上海市閔行區(qū)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-數(shù)列部分

上海市閔行區(qū)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——數(shù)列部分學(xué)科網(wǎng)(ZXXK.COM)-精品系列資料上學(xué)科網(wǎng)，下精品資料！學(xué)科網(wǎng)-精品系列資料版權(quán)所有@學(xué)科網(wǎng)上海市閔行區(qū)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——數(shù)列部分一.本周教學(xué)內(nèi)容：●數(shù)列部分復(fù)習(xí)專題（二）二.教學(xué)目的：1.數(shù)列部分方法與技巧解析2.數(shù)列部分易錯(cuò)題剖析三.知識(shí)分析（一）方法技巧方法一：通項(xiàng)常見的求法。1.觀察法例1.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1），…；（2），…；（3），…；（4）7，77，777，7777，…；（5）1，3，6，10，15，…；（6）a，b，a，b，…。解析：（1）這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，分子為偶數(shù)列，而分母為，…，是兩個(gè)連續(xù)∴此題亦可這樣考慮：……，以上個(gè)式子左邊相加為又∴（6）這是擺動(dòng)數(shù)列。要尋找擺動(dòng)平衡位置與擺動(dòng)的振幅。平衡位置：，振幅：，用去調(diào)節(jié)，則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以用分段函數(shù)形式來表示2.累差法例2.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)依次是：6，9，14，21，30，…，求其通項(xiàng)公式。解析：設(shè)，則有……，以上各式相加得：又∴3.待定系數(shù)法例3.已知{an}為等差數(shù)列，，求an。解析：∵{an}為等差數(shù)列，故可設(shè)又∴解得∴4.公式法例4.如果數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由（2）當(dāng)時(shí)，∴數(shù)列當(dāng)時(shí)，是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列∴而當(dāng)n=1時(shí)，顯然也成立故5.疊代法例5.已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：∵∴…∵a1=1∴方法二：解遞推關(guān)系式常見方法1.公式法：利用熟知的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法。常用的公式有，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.歸納法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納法猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。這種方法叫做歸納法。3.累加法：利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（其中數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和）。4.累乘法：利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。累乘法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（數(shù)列g(shù){n}可求前n項(xiàng)積）。例1.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有的自然數(shù)n，an與1的等差中項(xiàng)等于Sn與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：解法一：（公式法）依題意，有∴∴即∵∴又a1=1故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴解法二：（公式法）∵∴當(dāng)時(shí)，即∵∴∴從而解法三：（歸納法）由已知可求得猜測(cè)證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，∴n=1時(shí)，猜想成立（2）假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則時(shí)∵∴∴∵∴∴∴即n=k+1時(shí)，猜想也成立。綜合以上可知，對(duì)任意有例2.已知數(shù)列中，，求an。解析：（累加法）∵∴∴例3.已知數(shù)列中，，其中，求an。解析：（累乘法）由已知5.轉(zhuǎn)化法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（等比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：（1）湊配、消項(xiàng)變換——如將一階線性遞推公式（q、d為常數(shù)，，）。通過湊配變成，或消常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為；（2）倒數(shù)變換——如將一階分式遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得；（3）對(duì)數(shù)變換——如將一階遞推公式取對(duì)數(shù)得（4）換元變換——如將一階遞推公式（q、d為非零常數(shù)，，）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。例4.已知數(shù)列中，a1=1，，求的通項(xiàng)公式。解析：解法一：（歸納法）∵∴a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，…，猜測(cè)an=2n－1（），再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。解法二：（轉(zhuǎn)化法）∵∴又a1+1=2故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列∴即解法三：（轉(zhuǎn)化法）∵ （1）∴ （2）得故是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，即再用累加法得解法四：（迭代法）例5.已知數(shù)列（）中，，求an。解析：（倒數(shù)變換），兩邊取倒數(shù)，得∴∴，首項(xiàng)例6.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：（對(duì)數(shù)變換）由題意∴∴∴是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為∴∴例7.已知，求an。解析：（疊加法）由已知得∴……，例8.已知，求。解析：∵∴成等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為∴即再用遞推的方法可得到方法三：數(shù)列求和常見的方法1.公式法例1.求和：（1）；（2）解析：（1）因?yàn)樗裕?）當(dāng)時(shí)，2.錯(cuò)位相減法例2.若公比為c的等比數(shù)列的首項(xiàng)且滿足。（1）求c的值；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)（2）由（1），需要分兩種情況討論當(dāng)c=1時(shí)，數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列即這時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，數(shù)列是一個(gè)公比為的等比數(shù)列即這時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和 （1）（1）式兩邊同乘，得： （2）（1）式減去（2）式，得3.裂項(xiàng)相消法求和例3.求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。解析：∵∴4.并項(xiàng)求和例4.求解析：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)5.倒序相加求和例5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在等差數(shù)列，使對(duì)一切自然數(shù)n均成立？解析：由公式依條件先求出an的通項(xiàng)，再由倒序相加法得出結(jié)論。n=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，因滿足時(shí)的式子∴假設(shè)存在等差數(shù)列滿足條件，設(shè)且仍成等差數(shù)列，則倒序，得相加得∴令bn=n，顯然n=0時(shí)，b0=0故存在等差數(shù)列滿足已知等式。方法四：等差數(shù)列的設(shè)項(xiàng)（1）對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為：…，，…，此時(shí)公差為d；（2）對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，通?？稍O(shè)為…，，…，此時(shí)公差為2d。例：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)與第四個(gè)數(shù)的和為16，第二個(gè)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù)。解析：設(shè)前三個(gè)數(shù)依次為，則第四個(gè)數(shù)為∴解之得或所以這四個(gè)數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1方法五：等比數(shù)列的設(shè)項(xiàng)（1）對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，通?？稍O(shè)為…，，…，此時(shí)公比仍為q；（2）對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，通?？稍O(shè)為…，，…，此時(shí)公比為。例：已知一個(gè)等比數(shù)列前四項(xiàng)之積為，第二、三項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比（其中）。解析：設(shè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)依次為則由已知得由（1）得，代入（2）并整理，得解之得，故原等比數(shù)列的公比為（二）錯(cuò)題透視易錯(cuò)題一：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解題思路：由且得n=6。由此可知，數(shù)列的前6項(xiàng)為負(fù)值，從第7項(xiàng)起以后的各項(xiàng)均為正值。當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列所以=對(duì)于任意自然數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。因此，。所以失分警示：1.誤認(rèn)為數(shù)列是以21為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，事實(shí)上，對(duì)于任意的正整數(shù)n，數(shù)列不構(gòu)成等差數(shù)列，它只能分段考慮后才能構(gòu)成等差數(shù)列。2.在的求和時(shí)，誤認(rèn)為數(shù)列是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，3是它的第7項(xiàng)，而不是第1項(xiàng)。易錯(cuò)題二：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解題思路：n=1時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為失分警示：由求時(shí)，必須考慮條件：，因?yàn)閚=1時(shí)，無意義。數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系是：此公式在數(shù)列中經(jīng)常用到，應(yīng)引起重視。易錯(cuò)題三：已知等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，若，求。解題思路：∵是等差數(shù)列∴也是等差數(shù)列。∴即∴失分警示：由是等差數(shù)列，得出也是等差數(shù)列是錯(cuò)誤的，實(shí)際上，若設(shè)公差為d，則∴∴∴成等差數(shù)列，且公差為16d。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即，…為等差數(shù)列，公差為。易錯(cuò)題四：等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，若，則等于______________。答案：解題思路：。錯(cuò)因分析：對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)模糊，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。如設(shè)是錯(cuò)誤的。易錯(cuò)題五：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為，若其前10項(xiàng)中最大的項(xiàng)為1024，求a的值。解題思路：的通項(xiàng)公式為。（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，所以前10項(xiàng)中第10項(xiàng)為最大，即，∴a=2。（2）當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，前10項(xiàng)中第一項(xiàng)為最大，即a=1024，矛盾，故此時(shí)無解。（3）當(dāng)a=1時(shí)，為常數(shù)數(shù)列，此時(shí)各項(xiàng)均為1，顯然與題設(shè)矛盾。綜上可知，a=2。失分警示：解此類問題易出現(xiàn)概念性的錯(cuò)誤。如僅憑則得出為遞增數(shù)列，從而得到，則會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)論。對(duì)含參問題一般需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。易錯(cuò)題六：已知等比數(shù)列中，，求。解題思路：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正好有，適合題意。當(dāng)時(shí)，依題意有，解之，得，綜上得或。失分警示：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中一定要考慮公式適用條件或，否則導(dǎo)致失誤。若q=1，則；若，則。易錯(cuò)題七：一個(gè)數(shù)列，當(dāng)n為