專題06 三角函數(shù)及解三角形-2022年高考真題和模擬題數(shù)學分類匯編(解析版)

專題06三角函數(shù)及解三角形1．【2022年全國甲卷】將函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)的圖像向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于A．16 B．14 C．13【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對稱性得ωπ2+π【詳解】由題意知：曲線C為y=sinωx+π2+π解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故當k=0時，故選：C.2．【2022年全國甲卷】沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的AB中點，D在AB上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CD2OA．當OA=2,∠AOB=60°時，A．11?332 B．11?432 C．【答案】B【解析】【分析】連接OC，分別求出AB,OC,CD，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接OC，因為C是AB的中點，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三點共線，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，則OC=3，故CD=2?所以s=AB+C故選：B.3．【2022年全國甲卷】設函數(shù)f(x)=sinωx+π3在區(qū)間(0,πA．53,136 B．53,【答案】C【解析】【分析】由x的取值范圍得到ωx+π【詳解】解：依題意可得ω>0，因為x∈0,π，所以ωx+要使函數(shù)在區(qū)間0,π恰有三個極值點、兩個零點，又y=sinx，則5π2<ωπ+π3≤3π故選：C．4．【2022年全國乙卷】函數(shù)fx=cosx+x+1A．?π2，π2 B．?3π【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)求得fx的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出fx在區(qū)間【詳解】f'所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2在區(qū)間π2,3π2上又f0=f2π=2所以fx在區(qū)間0,2π上的最小值為?3π故選：D5．【2022年新高考1卷】記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期為T．若2π3<T<π，且y=f(x)A．1 B．32 C．52【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足2π3<T<π，得2π3又因為函數(shù)圖象關(guān)于點(3π2,2)對稱，所以3π所以ω=?16+23所以f(π故選：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2A．tan(α?β)=1 B．C．tan(α?β)=?1 D．【答案】C【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：sinα即：sinα即：sinα?β所以tanα?β故選：C7．【2022年北京】已知函數(shù)f(x)=cos2x?A．f(x)在?π2,?π6上單調(diào)遞減 C．f(x)在0,π3上單調(diào)遞減 D．f(x)在【答案】C【解析】【分析】化簡得出fx【詳解】因為fx對于A選項，當?π2<x<?π6時，?π<2x<?對于B選項，當?π4<x<π12時，?對于C選項，當0<x<π3時，0<2x<2π3，則對于D選項，當π4<x<7π12時，π2故選：C.8．【2022年浙江】設x∈R，則“sinx=1”是“cosx=0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為sin2當sinx=1時，cos當cosx=0時，sin所以當x∈R，sinx=1是cos故選：A.9．【2022年浙江】為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sinA．向左平移π5個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π15個單位長度 D．向右平移π【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為y=2sin3x=2sin3x?π15故選：D.10．【2022年新高考2卷】（多選）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖像關(guān)于點A．f(x)在區(qū)間0,5B．f(x)在區(qū)間?πC．直線x=7π6D．直線y=32?x【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：f2π3=sin即φ=?4又0<φ<π，所以k=2時，φ=2π對A，當x∈0,5π12時，2x+2π3對B，當x∈?π12,11π12時，2x+2π3∈對C，當x=7π6時，2x+2π對D，由y'=2cos2x+2解得2x+2π3從而得：x=kπ或x=所以函數(shù)y=f(x)在點0,32處的切線斜率為切線方程為：y?32=?(x?0)故選：AD．11．【2022年全國甲卷】已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．當ACAB取得最小值時，BD=【答案】3?1##【解析】【分析】設CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC【詳解】設CD=2BD=2m>0，則在△ABD中，AB在△ACD中，AC所以A≥4?12當且僅當m+1=3m+1即所以當ACAB取最小值時，m=故答案為：3?112．【2022年全國乙卷】記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若f(T)=32，【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根據(jù)fT=32求出φ，再根據(jù)【詳解】解：因為fx=cosωx+φ，（所以最小正周期T=2πω又0<φ<π，所以φ=π6又x=π9為fx的零點，所以π因為ω>0，所以當k=0時ωmin故答案為：313．【2022年北京】若函數(shù)f(x)=Asinx?3cosx的一個零點為π【答案】

1

?【解析】【分析】先代入零點，求得A的值，再將函數(shù)化簡為f(x)=2sin(x?π【詳解】∵f(π3)=∴f(x)=f(故答案為：1，?14．【2022年浙江】我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是S=14c2a2?c2+a2?【答案】234【解析】【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因為S=14c故答案為：23415．【2022年浙江】若3sinα?sinβ=10【答案】

31010【解析】【分析】先通過誘導公式變形，得到α的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出α，接下來再求β．【詳解】α+β=π2，∴sinβ=即1031010sinα?則10sinα?θ=10，∴∴sinα=則cos2β=2故答案為：31010；16．【2022年全國乙卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)證明：2【答案】(1)5π8(2)證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，sinC=（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得sinC(1)由A=2B，sinCsinA?B=sinBsinC?A可得，sinCsinB=sinBsinC?A，而0<B<π2(2)由sinCsinCaccos122a17．【2022年全國乙卷】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=25【答案】(1)見解析(2)14【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出bc，從而可求得b+c，即可得解.(1)證明：因為sinC所以sinC所以ac?a即a2所以2a(2)解：因為a=5,cos由（1）得b2由余弦定理可得a2則50?50所以bc=31故b+c2所以b+c=9，所以△ABC的周長為a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2【答案】(1)π6(2)42【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=（2）由（1）知，C=π2+B，A=π2(1)因為cosA1+sin而0<B<π2，所以(2)由（1）知，sinB=?cosC>0而sinB=?所以C=π2+B所以a=2當且僅當cos2B=22時取等號，所以19．【2022年新高考2卷】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=【答案】(1)2(2)1【解析】【分析】（1）先表示出S1,S2,S3（2）由正弦定理得b2(1)由題意得S1=1即a2+c2?b2=2，由余弦定理得則cosB=1?132(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=20．【2022年北京】在△ABC中，sin2C=(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面積為63，求△ABC【答案】(1)π(2)6+6【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得cosC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C（2）利用三角形的面積公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得△ABC的周長.(1)解：因為C∈0,π，則sinC>0，由已知可得可得cosC=32(2)解：由三角形的面積公式可得S△ABC=1由余弦定理可得c2=a所以，△ABC的周長為a+b+c=6321．【2022年浙江】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面積．【答案】(1)55(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC=a2+b2?(1)由于cosC=35，0<C<π，則由正弦定理知4sinA=5(2)因為4a=5c，由余弦定理，得即a2+6a?55=0，解得a=5，而sinC=所以△ABC的面積S=11．（2022·寧夏·銀川一中模擬預測（文））已知點在角的終邊上，且，則角的大小為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定角的范圍，再利用三角函數(shù)定義求解作答.【詳解】依題意，點在第二象限，又，則，而，所以.故選：B2．（2022·安徽省舒城中學三模（理））將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移法則求出函數(shù)的解析式，進而求出的含有數(shù)0的單調(diào)區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系即可解出.【詳解】依題意，，由，得：，于是得的一個單調(diào)遞增區(qū)間是，因在上為增函數(shù)，因此，，即有，解得，即最大值為．故選：A.3．（2022·甘肅·武威第六中學模擬預測（理））已知函數(shù)，直線為圖象的一條對稱軸，則下列說法正確的是（

）A． B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在區(qū)間上的最大值為2 D．為偶函數(shù)，則【答案】D【解析】【分析】由已知得，由可求得，可判斷A選項，由此有；對于B，由得，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對于C，由得，由此得在區(qū)間上的最大值為；對于D，，由，解得.【詳解】解：因為函數(shù)，直線為圖象的一條對稱軸，所以，所以，又，所以，故A不正確；所以，對于B，當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故B不正確；對于C，當時，，在區(qū)間上的最大值為，故C不正確；對于D，若為偶函數(shù)，則，所以，解得，故D正確，故選：D.4．（2022·全國·模擬預測）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，求解即可．【詳解】解：因為=-.，；，，所以，故．故選：D.5．（2022·全國·模擬預測（文））已知函數(shù)的一個對稱中心為，在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，所以，，由在區(qū)間上不單調(diào)可得在區(qū)間上有解，所以，在區(qū)間上有解，最終可得，，取值即可得解.【詳解】由函數(shù)的一個對稱中心為，可得，所以，，，，，由在區(qū)間上不單調(diào)，所以在區(qū)間上有解，所以，在區(qū)間上有解，所以，所以，，又，所以，所以，當時，，此時的最小正整數(shù)為.故選：B6．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的角的范圍以及三角函數(shù)值，可以確定，通過湊角，利用和角正弦求得，從而求得，根據(jù)角的范圍確定符號，開方即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，所以，所以，又，．故選：B．7．（2022·全國·模擬預測（理））函數(shù)的圖象按以下次序變換：①橫坐標變?yōu)樵瓉淼?；②向左平移個單位長度；③向上平移一個單位長度；④縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的性質(zhì)逆推求解即可【詳解】由題意，④縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，故④變換前為；③向上平移一個單位長度，故③變換前為；②向左平移個單位長度，故②變換前為；①橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，故①變換前為，故的解析式為故選：A8．（2022·黑龍江·哈九中三模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且．將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再向上平移一個單位長度，得到的圖象．若，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求得，再根據(jù)圖象變換可得的解析式，結(jié)合，，，求得的值，可得答案.【詳解】設的最小正周期為T，則由圖可知，得，則，所以，又由題圖可知圖象的一個對稱中心為點，故，，故，，因為，所以，所以.又因為，故，所以；將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再向上平移一個單位長度，得到的圖象；因為，所以同時令取得最大值3，由，可得，，又，要求的最大值，故令，得；令，得，所以的最大值為，故選：C.9．（2022·全國·模擬預測）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖像平移的規(guī)律，算出答案即可.【詳解】由題意，由于函數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：A.10．（2022·貴州·貴陽一中模擬預測（文））如圖是函數(shù)的圖像的一部分，則要得到該函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【解析】【分析】先由圖像求得，再由輔助角公式化簡，最后由三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由題圖知：，又，，解得，又，將向左平移得.故選：A.11．（2022·青海西寧·二模（文））在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，面積為S，且，，________？【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】根據(jù)題干條件及余弦定理、面積公式，可求得角C的值，若選①，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對大角原則，可得角A只有一解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得的值；若選②，根據(jù)正弦定理，可求得的值，根據(jù)大邊對大角原則，可得角A有兩解，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可求得的值；若選③，根據(jù)正弦定理，可求得的值，因為，則三角形無解.【詳解】由題意可知在中，因為，且，所以，由余弦定理可知，所以因為，所以；

若選①，由正弦定理可得，解得，

在中，因為，所以，又因為，則角A只有一解，且，

所以．若選②，由正弦定理可得，解得，

在中，因為，所以，又因為，則角A有兩解，

所以．

若選③，由正弦定理可得，解得，

因為，所以無解，即三角形不存在．12．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若D為邊中點，且，求a的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用三角恒等變形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.(1)∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴.∵，∴，又∵,

∴，∴；(2)∵D為邊中點，∴，即,∵，∴，∴,∴，即,當且僅當時取等號,∵，∴，即.故a的最小值為.13．（2022·山東聊城·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B；(2)若b=4，求周長的最大值.【答案】(1)；(2)12.【解析】【分析】（