大學(xué)物理量子力學(xué)

第五篇量子物理學(xué)基礎(chǔ)

(QuantumPhysicsBasis)§19．1熱輻射和普朗克量子假設(shè)一.基爾霍夫定律(Kirchhofflaw)

作熱運動的帶電粒子會輻射電磁波，這種現(xiàn)象稱為熱輻射。物體的單色輻射本領(lǐng)eλ(單色輻射出射度M)(MonochromaticEmissivePower)，它表示物體在各種溫度下單位面積的輻射功率按波長(頻率)的分布情況；物體的輻射本領(lǐng)(emissivepower)。表示在一定溫度下,單位時間內(nèi)從物體表面的單位面積上輻射出來的、各種波長的電磁波的總能量。設(shè)單位時間從物體表面的單位面積上輻射的、波長范圍為

的電磁波能量為。第19章實驗基礎(chǔ)與基本原理

外來電磁波射到物體的表面上時，會產(chǎn)生反射和吸收。同一物面，對不同波長的電磁波，其反射和吸收的能力是不同的。單色反射率(MonochromaticReflectivity)單色吸收率(MonochromaticAbsorptivity)：入射到物體表面的總能量；：物體反射的總能量；：物體吸收的總能量；基爾霍夫定律：對黑體：考慮平衡熱輻射場中的物體：平衡熱輻射場：在具有絕熱壁的容器中，有幾個物體，它們之間交換能量，最終達(dá)到熱平衡，各物體的溫度都相同。物體輻射的能量等于在同一時間內(nèi)所吸收的能量。這種電磁場叫做平衡熱輻射場（EquilibriumThermalRadiation）。ABC黑體：單色吸收率等于1的物體。二.黑體輻射定律(BlackBodyRadiationLaw)1.黑體（BlackBody)能完全吸收各種波長電磁波而無反射的物體,e

最大且只與溫度有關(guān)而和材料及表面狀態(tài)無關(guān)。2.維恩設(shè)計的黑體測定出的的實驗曲線e3.實驗定律（1）斯特藩-玻耳茲曼定律(Stephan-BoltzmannLaw)（2）維恩位移定律(WienDisplacementLaw)其中：其中：空腔棱鏡G電爐空腔轉(zhuǎn)動平行光管熱電偶頻率不同折射率不同折射角不同測得不同頻率的輻射功率例題1

先后兩次測得煉鋼爐測溫孔（近似為黑體）輻射出射度的峰值波長1m=0.8m、2m

=0.4m，求：（1）相應(yīng)的溫度比；（2）相應(yīng)的輻射本領(lǐng)之比。解:

（1）根據(jù)維恩位移定律（2）根據(jù)斯忒番-玻爾茲曼定律（1）維恩公式（2）瑞利—金斯公式——玻爾茲曼常數(shù)三．經(jīng)典物理的困難普朗克量子假設(shè)適用于長波區(qū)域，在短波區(qū)域(高頻)出現(xiàn)紫外災(zāi)難!適用于短波區(qū)域19世紀(jì)末，物理學(xué)最引人注目的課題之一——欲從理論上導(dǎo)出黑體的單色輻射出射度的數(shù)學(xué)式。紫外災(zāi)難！實驗曲線T=2000KM

(3)普朗克的量子假設(shè)(PlanckQuantumHypothesis)

經(jīng)典理論：振子的能量取“連續(xù)值”經(jīng)典能量量子

普朗克假定（1900）普朗克常數(shù):h=6.6260755×10-34J·s=h物體發(fā)射或吸收電磁輻射:h=6.6310-34J.s---(普朗克常數(shù)PlanckConstant)并根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計法推出黑體輻射公式：諧振子的能量：1900年12月14日，在德國物理學(xué)會上演講:“能量不連續(xù)，只能是h

的整數(shù)倍。”——這一天定為量子力學(xué)(QuantumMechanics)的誕生日。能量不連續(xù)，只能是h

的整數(shù)倍。

量子假設(shè)是和經(jīng)典理論不相容的概念。從經(jīng)典物理出發(fā)，是無法理解為什么諧振子只能取某些能量值。承認(rèn)量子假設(shè)，就等于宣稱微觀粒子不遵守經(jīng)典物理學(xué)的規(guī)律。愛因斯坦用普郎克量子假設(shè)解釋光電效應(yīng)，提出光的波粒二象性；德布羅意提出實物粒子的二象性：量子力學(xué)1887年赫茲發(fā)現(xiàn)紫外線帶電粒子勒納證明是電子!金屬§19．2光電效應(yīng)和愛因斯坦的光量子理論一.光電效應(yīng)(PhotoelectricEffect)1．實驗現(xiàn)象紫外線照射某些金屬時，會有電子從金屬中逸出，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。光電子：單色光照射到光電管中的金屬板K上時，就有電子從K表面逸出，這電子叫光電子(Photoelectrons)。VGKA實驗線路2.光電效應(yīng)的實驗規(guī)律

飽和光電流照射光強I1I2I2>I1iI0伏安特性曲線實驗規(guī)律：且飽合光電流與入射光強成正比。表明光電子具有初動能。光電流為零時的電壓稱為截止電壓(StoppingPotential)。此反映了光電子逸出時的最大初動能。由(a)、(b)兩式可得：這里：當(dāng)照射光的頻率小于時，無論光強多大，也無光電子逸出。金屬的紅限頻率(ThresholdFrequency)只要，無論光強多弱，開始照射后即刻就有光電子逸出。光電效應(yīng)的上述規(guī)律，是經(jīng)典物理無法解釋的。(a)實驗發(fā)現(xiàn)：最大初動能與入射光強無關(guān)僅與入射光的頻率有關(guān)。（b）4.06.08.010.0(1014Hz)0.01.02.0Uc(V)CsNaCa經(jīng)典電磁波理論得出的結(jié)論：1）光強愈大，光電子逸出后的初動能也愈大。2）任何頻率的光，只要有足夠的強度，都會產(chǎn)生光電效應(yīng)。3）光電效應(yīng)不能瞬時發(fā)生。光的波動理論不能解釋光電效應(yīng)二．愛因斯坦光子假說(Einstein’sphotonsorquantatheory)

光是以光速運動的粒子流，這些粒子稱為光量子或光子，光子的能量是。且光子只能做為一個整體被發(fā)射或吸收。光子理論對光電效應(yīng)的解釋：

用頻率為的單色光照射金屬時，光子與電子間進(jìn)行能量交換，而使電子的能量增加。單色光的光強h=6.6260755×10-34J·s3．光波動學(xué)說的困難電子從金屬中逸出所需的功稱為金屬逸出功。光量子理論對光電效應(yīng)的解釋：2）電子就不可能從金屬中逸出。紅限頻率：1）照射光的頻率不變，光強增大，逸出電子的動能與光強無關(guān)，只是光電子增多，飽合光電流增大。3）光子是做為一個整體被電子吸收的，不需要積累能量的時間，說明光電效應(yīng)的瞬時性。愛因斯坦光電效應(yīng)方程

光電效應(yīng)的應(yīng)用1.iMI可用來實現(xiàn)光、電信號轉(zhuǎn)換。（電影、電視、傳真等現(xiàn)代通訊技術(shù))2.瞬時性用于自動控制、自動計數(shù)；3.光電管、光電倍增管、光電二極管……例題2光電效應(yīng)實驗，已知陰極材料的逸出功A，照射光的頻率>

o

，求：（1）紅限o；（2）遏止電壓Uc。解（1）由愛因斯坦方程（2）三．光的波粒二象性(Wave-ParticleDualityofLight)

光既有波動性,又具有粒子性，即光具有波粒二象性。在有些情況下，光突出地顯示出其波動性，而在另一些情況下，則突出地顯示其粒子性。愛因斯坦關(guān)系光在傳播過程中，主要表現(xiàn)在波動性；光在與物質(zhì)相互作用時，主要表現(xiàn)在粒子性。對于光子，=c,而m是有限的，所以只能m0=0,即光子是靜止質(zhì)量為零的一種粒子。光子的能量光子的動量光子的質(zhì)量紅光（700nm）1.78eVX射線(0.071nm)

(0.00124nm)經(jīng)100V電壓加速后的電子100eV射線電子的動量電子的質(zhì)量電子的能量康普頓研究X射線在石墨上的散射一．實驗規(guī)律§19．3康普頓效應(yīng)(ComptonEffect)波長大于入射光波長的散射光稱為康普頓散射光；出現(xiàn)康普頓散射光的這種現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)。（>

o）康普頓散射光(ComptonScatteringLight)o：正常光光譜儀測得散射光波長晶體（作光柵）探測器石墨X射線o光譜儀0散射光=90oFe（Z=26）0

稱為電子的康普頓波長二、散射光譜圖同一散射角，不同的散射物，康普頓散射光光強占總光強的比例不同。輕原子比例大.重原子比例小.入射光

=0o00

散射光

=45oLi（Z=3）正常光光強康普頓散射光光強康普頓散射光波長與散射角有關(guān)特點康普頓散射強度與散射物質(zhì)有關(guān)三．理論解釋1.經(jīng)典理論：電磁波通過物體時，會使物體中的帶電粒子受迫振動，受迫振動的頻率和入射光的頻率相同。振動的帶電粒子會向四周輻射電磁波，這就是散射光。且散射光的頻率應(yīng)該和振子頻率相同。即散射光的波長一定等于入射光的波長。2.光子理論：康普頓效應(yīng)是單個X射線光子和晶格中自由電子發(fā)生“彈性碰撞”的結(jié)果；碰撞前后的動量、能量守恒。能量守恒

x方向:動量守恒

y方向:動量守恒考慮：康普頓波長hoxyh光子電子光子電子康普頓散射公式

入射光子和自由電子碰撞時，把一部分能量傳給了電子，因而光子能量減少，頻率降低，波長變長，這就是康普頓散射的實質(zhì)。

散射物質(zhì)中還有許多被原子束縛得很緊的電子。光子與它們的碰撞應(yīng)看做是光子與整個原子的碰撞；由于原子質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于光子的質(zhì)量，彈性碰撞中光子的能量幾乎沒有改變，因而散射光子的能量仍為hv，它的波長也和入射X光的波長相同。

康普頓散射只有在入射波的波長與電子的康普頓波長可以相比擬時，才是顯著的。1927年第五屆索爾威會議愛因斯坦洛侖茲居里夫人普朗克德拜泡利康普頓薛定諤狄拉克埃倫費斯特布喇格玻爾海森伯玻恩朗之萬（世界上智慧最集中的照片）§20.1薛定諤方程(SchrodingerEquation)描述粒子運動的波函數(shù)和粒子所處條件的關(guān)系首先由薛定諤得出，稱為薛定諤方程。一．動量為P、能量為E的自由粒子的薛定諤方程的建立一維自由粒子物質(zhì)波的波函數(shù):第20章薛定諤方程分別對x和t求導(dǎo)

（算符表示）對一維自由粒子：可得一維自由粒子的薛定諤方程：整理后得能量E和動量p的算符表示：三維的：一維自由粒子的薛定諤方程式中：稱為拉普拉斯算符三維自由粒子的薛定諤方程二．薛定諤一般方程當(dāng)粒子處在勢場中時，粒子的能量：與上同樣推導(dǎo)：非自由粒子的薛定諤方程引入哈密頓算符：薛定諤一般方程三．定態(tài)薛定諤方程（StationaryStateSchrodingerEquation）一般地勢場：當(dāng)勢場僅僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)時，相應(yīng)的波函數(shù)可分解為：此時微觀粒子所處的狀態(tài)稱為定態(tài)；波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。滿足的方程即是定態(tài)薛定諤方程。薛定諤一般方程：代入薛定諤一般方程：得（1）（2）兩邊同除=E定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)

波函數(shù)必須是時間、坐標(biāo)的單值、有限、連續(xù)函數(shù)，這稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。在整個空間粒子的概率分布是不隨時間變化的，這就是定態(tài)（穩(wěn)定的態(tài)）的含義。由(1)式可得：由(2)式可得：

量子力學(xué)處理問題的方法1.分析、找到粒子在勢場中的勢能函數(shù)U，寫出薛定諤方程。2.求解，并根據(jù)初始條件、邊界條件和歸一化條件確定常數(shù)。3.由2

得出粒子在不同時刻、不同區(qū)域出現(xiàn)的概率或具有不同動量、不同能量的概率。2.定態(tài)薛定諤方程:令：得

阱內(nèi)：§20.2一維定態(tài)問題一.一維無限深勢阱中的粒子(ParticlesintheOne-dimensioninfinitepotentialwell)

阱外：

必有1.勢函數(shù)(Potentialenergy)

0xU(x)=0aU3.分區(qū)求通解（B

0）

4.由波函數(shù)自然條件和邊界條件定特解0xU(x)=0a

阱外：

阱內(nèi)：（這里：）(A和B系數(shù)待定)方程解：(1)能量本征值（energyeigenvalues)得：

能量取分立值,每一個值對應(yīng)一個能級

當(dāng)時，量子化能量轉(zhuǎn)為連續(xù)能量

最低能量(零點能或基態(tài))En能量或能級是量子化的能量本征值主量子數(shù)波動性(Principlequantumnumber)(2)本征函數(shù)(eigenfunction)由歸一化波函數(shù)求系數(shù)B：能量的本征函數(shù)含時的能量本征函數(shù)由每個本征函數(shù)所描述的粒子的狀態(tài)稱為粒子的能量本征態(tài)。歸一化條件：(3)概率密度當(dāng)時，量子→經(jīng)典當(dāng)a為宏觀距離時，En0,這也相當(dāng)于過渡到經(jīng)典物理學(xué)中連續(xù)能量的情況。

從能級上看：(4)勢阱中粒子的動量粒子的德布羅意波長波長也是量子化的無限深方勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)對應(yīng)于一個德布羅意駐波；并有相應(yīng)的特定波長n

。兩端是波節(jié)的情況——駐波(取實部）例題設(shè)無限深勢阱中粒子的一個量子態(tài)是基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)，而且粒子處于基態(tài)的概率為1/4，第一激發(fā)態(tài)的概率為3/4。求這一疊加態(tài)的概率分布。解：一維無限深勢阱的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為：由題處于各態(tài)的概率，可得疊加態(tài)的波函數(shù)為：此疊加態(tài)的概率分布為：1．梯形勢二、

隧道效應(yīng)(TunnelingEffect)定態(tài)薛定諤方程：0xU=U0U=0EU通解：通解：特解：

電子逸出金屬表面的模型（EU＝U0,衰減解）(EU＝0,振動解）通解：2.隧道效應(yīng)（勢壘貫穿）(PotentialBarrierandTunneling)0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③入射能量E<U0

經(jīng)典理論：粒子不能進(jìn)入E<U0的區(qū)域（動能<0）和穿過勢壘。將完全被彈回。量子理論：粒子可透入勢壘。一維定態(tài)薛定諤方程：①區(qū)：②區(qū)：③區(qū)：穿透概率：0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③待定常數(shù)，由問題的邊界條件和歸一化條件決定①區(qū):波動形式②區(qū):指數(shù)衰減③區(qū):波動形式區(qū)域③中的波函數(shù)不為零。量子隧穿效應(yīng)：在區(qū)域①中的粒子具有穿透勢壘進(jìn)入?yún)^(qū)域③的概率，這種現(xiàn)象稱為量子隧穿效應(yīng)。當(dāng)U0?E=5eV，勢壘寬度a約50nm以上時，此時隧道效應(yīng)穿透系數(shù)會小于6個數(shù)量級以上。此時隧道效應(yīng)實際上已沒有意義了，量子概念過渡到了經(jīng)典。怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)?Δx=a很小時，ΔP很大，使ΔE也很大，以至可以有：

ΔE>U0

?E→

E+ΔE>U0經(jīng)典物理：從能量守恒角度看是不可能的。量子物理：粒子有波動性，遵守不確定關(guān)系。只要勢壘區(qū)寬度Δx=a不是無限大，粒子能量就有不確定量ΔE。0xU=U0U=0EUx1x2U=0①②③1.測樣品表面：控制Ｓ，使I保持恒定；2.分辨樣品表面離散的原子，分辨率橫向0.1nm，縱向0.01nm，電子顯微鏡（0.3~0.5nm）3.重新排列原子（1990年用35個Xe原子在Ni表面拼綴出IBM——納米技術(shù)正式誕生）。3、掃描隧道顯微鏡(STM)(ScanningTunnelingMicroscopy)1982年IBM公司金屬樣品電子云Ub——微小電壓s隧道電流I電子云重疊4.放大倍數(shù)可達(dá)1億倍。

為獲得單個的原子，科學(xué)家們在一真空室內(nèi)設(shè)置了一個“陷阱”，它們將6條激光束聚焦在一個點上，然后注入氣態(tài)銫。當(dāng)一個原子進(jìn)入激光束，便拍攝一張照片，需拍攝上百萬張照片。每當(dāng)一個原子進(jìn)入陷阱，科學(xué)家便用光學(xué)鉗即兩條激光束將其抓住。這兩條光與上述用6條激光束組成的光陷阱不同，因為作為光學(xué)鉗的兩條激光束的光子不僅作為微型球通過這一區(qū)域，在球內(nèi)還有一電場，靠電場的力抓住單個原子。但激光的抓力太弱，為提高抓力，科學(xué)家將激光束聚焦到1/30毫米的一個點上，這樣就可以準(zhǔn)確地在該點上抓住原子。1990年，IBM兩位科學(xué)家用顯微鏡探針移動了吸附在金屬鎳表面上的氙原子，他們經(jīng)過22小時的操作，把35個氙原子排成了“IBM”的字樣。這幾個字母高度約是一般印刷用字母的二百萬分之一，原子間間距只有1.3納米左右。這是人類有目的、有規(guī)律地移動和排布單個原子的開端。48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.Fe原子間距：0.95nm，圓圈平均半徑：7.13nm。1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子，拼成了字母IBM，每個字母長5納米。1991年2月IBM的“原子書法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫”藝術(shù)—“CO小人”圖中每個白團(tuán)是單個CO分子豎在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子CO分子的間距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪稱世界上最小的“小人圖”移動分子實驗的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構(gòu)成新分子的目標(biāo)又前進(jìn)了一步，其內(nèi)在意義目前尚無法估量。三、一維諧振子(one-dimensionharmonicoscillator)1.勢函數(shù)m—振子質(zhì)量，—固有頻率，x—位移2.哈密頓量3.定態(tài)薛定諤方程

能量本征值

能量量子化

能量間隔

最低能量(零點能)2(x)x本征函數(shù)和概率密度n=2的本征函數(shù)n=2的概率密度4.與經(jīng)典諧振子的比較

基態(tài)位置概率分布

量子：在x=0處概率最大

經(jīng)典：在x=0處概率最小量子概率分布→經(jīng)典概率分布能量量子化→能量取連續(xù)值

經(jīng)典諧振子：量子諧振子：一．原子結(jié)構(gòu)和原子光譜玻爾的量子論

(AtomicModelandSpectraTheBohrModel)1．原子的核式結(jié)構(gòu)(Rutherford’sPlanetaryModel)1895年，倫琴發(fā)現(xiàn)了X射線；1896年，發(fā)現(xiàn)了天然放射性；1897年，J.J.湯姆遜從實驗上確認(rèn)了電子的存在。

電子和放射性的發(fā)現(xiàn)揭示出，原子不再是物質(zhì)組成的永恒不變的最小單位§20．3氫原子的量子理論(QuantumMechnicsoftheHydrogenAtom)電子射向原子，應(yīng)該被正電荷吸住。勒納德

湯姆孫原子模型

正電荷

電子實驗事實——高能電子很容易穿過。原子內(nèi)部空虛！但是……1911年提出原子核式模型,并將氫原子核命名為質(zhì)子。1899年鈾放射線中有射線（穿透性弱）；1903年射線是氦元素正離子；1908年射線對金箔散射—大角度散射率1/8000

；原子半徑r～

10-10m核半徑r0～10-15m源準(zhǔn)直器金箔（約400個原子厚度）硫化鋅熒光屏盧瑟福實驗與原子核式模型

(RutherfordScatteringExperimentandNuclearAtomModel)粒子是被質(zhì)量很大的帶正電的原子核所散射！2、原子光譜(AtomicSpectra)

每種原子的輻射都具有一定的頻率成分構(gòu)成的特征光譜，它們是一條離散的譜線，稱為線狀光譜。這種光譜只決定于原子自身，而與溫度和壓力等外界條件無關(guān)，且不同的原子，輻射不同的光譜，因此這稱為原子光譜。巴爾末公式(氫原子光譜1885年)：6562.8紅4861.3藍(lán)紫4340.5氫原子光譜

按經(jīng)典力學(xué)，原子是不穩(wěn)定的，且光譜是連續(xù)譜。但現(xiàn)實世界中的大量原子卻穩(wěn)定地存在著，因此，經(jīng)典物理學(xué)無法解釋原子的穩(wěn)定性問題。其中R稱為里德伯常數(shù)。稱為波數(shù)。氫原子光譜公式：賴曼系(紫外區(qū))里茲并合原理（1908年）：任一條譜線的波數(shù)(1/)都等于該元素所固有的許多光譜項T中的兩項之差，即：氫原子的光譜項：巴爾末系(可見光區(qū))帕邢系(紅外區(qū))玻爾假定(BohrHypothesis)：1）原子有一系列具有一定能量的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱定態(tài)(stablestates)。定態(tài)中的電子，雖做加速運動，但不輻射能量。僅當(dāng)原子從能量大的定態(tài)躍遷(“jump”)到能量小的定態(tài)時，才發(fā)射光子，且發(fā)出的光子能量為：2）定態(tài)是這樣的狀態(tài)，電子繞核公轉(zhuǎn)的角動量只能取分立值，即必須滿足量子化條件：3.玻爾的原子理論（BohrModel)量子論

根據(jù)玻爾假設(shè)，從經(jīng)典電磁理論和牛頓定律即可計算出氫原子的定態(tài)能量，從而得出氫原子所發(fā)的光的頻率。若氫原子中電子繞核作圓周運動，半徑為r,速度為v，則電子受核吸引的庫侖力為:由牛頓定律：原子的總能量：由玻爾的量子化條件：①②③由上三式，可得氫原子繞核運動的軌道半徑和能量。相應(yīng)的定態(tài)時氫原子的能量：氫原子的軌道半徑：r1r2氫原子基態(tài)能量

(groundstateenergy)氫原子能量是分立的，n

稱為主量子數(shù)(PrincipleQuantumNumber)，n愈大，其定態(tài)的能量E愈大，且能級間隔越小，當(dāng)n趨近于無窮大時，能級就連續(xù)了。n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=∞氫原子激發(fā)態(tài)能量

(excitedstateenergies)玻爾理論得到的里德伯常數(shù)和光譜實驗得到的里德伯常數(shù)完全符合。對巴爾末系：電子躍遷時，發(fā)射光子，光子能量為：

玻爾理論：經(jīng)典物理為基礎(chǔ)，加上一些量子化的條件限制；微觀粒子---電子只有應(yīng)用量子力學(xué)才能正確地描述它的運動

玻爾理論能解釋的原子現(xiàn)象有限；

需要一個自洽的、能解釋眾多微觀現(xiàn)象的新理論量子力學(xué)解：第三激發(fā)態(tài)

n=4六條譜線喇曼系3條——紫外線巴耳末系2條——可見光帕邢系1條——紅外線n=4n=3n=2n=1例1：處于第三激發(fā)態(tài)的氫原子，可能發(fā)出的光譜線有多少條？其中可見光譜線有幾條？喇曼系(紫外線)巴耳末系(可見光)帕邢系(紅外線)二、氫原子的量子力學(xué)處理方法

(QuantumMechanicsoftheHydrogenAtom)1、氫原子的薛定諤方程

(SchrodingerEquationfortheHydrogenAtom)勢能此勢能與時間無關(guān)，電子處于定態(tài)。應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程：氫原子滿足的薛定諤方程是：目的：對于任意給定的E值，找出滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的上述方程的解，在求解過程中自然地得到一些量子化條件。球坐標(biāo)下的氫原子的定態(tài)薛定諤方程：其中：在球坐標(biāo)(r,,)下：yzxOr設(shè)氫原子的波函數(shù)為：(:分離變量過程中引入的待定參數(shù))通過分離變量將方程分解為分別與變量r、、有關(guān)的3個方程。定態(tài)薛定諤方程化可化為關(guān)于三個變量r,θ,φ的分離方程。用分離變量法求解：解③時利用波函數(shù)單值(具有周期性)的條件，要求ml=0，±1，±2，±3……解②時利用波函數(shù)應(yīng)該有限的條件，要求

l=0，1，2，3……并且即ml=0，±1，±2，±3……±l并且l<nl=0，1，2……n-1解①時為保證波函數(shù)R有限、連續(xù)的條件，要求n=1，2，3……①②③yzxOr方程解為：其中：這里：n

=1,2,3…主量子數(shù)(PrincipleQuantumNumber)l=0,1,2,…n–1軌道量子數(shù)(角量子數(shù))

(OrbitalQuantumNumber)ml=0,±1,±2,…±l

軌道磁量子數(shù)(磁量子數(shù)）

(OrbitalMagneticQuantumNumber)

2．量子化條件(Quantization)

能量量子化

求解R(r)時，為了使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，則電子（或說是整個原子）的能量只能是分立的。

n

稱為主量子數(shù)。能級間隔隨n

增大而很快地減小，最低的能級（n＝1）稱為基態(tài)(groundstate)。n＝2的能級稱為第一激發(fā)態(tài)(excitedstate),以此類推。這里：稱為玻爾半徑。電離能(IonizationEnergy):電離一個基態(tài)氫原子需要13.6eV

能量；電離一個第一激發(fā)態(tài)氫原子需要3.4eV

能量。n

=1

基態(tài)65432激發(fā)態(tài)L.S.（賴曼系）B.S.（巴爾末系）P.S.（帕刑系）-13.6eV-3.4eV具有確定能量的原子不輻射電磁波；僅當(dāng)電子在不同的“軌道”之間躍遷或者說在不同的能級間躍遷時才輻射。n=1、2、3、4……量子態(tài)：K、L、M、N……氫原子n—主量子數(shù)(Principlequantumnumber)

角動量量子化(QuantizationofOrbitalAngularMomentum)由關(guān)于()方程的求解，可得原子中電子繞原子核旋轉(zhuǎn)的角動量也是量子化的。

l稱為軌道量子數(shù)或角量子數(shù)。對應(yīng)同一個n值，l

有不同的取值，但可取n

個值；所以能量相同的電子的角動量可不同。如氫原子的n＝4能級角量子數(shù):如：3p電子就是電子處在n=3,l=1

的量子態(tài)上。量子態(tài):

角動量分量量子化

(Quantizationofcomponentoforbitalangularmomentum)由關(guān)于()方程的求解，可得角動量沿空間某一方向，如沿Z軸(外磁場)正向的分量也是量子化。ml稱為磁量子數(shù)，對一定的l，ml

可取2l+1個值。此角動量分量量子化表示了氫原子中電子的角動量特性。

當(dāng)存在外磁場時，即原子是放在外磁場中時，一般地把Z

軸選擇為外磁場的方向，所以ml

稱為磁量子數(shù)。例2：已知l=2，求L、ml和LZ。解：Zml

=0ml

=1ml

=-1ml

=2ml

=-2基態(tài)n=1n2=1——

100第一激發(fā)態(tài)n=2n2=4——

2lm？

l=0

——ml

=0——ml

=0、1l=1——2

00

21

0

21-1

211——當(dāng)n、l、ml

三個量子數(shù)一定，能量E、角動量L和角動量在外磁場方向的分量Lz都具有確定的值，此時電子的狀態(tài)可用n、l、ml

三個量子數(shù)表示，相應(yīng)的氫原子的狀態(tài)可用波函數(shù)表示。對確定能級En電子有n2

種可能狀態(tài)：能級簡并：四重簡并在半徑為r和r+dr的兩球面間的體積內(nèi)電子出現(xiàn)的概率為：

3．概率密度(ProbabilityDensity)對于氫原子基態(tài)（1，0，0），概率分布是球?qū)ΨQ的，可得同樣，對(2,0,0)態(tài)，其波函數(shù)也是球?qū)ΨQ分布，概率為：對基態(tài)氫原子，其概率密度是球?qū)ΨQ分布，我們考慮電子徑向概率密度P(r).電子徑向概率分布圖（ElectronRadialProbabilityDistributions)P21P10P20a0—氫原子玻爾半徑(1)半徑為a0的球面附近發(fā)現(xiàn)1s電子的可能性最大。(2)

2s電子在半徑為5a0的球面附近出現(xiàn)的概率最大；不可能在2a0處出現(xiàn)。(3)尋找2p電子最好在半徑為4a0的球面處。圖中信息1

2345678r/a0P例3已知氫原子基態(tài)波函數(shù)求：電子處于半徑為a0的球面內(nèi)的概率P0解：概率密度100=|

100|2，電子處于半徑為r

、厚度為dr的殼層內(nèi)的概率為在半徑為a0的球面內(nèi)的概率為：dP=1004r2dr一、電子的自旋

電子繞核運動形成電流，因而具有磁矩，稱為軌道磁矩，它和軌道角動量的關(guān)系為：因為軌道角動量是量子化的，所以磁矩也是量子化的。斯特恩－蓋拉赫實驗（1921）具有磁矩的原子在不均勻磁場中會因受到的磁力而發(fā)生偏轉(zhuǎn)：

軌道運動磁矩在不均勻磁場中(2l＋1)

基態(tài)銀原子l＝0應(yīng)無偏轉(zhuǎn)但卻有上下對稱的兩條原子沉積分裂射線的偏轉(zhuǎn)表明：電子還應(yīng)具有自旋角動量.

設(shè)自旋角量子數(shù)為ss1s2SNPAg原子射線源§20.4電子的自旋、泡利原理、原子的殼層結(jié)構(gòu)(ElectronSpin、

PauliExclusionPrincipleandElectronicStructureofComplexAtoms)

電子除軌道運動外，還有自旋運動，相應(yīng)地有自旋角動量和自旋磁矩，分別用和表示。自旋角動量是量子化的，即：

s

稱為自旋量子數(shù)，只有1個值：電子自旋角動量S在外磁場方向的投影為：ms稱為自旋磁量子數(shù)，它只能取兩個值：

處于原子中做核外運動的電子，同時有軌道角動量L和自旋角動量S；這時描述電子的量子狀態(tài)用總角動量J：總角動量量子數(shù)用j

表示：電子的自旋磁矩s

與自旋角動量S有如下關(guān)系：在Z方向的投影為：（式中B為玻爾磁子）由電磁學(xué)理論，磁場中磁矩的能量Es為：對不受外磁場作用的孤立原子來說，電子的能量狀態(tài)由下式?jīng)Q定：原來一個能級，由于軌道運動與自旋運動的耦合，就分裂成兩個能級，并進(jìn)而造成光譜的分裂。鈉黃光雙線：這就是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。(這里的B是電子的自旋磁矩所感受到的磁感應(yīng)強度，它是原子內(nèi)部運動所產(chǎn)生的)電子除了軌道運動外，還有自旋運動

關(guān)于原子中各個電子的運動狀態(tài)，量子力學(xué)給出的一般結(jié)論是：電子運動狀態(tài)由四個量子數(shù)決定。1)主量子數(shù)nn＝1，2，3….它大體上決定了原子中