北京市2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（三）

北京市2020年高二數(shù)學上學期期中考試卷（三）

（文科）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.）

1.命題"p或q"為真命題（）

A.命題p為真B.命題q為真

C.命題p和命題q一真一假D.命題p和命題q至少一個為真

2.已知m￡R,則"m#5"是"曲線'+十=1為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

22

3.已知橢圓號+：片”'，卜》⑴的左右焦點分別為Fi,F2,點A

|AFtl5

在橢圓上，AF2_Lx軸，若嗝T二至，則橢圓的離心率等于（）

111

A.2B.可C.ED.守

4.設拋物線y2=px的焦點與橢圓=~+弓~=1的右焦點重合，則p的

值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

5.已知點A（4,8）是拋物線C：y2=2px與直線I：y=k（x+4）的一

個交點，則拋物線的焦點到直線I的距離是（）

A.&B.272C.372D.啦

6.已知點P在拋物線y2=4x上，則點P到直線li：4x-3y+ll=0的距

離和到12：X=-1的距離之和的最小值為（）

3711

A."isB.3c.2D.虧

x2乙

7.已知雙曲線京y"5"。）與拋物線y2=4x的準線交于A,B

兩點，0為坐標原點，若aAOB的面積等于1,則［^=（）

「V21

A.V2B.1C.~D.~2

8.若直線I被圓x2+y2=4所截得的弦長不小于2爪，則I與下列曲線

一定有公共點的是（）

2,

222222

A.-^-+y=iB.（x-1）+y=lC.y=xD.x-y=l

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分共30分.把答案

填寫在答題紙上.）

9.命題“Vx￡R,x2+2x+2>0”的否定為.

10.已知雙曲線過點（4,6）且漸近線方程為丫=±為<,則該雙曲線的

標準方程是—.

11.在拋物線x2=2py（p>0）上，縱坐標為2的點到拋物線焦點的距

離為5,貝ljp=.

2

12.拋物線頂點在原點，其準線方程過雙曲線f-y2=］的右焦點，則

此拋物線方程為—.

13.在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2-y2=l右支上一個動

點.若點P到直線x-y+2=0的距離大于t恒成立，則實數(shù)t的最大值

為.

14.已知直線I：y=-2,定點F(0,2),P是直線x-y+2&=0上的動

點，若經(jīng)過點F,P的圓與I相切，則這個圓面積的最小值為一.

二、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟.

15.已知一定點A(4,-3),B為圓(x+1)2+y2=4上的動點，求線

段AB中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

2?2

16.已知雙曲線C：三-勺l(a〉0,b>0)的實軸長為2,點P(2,&)在

此雙曲線上.

(I)求雙曲線C的方程；

(II)已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段

AB中點N在圓x2+y2=5上，求實數(shù)m的值.

17.在直角坐標系xOy中，點M到點Fi(-6，0)、F2(V3>0)的距離

之和是4,點M的軌跡是C,直線I：尸kx+在與軌跡C交于不同的兩

點P和Q.

(I)求軌跡C的方程；

(II)是否存在常數(shù)k,使而?麗=0?若存在，求出k的值；若不存在,

請說明理由.

18.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩

點.

(I)若房=7而，求直線AB的方程；

(II)設點M在線段AB上運動，原點0關于點M的對稱點為C,

求四邊形OACB面積的最小值.

22

19.已知橢圓C：與+yl(a〉b>0)的兩個焦點

a，一

F](-&，0),F2(企，0),點P(l,零)在此橢圓上.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點M(1,0)的直線I與橢圓C相交于A,B兩點，設點N

(3,2),記直線AN,BN的斜率分別為ki,k2,求證：ki+k2為定值.

22r~

20.已知橢圓Ciq~+上01(a〉b>0)的圖心率e=點(1,0)與橢

a2b23

圓短軸的兩個端點的連線互相垂直.

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)設橢圓C與直線y=kx+m相交于不同的兩點M,N,點D(0,

-1),當|DM|=|DN|時-，求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題

1.D.2.B.3.C.4.D.5.D.6.B.7.C8.D.

二、填空題

9.答案為：3x￡R,x2+2x+2^0.

10.答案為：1x2-y2=l.

11.答案為6.

12.答案為：y2=-8x

13.答案為：V2

14.答案為：4n

二、解答題

15.解：設M(x,y),B(m,n),

?「M是AB的中點，

.x-2Jm=2x-4

n-3、n=2y+3'

又?:B在(x+1)2+y2=4上，即(2x-4+1)2+(2y+3)2=4,

化簡為(x-y)2+(y+y)2=b

.，.M點的軌跡方程為(X-1)2+(jr+|)2=l,

該方程表示的是圓心為e，-1),半徑為1的圓.

16.解：(I)依題意知:2a=2,.*.a=l,

又點P(2,a)在雙曲線上，

.*.-y--y=1=5,b2=2,

I2b2

2

...雙曲線方程為：

2

(II)設A(xi,yi),B(X2,ya),N(X0,yo)

2_/_

由，*丁-1消y有X?-2mx-m2-2=0,

y=x+m

.*.△=(-2m)2+4(m2+2)>0,

??x]+x2-2ID,x?x2——(m+2),

,?*N為AB中點，x0=:，=m,y0=x0+rn=2in?

N在圓x2+y2=5上即m2+(2m)2=5,

m=±l,經(jīng)檢驗，符合題意.

所以，實數(shù)m的值為±1.

17.解：(I):?點M到(-E，0),(仆，0)的距離之和是4,

...M的軌跡C是長軸長為4,焦點在x軸上焦距為的橢圓，其方

程為《+y2=l.

(II)將尸kx+加，代入曲線C的方程，

整理得(l+4k2)x2+W5kx+4=0.①

設P(xi,yi),Q(X2,丫2),由方程①,得xi+x2=-,'因二一②

1'l+4kzl+4kz

=+=2

又丫1,y20￡ii+V2)(kx2V2)kX|x2+V2k(xJ+X2)+2.③

若而?畫二0，則xiX2+yiy2=O,

將②、③代入上式，解得k=±零.

又因k的取值應滿足△>(),即4k2-1>0(*),

將卜=土苧代入(*)式知符合題意.

18.解：(I)?.力=-4而，.?.直線AB的斜率一定存在，設為k,AB

方程為y=k(x-1).

由■'、消y知：k2x2-(2k2+4)x+k2=0

y=k(x-1)

、2k，+4

設A(xi,yi),B(X2,y2),xi+x2=—2—，X1*X2=1

VAF=-4BF,.\XI=5-4X2,

.*?X1?X2=(5-4X2)?X2=1,.\X2=^"或X2=l(#)

??Xi=4,

._2k2+4_17..4

??X1x+X2-5一△，??k―士行.

k，43

...直線AB的方程為丫=±￡(x-1)；

(II)?.?點c與點O關于點M對稱，為OC中點

.?.點C與點。到直線AB的距離相等

四邊形OACB面積SOACB=2SAOB=￡IOFI?Iyi-y2I

設直線AB方程為：x=my+l

由直線與拋物線聯(lián)立，消x整理得：y2-4my-4=0,yi+y2=4m,yiy2=

22

-4,(yj+y2)-4y1y2=4Vm+l>4

即當m=0時，四邊形OACB的面積最小為4.

19.解：(I)依題意知:

2

二?橢圓方程為-^~+y2=l；

(II)?.?直線AB過點M(1,0),...設直線AB的方程為x=my+l,

再設A(xi,yi),B(X2,y2),

2

x

由3+'-1,消x得：(m2+3)y2+2my-2=0,

2

2

.*.yl+y2=~m+3<321^+3'

yi-2了2一2

VN(3,2),???k尸ik

i町一392

-

-22(yt-2)"(xj-3)+(y2-2)'(xj-3)

+k2="--

X-3(xt3)?(x23)

----

(yj2),(my2+l3)+(y22)*(my1+l3)2myjy22(mH)(yj+y2)+8

(my2+l-3)?(myt+l-3)n)2-2m(y[+y2)+4

_

二4mh2,("l、)-2^m-+8〉

m"+3n/+312^+24

2n>2,4m2,-6m2+12=2為定值.

——+-j—+4

m+3in+3

_c

20.解：（I）依題意知：，a2=b2+c2，解得：a2=3,b2=l,

b二?！?。.=?1

0-10-1

2

...橢圓方程為5~+y2=1

(II)設M(xi,yi),N（X2，丫2）,

2

2,

*T+y=1,消y得:(3k2+l)x2+6kmx+3m2-3=0,

y=kx+m

(6mk)2-12(3k2+l)(m2-1)=12(3k2-m2+l)>0,

3(n>2-1)

6km

Xi+x--12-，X.x=-----5-----，

12"3kz+l12z3k?+l

xl+x2__3kn>丫產(chǎn)2m

設MN中點E(x,No),則xo=，y°=2=2

02