G中，

ZABC=90",AB=AA],M,N分別是AC,B^G的中點.

求證：(1)MN〃平面A8B14；

(2)ANlA^B.

【解析】(1)如圖，取AB的中點P,連接PM,尸

因為分別是AC,AB的中點，所以PM〃&?，且PM=』BC

2

在直三棱柱ABC—4與G中，BC〃B\C\,BC=BC，

又因為N是4G的中點，所以PM〃B、N,且PM=B]N,所以四邊形PMNg是平行四邊形,

所以MN〃PB1,

而MN(Z平面,Pqu平面ABB0,所以MN〃平面4880.

&

(2)因為三棱柱dSC-4用G為直三棱柱，所以2與，平面4用G，

又因為u平面ABB14,所以平面344，平面44G，

又因為NUC=90。，所以用G，&4，

因為平面.狂叫4n平面4&G=44,用Gu平面44G,所以2GJL平面ABBXAX,

又因為4Bu平面ABBMi,所以A媯1A.B,

如圖，連接加1,因為在平行四邊形闞4中,AB=AAX,所以ABJ鄧,

又因為八％。皿］=用，且期i，A媯?cè)势矫媪?”,所以4B_L平面陽N,

而3u平面所以

12.(2017-2018學年西藏拉薩市高三第一次模擬考試)如圖，四棱錐P-力BC。的底面為等腰梯形,4D〃BC且

BC=2AD=4,點E為PC中點.

⑴證明:DE〃平面P4B；

3

(2)若P4_L平面4BCD,乙1BC=60°,直線PB與平面4BCD所成角的正切值為5,求四棱錐P-4BCD的體積

V.

【解析】（1）取BC中點F,連接DF、EF.

由于EF為△PBC的中位線，所以￡F〃PB,

又EF坪面P4B,PBu平面P月H,所以EF//平面PRB.

由于AD//BC且BC=2AD^\AD//BF,AD=BF,

所以四邊形幺BFD為平行四邊形，所以DF//AR,

因為DF史平面P4BM8懺面PRB,所以DF//平面P4B.

因為EF//平面P48,DF//平面尸nDF=F,EF,DFu平面DEF,

所以平面DEF//平面PAB.

又DEu平面DEF,所以DE〃平面PRB.

(2)作/1G±BC于點G,則BG=1.

在/\ABG中，LABG=6Q°tBG=1,貝IJ4G=邪AB=2.

3

一—，一，，tanz.PBA=—

由P41平面4BCD知,直線P8與平面4BCD所成的角為4PB4,故2,

PA_3

即在△PAB中，有AB-5,貝IJP4=3.

所以，四棱錐P-48C。的體積丫一寫“”以他。

13.（河北省衡水中學2018屆高三上學期九模）如圖，在長方體ABC?！狝4GA中，AB=1,AD^2,E,F

分別為A。,A4,的中點，。是5c上一個動點，且8Q=/lQC（/l>0）.

(1)當4=1時，求證：平面臺四〃平面AOQ；

(2)是否存在4,使得BOJLRQ?若存在，請求出力的值；若不存在，請說明理由.

【解析】(D當4=1時，。為3c中點，

因為E是M的中點，所以ED=BQ,EDllBQ,

則四邊形3匹。是平行四邊形，所以BERQD.

又BEU平面4DQDQU平面\DQ,所以3E/平面A.DQ.

因為E,尸分別是AD.4a中點，所以EFil,

因為即《平面AD0ADu平面&DQ,所以EFH平面\DQ.

因為BEC\EF=E,EFu平面BEFJ3Eu平面BEF,所以平面BEFII平面AiDQ.

(2)如圖，連接4。石D與尸Q,

因為±平面ABCD.BDu平面ABCD,所以AiA±BD.

若ADJ.FQ,又44F0U平面4幺。，且4幺。為9=尸，所以AD_L平面440一

因為KQu平面A.AQ,所以_1即.

在矩形.四CD中，由.40_L即，得AAQB^/\DBA,

所以482=.仞力0

13

又?裕=L/D=2,所以為3=不,。。=不,

則器4即叫,

14.(2018屆天津市耀華中學高三上學期第一次月考)如圖，在直三棱柱ABC

中，=90°,4C=4B=44[,E是gc的中點,G是的中點.

(1)求異面直線4E與41c所成的角;

(2)求證：EG14C；

(3)求二面角C-AG-E的正切值.

【解析】(1)取Big的中點馬,連接久治,當。

則月E〃&用，所以Z￡]4C(或其補角)等于異面直線月E與4C所成的角.

設(shè)月。=AB=AAt=2%則人=42a,AXC=2?

+、另a-

E1c

54r_2『+8/-6/_1

在△4EC中,8叱鳥4C一?x區(qū)乂A一3

所以異面直線AE與“C所成的角為三

a

⑵由⑴可知1cM

又因為三棱柱ABC-481cl是直三棱柱,所以兒E，，平面BCC，取得“E]_LEG,

又由△&Cg與△GEC相似相月#,1E1C,

又由4E1nCEi=EQ所以EG1平面4E】C,貝JEGJ.AtC

（3）設(shè)尸是幺C的中點，過點尸作PQ1月G于Q,連接EEEQWJEPLAC.

又由平面4BC評面月”遇弱得EPJ.平面力CCH，則/尸2石（或其補角）是二面角CTG一E的平面

角.

pg

\anZPQE=—=y/5

^EP=a,AP=a,PQ=春得產(chǎn)。

所以二面角C-AG-E的正切值是花.

15.（2017-2018學年江西省南昌市第二中學高三上學期第四次考試）如圖，在矩形力BCD中，AD=2,AB=4,瓦產(chǎn)

分別為4B/D的中點，現(xiàn)將A4DE沿DE折起,得四棱錐力-BCDE.

⑴求證:㈤/平面4BC；

（2）若平面4DE1.平面BCDE,求四面體凡4CE的體積.

【解析】（1）取線段4c的中點M,連接MF,M8,

_1

因為F為4。的中點,所以MF||CD,且M"

在折盤前,四邊形4BCD為矩形,E為AB的中點，所以BEIICD,且BE=2CD.

MFII8瓦且MF=BE,所以四邊形8EFM為平行四邊形，故EFIIBM,

又EF史平面RBC,BM面幺BC,所以EFII平面月BC

（2）在折嶷前，四邊形月BCD為矩形,4D=2,AB=4,E為AB的中點，

所以瓦都是等腰直角三角形且再D=AE=EB=BC=2,

所以zDEA=ACEB=45。,且DE=EC=2>/2.

又WEA+5EC+/CEB=180°,???LDEC=90°,

又平面月DE評面BCDE,平面ADEfl平面BCDE=D瓦CEu平面BCDE,所以CE評面AD瓦即CE為三棱

錐C—AEF的局一

因為F為AD的中點，所以另2辦=；X；X』DYE=：X2X2=1,

所以四面體F"E的體積U=；x品皿?CE=；X1X2在=號

16.（貴州省貴陽市第一中學2018屆高三12月月考）如圖，A41,8片為圓柱001的母線，BC是底面圓。

的直徑，。是A4的中點.

（1）問：上是否存在點E,使得。E〃平面ABC?請說明理由；

（2）在（1）的條件下，若。E_L平面esq,假設(shè)這個圓柱是一個大容器，有條體積可以忽略不計的

小魚能在容器的任意地方游弋，如果小魚游到四棱錐C-A64A外會有被捕的危險，求小魚被捕的概

【解析】（D存在，E是儂的中點.

證明：如圖，連接E。，。力，

???后，。分別為4。，比的中點，「.EO"》兄

又”4〃藥，且抑=E。=.?.四邊形AOED是平行四邊形，

即DE//04,DE（Z平面HBC,為。匚平面45。，:.DE”平面的7.

（2）易知魚被捕的概率為尸=是節(jié)&吆，

由DE_L平面。明，且由（1）知DE//CL4,二月。，平面CB4,.?.RO_LBC,

又。是EC中點，.?/（7=?,

由B。是底面圓。的直徑，得8,壁，又明，辦，

.?.S_L平面網(wǎng)即8為四棱錐。-力理4的高.

設(shè)圓柱的高為力，底面半徑為『，則％住=叱2力，應(yīng),）（岳）=9^2

.-.P=l-—.

3ic

真題再珈

1.（2016新課標全國II理科）。，￡是兩個平面，例〃是兩條直線，有下列四個命題：

①如果/〃！_〃，九L*〃〃￡,那么a_L￡.

②如果勿_L。，n//a,那么必_L〃.

③如果a//z?Ca,那么卬〃￡.

④如果小〃〃，a//p,那么如與。所成的角和〃與￡所成的角相等.

其中正確的命題