【】-大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案詳解

【DOC】-大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案詳解大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案詳解大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷(一)一、選擇題(共12分)2ex,x0,1.(3分)若f(x)為連續(xù)函數(shù),則a的值為().a,x,x0(A)1(B)2(C)3(D)-1(3分)已知f⑶2,則lim(A)1(B)3(C)-1(D).h012f(3,h),f(3)2h的值為()(3-COS-Xt分)定積分2,2的值為().(A)0(B)-2(C)1(D)2(3分)若f(x)在xx0處不連續(xù),則f(x)在該點處().(A)必不可導(dǎo)(B)一定可導(dǎo)(C)可能可導(dǎo)(D)必?zé)o極限二、填空題(共12分)1((3分)平面上過點(0,1)，且在任意一點(x,y)處的切線斜率為3x2的曲線方程為.(3分)(x,xsinx)dx.,1124(3分)limxsinx021x=.24.（3分）y2x,3x的極大值為三、計算題（共42分）（6分）求limxln（1,5x）sin3x23x0.（6而分）設(shè)yx,1求y.（6分）求不定積分xln（1,x2）dx.1（6分）求30x,x1,其中f（x,1）dx,f（x）1,cosxex,1,x1.y5.（6分）設(shè)函數(shù)yf（x）由方程etdt,0x0costdt0所確定，求dy.（6分）設(shè)f（x）dxsinx2,C,求f（2x,3）dx.37.（6分）求極限lim1,.n2nn四、解答題（共28分）（7分）設(shè)f（lnx）1,x,且f（0）1,求f（x）.（7分）求由曲線ycosx,轉(zhuǎn)體的體積.2x與x軸所圍成圖形繞著x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋2（7分）求曲線yx3,3x2,24x,19在拐點處的切線方程.（7x分）求函數(shù)yx,［,5,1］上的最小值和最大值.五、證明題（6分）設(shè)f（x）在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，證明baf（x）dxb,a2[f（a）,f（b）],12ba（x,a）（x,b）f（x）dx.（二）一、填空題（每小題3分，共18分）x,1x,3x,2221（設(shè)函數(shù)f,x,2,則x1是f,x,的第.2（函數(shù)yln,1,x2x,,則y.1,x3（limxx.4（曲線y11在點,2處的切線方程為.x225（函數(shù)y2x3,3x2在,1,4上的最大值，最小值.6（arctanx1,x2dx.二、單項選擇題（每小題4分，共20分）1（數(shù)列xn有界是它收斂的（）.,A,必要但非充分條件；，B,充分但非必要條件；，C,充分必要條件；，D,無關(guān)條件.2（下列各式正確的是（）.,A,e,xdxe,x,C;,B,Inxdx1;,C,dx1,2x1xlnx1x,C2ln,1,2x,,C;,D,dxlnlnx,C.3（設(shè)f,x,在a,b上，f,x,0且f,x,0,則曲線yf,x,在a,b上.,A,沿x軸正向上升且為凹的；，B,沿x軸正向下降且為凹的；，C,沿x軸正向上升且為凸的；，D,沿x軸正向下降且為凸的.4（設(shè)f,x,xlnx,則f,x,在x0處的導(dǎo)數(shù)（）.，A,等于1;,B,等于，1;,C,等于0；,D,不存在.5（已知1加以乂，2，以下結(jié)論正確的是（）.x1,,A,函數(shù)在x,C,函數(shù)在x三、1處有定義且f,1,2;,B,函數(shù)在x1處的某去心鄰域內(nèi)有定義；1處的左側(cè)某鄰域內(nèi)有定義;，D,函數(shù)在x1處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義.計算（每小題6分，共36分）21（求極限：limxsinx01x..已知yln,1,x.求函數(shù)yxsinx2,，求y.0,的導(dǎo)數(shù).，x3.1,x2x2dx..xcos1xxdx.yx確定函數(shù)yf,x,,求y.26.方程y四、五、六、(10分)已知ex為f,x,的一個原函數(shù)，求x2f,x,dx.(6分)求曲線yxe,x的拐點及凹凸區(qū)間.(10分)設(shè)f,x,dxx,ex,1,6，求f,x,.,(三)一、填空題(本題共5小題，每小題4分，共20分).11)lim(cosx)x0x-77,1(2)曲線yxlnx上與直線x,y,10平行的切線方程為yx,1.(3)已知f(e)xe(4)曲線y2x,x，且f(1)0,則f(x)f(x)2y13x,19__.(Inx)23x,1的斜漸近線方程為2y5x,1(5)微分方程的通解為二、選擇題(本題共5小題，每小題4分，共20分).(1)下列積分結(jié)果正確的是(D)y,(x,1)2y237(x,1)2,C(x,1).2(C)1,1,11xdx01(D)1,11x2dx,2x4dx,,11xdx,⑵函數(shù)f(x)在［a,b］內(nèi)有定義，其導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖形如圖1-1所示，則(D).(A)x1,x2都是極值點.,x1,f(x1),,,x2,f(x2)，都是拐點.(C)x1是極值點.，，x2,f(x2)，是拐點.yC1e,C2ex,2x,xex滿足的一個微分方程是(D).4(A)y,y,2y3xe.(C)y,y,2y3xe.(4)設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，則h0limxxh(B)y,y,2y3e.(D)y,y,2y3e.為(A).xxf,x0,,f,x0,h,,f,x0,(A)f,x0,.(B).(C)0.(D)不存在.⑸下列等式中正確的結(jié)果是(A).(A)(f(x)dx)f(x).(B)df(x)f(x).d[f(x)dx]f(x).(D)f(x)dxf(x).三、計算題(本題共4小題，每小題6分，共24分).lim(x,1)1(求極限x1x,1lnx.lim(x,1)limxlnx,x,1解x1x,1lnx=x1(x,1)lnx1分limlnxx1x,1=x,lnx2分limxlnx=x1x,1,xlnx1分lim1,lnx=x11,lnx,1122分xlnsintdyd2.方程yycost,tsint確定y為x的函數(shù)，求dx與dx2.dyy(t)t,解dxx(t)tsin(3分)d2y(tsint)dx2x(t)sinttant,tsint.(6分).4.計算不定積分an?tunyfx.解2(1,x),,,,,,,,,,,2分=2arctanarctan,,,,,,2分=(arctan2,C,,,,,,,,,2分.計算定積分3x01,,xdx.xx(1,,x)301,,xdx30,xdx,3解0(1,,x)dx3分)(,3,2333(1,x)2053(6分)(或令,xt)四、解答題(本題共4小題，共29分).2x1((本題6分)解微分方程y,5y,6yxe.解:特征方程r-5r,60,,,,,,,,,,1分特征解r12,r23.,,,,,,,,,,1分次方程的通解丫《加令y*80*$1)?代入解得b0，所以yx(,**2x2x2,C2e.,,,,,,,1分3x,,,,,,,,,,,1分12b1,1.2x12x,1)e,,,,,,,,,,,1分,C2e3x所以所求通解yC1e2x,x(12x,1)e.,,,,1分2x2((本題7分)一個橫放著的圓柱形水桶(如圖4-1),桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為R,水的比重為，計算桶的一端面上所受的壓力(—甦建立坐標(biāo)系如圖&二；退，-二PR02,,,,,,,,,4RR,x),,,,,,1分223222R,g[R,x]0,,,,,,1分32g3R，，，，，，，，，，，，，，，，1分3b3.(本題8分)設(shè)f(x)在[a，b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(a)f(b)0,且10試求abaf(x)dx12,bxf(x)f(x)dx.解：xf(x)f(x)dxbaxf(x)df(x),,,,,2分122baxdf(x),,,,,2分b2=[xf(x)]a,=0,12,1212baf(x)dx,,2分2,,,,,,,,,2分4.(本題8分)過坐標(biāo)原點作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖形D.(3)求D的面積A;(4)求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.6解：(1)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x0，則曲線ylnx在點(x0,lnx0)處的切線方程是ylnx0,1x0(x,x0). 1分由該切線過原點知lnx0,10，從而x0e.所以該切線的方程為y1ex.11平面圖形D的面積A1e 1分x1(ey,ey)dy12e,1. 2分(2)切線V1132y與x軸及直線xe所圍成的三角形繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為e.2分曲線ylnx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為V21(e,e)dy12y2,1分因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為VV1,V2103五、證明題(本題共1小題，共7分).e,21(e,e)dyy26(5e,12e,3).21分.證明對于任意的實數(shù)x，e1,x.解法e1,x,xxxex1,x13

解法二:設(shè)f(x)e,x,1.則f(0)0.1分(x)ex,1.f因為1分當(dāng)x0時，f(x)0.f(x)單調(diào)增加，f(x)f(0)0.2分當(dāng)x0時，f(x)0.f(x)單調(diào)增加，f(x)f(0)0.2分x所以對于任意的實數(shù)x,f(x)0.即e1,x。1分解法三：由微分中值定理得，e,1e,ee(x,0)ex,其中位于0到x之間。2分x當(dāng)x0時，e1,e,1x。2分x當(dāng)x0時，e1,e,1x。2分xx0所以對于任意的實數(shù)x,jr所以對于任意的實數(shù)x,jra/i ‘a(chǎn)x7泗)一(填空題(每小題4分，11(2(e1,x。1分.5題共20分):14lim(e,x)x0xx21e2.x,x1,1x,1,x2005,,e,e,dxx,y4e.dtxdy3(設(shè)函數(shù)yy(x)由方程1e,t2確定，則dxx0e,1.1x154.設(shè)f,x,可導(dǎo)，且1tf(t)dtf(x)2,f(0)1,則f,x,e.5(微分方程y,4y,4y0的通解為y(C1,C2x)e二(選擇題(每小題4分，4題共16分)：1(設(shè)常數(shù)k0，則函數(shù)f(x)lnx,xe,k在,2x.(0,,)內(nèi)零點的個數(shù)為(B).3個；(B)2個；(C)1個；(D)0個.2(微分方程y,4y3cos2x的特解形式為(C),,B)yAxcos2x；,(A)yAcos2x；((C)yAxcos2x,Bxsin2x;(D)yAsin2x3(下列結(jié)論不一定成立的是(A)(A)(A)若c,da,b,則必有c16f,x,dxbbaf,x,dx；(B)若f(x)0在a,b上可積，則af,x,dx0；(C)若f,x,是周期為T的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)a都有a,Taf,x,dx0Tf,x,dx;x(D)若可積函數(shù)f,x,為奇函數(shù)，則01tf,t,dt也為奇函數(shù).f,x,1,ex12,3ex,則x0是￡?)的(C).4.設(shè)17（A）連續(xù)點；（B）可去間斷點；（C）跳躍間斷點；（D）無窮間斷點.三（計算題（每小題6分，5題共30分）：1（計算定積分0解：設(shè)x22xe3,x2dx3.,x2t,則2xedx212te,tdt,12182tde,t 281,t2,te,02,e,22edt 2,t,125e,t2012,32e,2192(計算不定積分解：xsinxcosxdx.Icosx2cosxsinx5xdxx144xd(,,14)1x,44cosx4cosx 320dx4cosxx4cosx4(tan413x,1)dtanx14tanx,C12tanx, 3xa(t,sint),t2處的切線的方程.3(求擺線ya(1,cost),在解:切點為kdydx(a(2,1),a) 22t221asinta(1,cost)t1 2切線方程為4.設(shè)5(設(shè)F(x)ny,ax,a(2,1)即yx,(2,2)a, 22x0cos(x,t)dt2，則F(x)2xcosx,(2x,1)cos(x,x).，求ni)2xn(n,1)(n,2)(n,3)(2n)221nlimxn.解：lnxnln1(,ni1nn 2ln1(,x11,x4nlimlnxnlimxln(1,x)e1ni1inn)110ln1(,x)dx23 2 2,102ln2,1e故n=四(應(yīng)用題(每小題9分，3題共27分)limxn2ln2,11(求由曲線yx,2與該曲線過坐標(biāo)原點的切線及x軸所圍圖形的面積.解：y12x0,2x(x0,y0)，則過原點的切線方程為設(shè)切點為，2. 3(x0,y0)在切線上，帶入切線方程，解得切點為x04,y0由于點過原點和點(4,2)的切線方程為syx22 324面積2(y,2,22y)dyxdx,2223 3223s或212242(122x,x,2)dx2(設(shè)平面圖形D由x,y2x與yx所確定，試求D繞直線x2旋轉(zhuǎn)周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積2522解：法一:VV1,V2102,(1,,y)dy,10⑵y)dy10,y,(y,1)dy26132,(y,1)43112(,)043 2法二:V二2210(2,x)(2x,x2,x)dx2 510(2,x)2x,xdx,210(2x,x)dx10(2,2x)122x,x,22x,x22dx,4273241122(2x,x),21,043323,2,43122,23 43.設(shè)a1,f(t)a,at在(，，，)內(nèi)的駐點為t(a).問a為何值時t(a)最小？并求最小值.t解：t由f(t)alna,a0得t(a)1,lnlnalna28 3又由t(a)lnlna,1a(lna)20得唯一駐點eaeee 3e當(dāng)ae時,t(a)0;當(dāng)ae時,t(a)0,于是ae為t(a)的極小值點.——2ae為t(a)的最小值點，最小值為t(e)1,eelnee故1,1e 1.五(證明題(7分)1f(0)=f(1)0,f()1，292設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且試證明至少存在一點(0,1)，使得f()=1.證明：設(shè)F(x)f(x),x，F(xiàn)(x)在［0,1］上連續(xù)在(0,1)可導(dǎo)，因f(0)=f(1)=0,有F(0)f(0),00,F(1)f(1),1,1, 21111111f()=1F()=f()-=1-=，［，1］22222在2又由2，知上F(x)用零點定理，11F(1)F()=-0TOC\o"1-5"\h\z22根據(jù)， 22可知在2,F(0)=F()=0由ROLLE中值定理得至少存在一點(0,)(0,1)使得F()=0即f(),1=0,證畢. 3(1，1)內(nèi)至少存在一點，使得F()=0， (1,1)(0,1)標(biāo)準(zhǔn)答案一、1B;2C;3D;4A.二、1yx,1;2323;30;40.53三、1解原式lix030x5x3x26分二解lny12x,1x2,1xn(,212分后y2x,12[1,2xx,12]4分3解原式121n(1,x)d(1,x)3分223112[(1,x)ln(1,x),(1,x)2222x1,x2dx]2分12[(1,x2)ln(,1x2,)x2,