七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽講座第1講-走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界

第一講走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界從蠻荒時(shí)代的結(jié)繩計(jì)數(shù)到現(xiàn)代通訊和信息時(shí)代神奇的數(shù)學(xué)，人類(lèi)任何時(shí)候都受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)是人類(lèi)長(zhǎng)期以來(lái)研究數(shù)、量的關(guān)系和空間形式而形成的龐大科學(xué)體系.走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)嶄新的“代數(shù)”世界，不斷擴(kuò)充的數(shù)系、奇妙的字母表示數(shù)、威力巨大的方程、不等式模型、運(yùn)動(dòng)變化的函數(shù)觀念；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將一起走進(jìn)豐富的“圖形”世界，拼剪、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)，在操作與實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)這些圖形的奇妙的性質(zhì)，用它們?cè)O(shè)計(jì)精美的圖案；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，我們將暢游在無(wú)邊的“數(shù)據(jù)”世界，從圖表中獲取信息，并選擇合適的圖表來(lái)表達(dá)數(shù)據(jù)和信息；走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界，它將開(kāi)闊我們的視野，它提醒我們有無(wú)形的靈魂，它改變我們的思維方式，它滌盡我們的蒙昧與無(wú)知.諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、著名物理學(xué)家楊振寧說(shuō)：“我贊美數(shù)學(xué)的優(yōu)美和力量，它有戰(zhàn)術(shù)的機(jī)巧與靈活，又有戰(zhàn)略上的雄才遠(yuǎn)慮，而且，奇跡的奇跡，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本結(jié)構(gòu).”例題【例1】（1）我們平常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如2639=2X103+6X102+3X10+9,表示十進(jìn)制的數(shù)要用10個(gè)數(shù)的數(shù)碼（又叫數(shù)字）：0,1,2,3,……9,在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制，只要兩個(gè)數(shù)碼0和1,如二進(jìn)制中101=1X22+0X21+1等于十進(jìn)制的數(shù)5,那么二進(jìn)制中的1101等于十進(jìn)制的數(shù).（浙江省金華市中考題）（2）探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大.吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來(lái)，無(wú)獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類(lèi)似的“黑洞”.滿足某種條件的所有數(shù)，通過(guò)一種運(yùn)算，都能被它吸進(jìn)去，無(wú)一能逃脫它的魔掌，譬如：任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方.再相加。得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方、求和…….重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)T=，我們稱之為數(shù)字“黑洞”.（青島市中考題）思路點(diǎn)撥（1）從閱讀中可知，無(wú)論何種進(jìn)制的數(shù)都可表示與數(shù)位上的數(shù)字、進(jìn)制值有關(guān)聯(lián)的和的形式；（2）從一個(gè)具體的數(shù)操作，發(fā)豌規(guī)律.【例2】A、B、C、D、E、F六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí).統(tǒng)計(jì)出A、B、C、D、E五隊(duì)已分別比賽了5、4、3、2、l場(chǎng)球，則還沒(méi)有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是（ ）.A.C隊(duì)B.D隊(duì) C.L,隊(duì)D.F隊(duì) （第18屆江蘇競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥用算術(shù)或代數(shù)方法解，易陷入困境.用6個(gè)點(diǎn)表示A、B、C、D、E、F這6個(gè)足球隊(duì)，若兩隊(duì)已經(jīng)賽過(guò)一場(chǎng)，就在相應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線。這樣用圖來(lái)輔助解題，形象而直觀.【例3】校教具制造車(chē)間有等腰直角三角形、正方形、平行四邊形三種廢塑料板若干，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)利用其中7塊，恰好拼成了一個(gè)矩形（如圖①.后來(lái)，又用它們分別拼出了乂、Y、Z等字母模型（如圖②，圖③，圖④），如果每塊塑料板保持圖①的標(biāo)號(hào)不變，請(qǐng)你參與：（1）將圖②中每塊塑料板對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)填上去；（2）圖③中，只畫(huà)出了標(biāo)號(hào)7的塑料板位置，請(qǐng)你適當(dāng)畫(huà)線，找出其他6塊塑料板，并填上標(biāo)號(hào)，⑶在圖④中，請(qǐng)你適當(dāng)畫(huà)線，找出7塊塑料板，并填上標(biāo)號(hào).（2002年煙臺(tái)市中考題）思路點(diǎn)撥動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、操作.從對(duì)圖形分割人手.【例4】根據(jù)圖①和圖②回答問(wèn)題:鏈接數(shù)與形，以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常有助于問(wèn)題的解決.【例4】根據(jù)圖①和圖②回答問(wèn)題:圖①1997年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)液的分布情況圖②2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值的分布情況圖①1997年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)液的分布情況圖②2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值的分布情況理機(jī)電4球化.新材科」8.23L'7；\ 」生的及醫(yī)藥制前,一20.?0.光機(jī)電一ffft-I]94%（1）1997年與2000年相比，產(chǎn)值比重減少最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)？（2）假定2000年光機(jī)電一體化的產(chǎn)值是1997年的2倍，那么2000年高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值比1997年增長(zhǎng)率是多少？（3）2000年與1997年相比高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)值總額增加最多的是哪個(gè)產(chǎn)業(yè)？（2003年中央國(guó)家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)能力傾向試卷試題）思路點(diǎn)撥從給定的扇形統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息，須注意的是扇形統(tǒng)計(jì)圖表示的是某一部分占總體的百分比（或稱某一部分的比重），因此，需要引入字母表示某種產(chǎn)值的具體數(shù)額，【例5】一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999,求這個(gè)四位數(shù)，并說(shuō)明理由.（重慶市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥設(shè)所求的四位數(shù)為嬴d，由題意可得關(guān)于a、b、c、d的一個(gè)等式，運(yùn)用估算、討論、枚舉等方法，分別求出a、b、c、d的值.注：解與整數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，常常要用到“估算”這種重要方法.運(yùn)用估算是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合理運(yùn)用縮放、近似等方法簡(jiǎn)化計(jì)算的一種算法，運(yùn)用估算往往能使我們更迅速地接近正確目標(biāo).鏈接閱讀是人們吸取知識(shí)的主要手段和認(rèn)識(shí)世界的重要途徑.現(xiàn)代及未來(lái)社會(huì)要求人們具有的閱讀能力已不再只是語(yǔ)文閱讀能力，而是一種以語(yǔ)文閱讀能力為基礎(chǔ)，包括外語(yǔ)閱讀能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、科技閱讀能力在內(nèi)的綜合閱讀能力.讀數(shù)學(xué)書(shū)，要邊讀書(shū)邊思考.對(duì)于概念，要抓住關(guān)鍵詞句推敲，從概念間的相互聯(lián)系中去掌握概念;對(duì)于公式、法則、性質(zhì)等，要思考結(jié)論的準(zhǔn)確意思、公式成立的條件、適用的范圍；對(duì)于例題，要自己先動(dòng)手做一做，再與書(shū)上的解答對(duì)照，找出知識(shí)上的缺陷、錯(cuò)誤，并從中總結(jié)適用知識(shí)的規(guī)律.學(xué)力訓(xùn)練.觀察下列順序排列的等式：9X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41,（20039X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41,（2003年北京市中考題）.如圖，是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20（即n=20）時(shí)，需要的火柴棍總數(shù)為根.（即n=20）時(shí)，需要的火柴棍總數(shù)為根.（河北省中考題）（第3題）.世界杯中，中國(guó)男足與巴西、土耳其、哥斯達(dá)黎加隊(duì)同分在C組。賽前，50名球迷就C組哪支球隊(duì)將以小組第二名進(jìn)入十六強(qiáng)進(jìn)仃猜測(cè)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果則圖，認(rèn)為中國(guó)隊(duì)將以小組第二名的身份進(jìn)入十六強(qiáng)的人數(shù)占的百分比為.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）.自然數(shù)a、b、c、d、e都大于1,其乘積abcde=2000,則其和a+b+c+d+e的最大值為,

最小值為..若一個(gè)正整數(shù)〃被2,3,…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1,則〃的最小值是一,a的一般表達(dá)式為為..3個(gè)質(zhì)數(shù)p、q、r滿足p+q=r，且p<q，那么p等于（）.A.2B.3C7D.13.如果有2003名學(xué)生排成一列，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,名學(xué)生所報(bào)的數(shù)是（）.A. 1B.2C.3D.4.如圖，有兩張形狀、大小完全相同的直角三角形紙片（同一個(gè)直角三角形的兩條直角邊不相等），把兩個(gè)三角形相等的邊靠在一起（兩張紙片不重疊），可以拼出若干種圖形，其中，形狀不同的四邊形有（）.（第18后江蘇省競(jìng)賽題）4,3,2,…的規(guī)律報(bào)數(shù)，那么第2003（■第8題）9.下面四個(gè)圖形每個(gè)均由六個(gè)相同的小正方形組成，折疊后能?chē)烧襟w的患 ）.10.設(shè)“?”、“▲"、"曰"表示三種不同的物體，用天平比較它們質(zhì)量的大小，兩次情況如圖所示，那么?、▲、■這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應(yīng)為（）.A.?、?、AC.￡?、?B.?、￡?、口.▲、■、?（江西省中考題）11.用一個(gè)兩位數(shù)去除2003,余數(shù)是8,這樣的兩位數(shù)有（第18后江蘇省競(jìng)賽題）4,3,2,…的規(guī)律報(bào)數(shù)，那么第2003（■第8題）9.下面四個(gè)圖形每個(gè)均由六個(gè)相同的小正方形組成，折疊后能?chē)烧襟w的患 ）.10.設(shè)“?”、“▲"、"曰"表示三種不同的物體，用天平比較它們質(zhì)量的大小，兩次情況如圖所示，那么?、▲、■這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應(yīng)為（）.A.?、?、AC.￡?、?B.?、￡?、口.▲、■、?（江西省中考題）11.用一個(gè)兩位數(shù)去除2003,余數(shù)是8,這樣的兩位數(shù)有,個(gè)，其中最大的兩位數(shù)是12.如果a、b是任意2個(gè)不等于零的數(shù)，定義運(yùn)算※如下（其余符號(hào)意義如常）:a2aXb=，那么［1X(2X3)］一［(1派2)派3］的值是b1 ……人一，113如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形，接著把面積為2的矩形分成兩個(gè)面積為411的矩形，再把面積為二的矩形等分成兩個(gè)面積為三的矩形，如此進(jìn)行下去.試?yán)? 8用圖形揭示的規(guī)律計(jì)算：1+1+1+—+—+—+—+—248163264128256（南寧市中考題）14.觀察下圖，三棱柱有5個(gè)面6個(gè)頂點(diǎn)9條棱，四棱柱有6個(gè)面8個(gè)頂點(diǎn)12條棱，五棱柱有7個(gè)面10個(gè)頂點(diǎn)15條棱……由此可推測(cè)n棱柱有（n+2）個(gè)面?zhèn)€頂點(diǎn)條棱.第13?)3棱柱4棱柱35棱柱臺(tái)棱柱.某專(zhuān)賣(mài)店在統(tǒng)計(jì)2003年第一季度的銷(xiāo)售額時(shí)發(fā)現(xiàn)，二月份比一月份增加10%,三月份比二月份減少10%,那么三月份比一月份（）.A.增加10%B.減少10% C.不增不減 D.減少1% （河南省中考題）.三進(jìn)位制數(shù)201可用十進(jìn)位制數(shù)表示為2X32+0X31+1=2X9+0+1=19；二進(jìn)位制數(shù)1011可用十進(jìn)位制數(shù)表示為1X23+0X22+1X2+1=8+0+2+1=11.現(xiàn)有三進(jìn)位制數(shù)a=221,二進(jìn)位制數(shù)=10111,則a與b的大小關(guān)系為（）.A.a>b B.a=b C.a<bn不能確定 （重慶市競(jìng)賽題）.某學(xué)生騎白行車(chē)上學(xué)，開(kāi)始以某一速度勻速行進(jìn)，中途由于自行車(chē)發(fā)生故障，停下修車(chē)耽誤了幾分鐘.為了按時(shí)到校，他加快了速度，但仍然保持勻速行進(jìn)，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到校.他騎自行車(chē)行進(jìn)的路程s與行進(jìn)的時(shí)間t的關(guān)系有如下四種示意圖，其中正確的是（）.20.根據(jù)圖a和圖b20.根據(jù)圖a和圖b回答問(wèn)題:千億元」.把14個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體，在地面上堆疊成如圖所示的立體，然后將露出的表面部分染成紅色，那么紅色部分的面積為（）.A. 21B. 24 C. 33D. 37.如圖，有兩個(gè)正方形的花壇，準(zhǔn)備把每個(gè)花壇都分成形狀相同的四塊，種不同的花草.下面左邊的兩個(gè)圖案是設(shè)計(jì)示例，請(qǐng)你在右邊的兩個(gè)正方形中再設(shè)計(jì)兩個(gè)不同的圖案.（1）1998年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比1995年大約增加了多少？（2）1998年我國(guó)財(cái)政支出規(guī)模（財(cái)政支出/國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）大約是多少？（3）已知1999年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為8.5萬(wàn)億元，在這幾年中國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)最快的是哪一年度?（中央國(guó)家機(jī)關(guān)公務(wù)員錄用考試行政職業(yè)能力傾向試卷試題）21.有一批影碟機(jī)（VCD＞原售價(jià)：800元，，臺(tái).甲商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo):購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)1?5臺(tái)6—10臺(tái)11—15臺(tái)16?20臺(tái)20臺(tái)以上每臺(tái)價(jià)格760元720元680元640元600元乙商場(chǎng)用如下辦法促銷(xiāo)：每次購(gòu)買(mǎi)1?8臺(tái)，每臺(tái)打九折；每次購(gòu)買(mǎi)9?16臺(tái)，每臺(tái)打八五折；每次購(gòu)買(mǎi)17?24臺(tái)，每臺(tái)打八折；每次購(gòu)買(mǎi)24臺(tái)以上，每臺(tái)打七五折；（1）請(qǐng)仿照甲商場(chǎng)的促銷(xiāo)列表，列出到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)VCD的購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)與每臺(tái)價(jià)格的對(duì)照表；（2）現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位，A單位要買(mǎi)10臺(tái)VCD,B單位要買(mǎi)16臺(tái)VCD,C單位要買(mǎi)20臺(tái)VCD.問(wèn)他們到哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較少？（第14屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）22.如圖是一張“3X5”（表示邊長(zhǎng)分別為3和5）的長(zhǎng)方形，現(xiàn)要把它分成若干張邊長(zhǎng)為整數(shù)的長(zhǎng)方形（包括正方形）紙片，并要求分得的任何兩張紙片都不完全相同.（1）能否分成5張滿足上述條件的紙片？（2）能否分成6張滿足上述條件的紙片？若能分，用“aXb”的形式分別表示出各張紙片的邊長(zhǎng)，并畫(huà)出分割的示意圖；若不能分，請(qǐng)說(shuō)明理由.（江蘇省競(jìng)賽題）第一講走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)世界參考答案【例題求般】例I(D13p[2)LSX例2選C,. -f?鼻倒*門(mén)川三物及醫(yī)藥腐品（；八能19開(kāi)年的總產(chǎn)值先工，則事其Q年的忌產(chǎn)值比159?年的增長(zhǎng)率為（士h71.94九十M一59乘="：土,1。。%=64亍逐：?根設(shè)I熊T年和2nH年的總產(chǎn)他用■別為。和4?某狎產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值在這兩年中的比重分別為至年的工知和*拓，則這種產(chǎn)砧的產(chǎn)值額的墻加總可表而為小斤河一。,了九一行.界+0口科一工苗>，舟肉腫產(chǎn)業(yè)相應(yīng)的土和y代人或中可的電子信息產(chǎn)殳的產(chǎn)值埔加愚凄.例5提承:沒(méi)這個(gè)因他敷為礪.依鹿意神，l{jtK>fl+：1：-::^—）（k+j—j+a—r—j=ig*g,即Iaoifi1oIft+］ic-fza—igss.SJ%描。=L,吾MhlMLOM。。,櫓］0）^+］k+阿=9驪dJ因我lie-"的晶尢恒為gg+唱=117,故itHQg翱-1IT一居I,有占一g,則Ih—Wd=§韓一就即一踏.心」由于或c-隊(duì)當(dāng)『=?時(shí)，1卜一￡/=3卜"=鵑，有d=G/當(dāng)#=一時(shí)*lh+2M=88+Ed孫有d=—僧都故這個(gè)四位數(shù)空L?：-,&-￡學(xué)力訓(xùn)練】&fjr■■1）-0=l（ln-92,公。A1|=36髡 4.13九羽2005=2*XS:2.S2O,iJ=3S2L：r；-1 6,A7.CS,B9.C10-C&個(gè)m這個(gè)兩位數(shù)一定是加QLg時(shí)的約始而】ggsfXsxEim 12,-|- ⑶繳14.觀察圖鬃觸據(jù)-歸納其中規(guī)律得E校拄有■面上9個(gè)強(qiáng)點(diǎn).新條校一JS.E）A 擰?寸 卜不,々眼。的爆大而減小，住車(chē)所耽說(shuō)的幾分鐘內(nèi)，環(huán)程不變，能完車(chē)后曲傲均速行進(jìn),路程位指和，1￡<■A-3X.L-3X4-］ 19-宰2弧iI近,