振動分析基礎(chǔ)第

振動分析基礎(chǔ)第第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院

復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可通過模態(tài)分析技術(shù)轉(zhuǎn)化為一組獨立的二階常微分方程，其中每一個方程都類似于單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。因此，對單自由度系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)深入的分析是十分必要的。第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2.1

單自由度系統(tǒng)

構(gòu)成離散模型的元素有三個：慣性元件m質(zhì)量元件則看作剛體等效集中質(zhì)量彈性元件k通常假定彈簧為無質(zhì)量元件等效集中剛度阻尼元件c阻尼器一般也假設(shè)為無質(zhì)量粘性阻尼激振力p(t)第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院一、單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程

單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由下圖表示，用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院衰減系數(shù)固有角頻率固有頻率周期有阻尼固有角頻率二、自由振動第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1、臨界阻尼振動系統(tǒng)臨界阻尼阻尼比第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2、無阻尼振動系統(tǒng)固有角頻率有阻尼固有角頻率阻尼比第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院3、減幅阻尼振動系統(tǒng)第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院對數(shù)衰減率第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院對數(shù)衰減率第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院例：實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼。第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院4、負(fù)阻尼振動系統(tǒng)第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院三、受迫振動第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1.受迫振動的頻率在簡諧激振力作用下，系統(tǒng)的受迫振動是簡諧振動，振動的頻率等于激振力的頻率。2．受迫振動的振幅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小及頻率，而與初始條件無關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。

第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院(1)當(dāng)頻率比很小，即激振頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時，無論阻尼的大小如何，動力放大因子都趨近于1，受迫振動的振幅近似等于與激振力幅值相等的靜力作用下系統(tǒng)的靜變位，因此這個區(qū)域有時稱為“準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)”。第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院（2）當(dāng)頻率比很大，即激振頻率遠(yuǎn)高于系統(tǒng)的固有頻率時，動力放大因子很小并逐漸趨近于零，受迫振動的振幅主要決定于系統(tǒng)的慣性而阻尼的影響不大，因此，這個區(qū)域有時稱為“慣性區(qū)”。第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院（3）當(dāng)頻率比λ≈1，即激振頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時，動力放大因子β迅速增大，受迫振動的振幅急劇增加。在阻尼較小的情況下，振幅A可以比靜變位大很多倍，在無阻尼的情況下，振幅為無窮大。通常我們把激振頻率與系統(tǒng)固有頻率相等（λ＝1）的振動狀態(tài)稱為共振，λ＝1附近的區(qū)域稱為“共振區(qū)”。在共振區(qū)內(nèi)阻尼的影響很大，阻尼越小共振表現(xiàn)得越強(qiáng)烈，因此共振區(qū)也稱為“阻尼區(qū)”。第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院3.受迫振動的位移與激振力有相位差，它們不是同時達(dá)到最大值和零值。相位差的數(shù)值與系統(tǒng)的阻尼及頻率比的關(guān)系。共振（λ＝1）時，無論系統(tǒng)的阻尼大小，振動位移總是比激振力滯后90o，即相位差φ＝90o。若系統(tǒng)無阻尼，當(dāng)ω＜ω。時，振動位移與激振力同相位（φ＝0o）當(dāng)ω＞ω。時，振動位移與激振力相位相反（Φ＝180o）。在共振點前后相位發(fā)生突然的變化。

第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院若系統(tǒng)有阻尼，振動位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增大，不會發(fā)生突然的變化，但在共振點前后變化較大。系統(tǒng)阻尼越小，共振點附近相位差隨頻率的變化越大。振動測試中，常應(yīng)用共振點前后響應(yīng)與激振力之間的相位差發(fā)生較大變化這個事實作為確定共振點的一個指標(biāo)。第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院4.根據(jù)實測的幅頻特性曲線可計算出系統(tǒng)的阻尼。系統(tǒng)共振時（λ＝1）的動力放大因子有時稱為系統(tǒng)的“品質(zhì)因數(shù)”以符號Q表示，也是一個常用來描述系統(tǒng)阻尼特性的量，Q值越大阻尼越小。Q的近似值可由實測的幅頻特性曲線計算出來。第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院稱為半功率點。半功率點所對應(yīng)頻率之差稱為半功率點帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點帶寬第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

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由于阻尼耗散的能量與振幅的平方成正比，故P點常稱為半功率點，半功率點公式提供了一種確定系統(tǒng)阻尼比的實用方法，由以上分析可見，當(dāng)阻尼大時，帶寬△。就寬，過共振時振輻變化平緩，振幅較小，反之，阻尼小時，帶寬就窄，過共振時振幅變化較陡，振幅就大。所以，品質(zhì)因數(shù)Q反映了系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱性質(zhì)和共振峰的陡峭程度。在機(jī)床系統(tǒng)中，為了過共振時比較平穩(wěn)，希望Q值小些。

第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院以O(shè)B為直徑所作的圓叫“等頻率圓”，圓上每一點的頻率相等，虛軸代表λ

＝1，復(fù)頻響應(yīng)曲線同時表示了幅頻特性和相頻特性，因此稱為幅相特性曲線（或諧響應(yīng)軌跡）有時也應(yīng)用“控制工程”的名稱，稱為乃奎斯特圖或矢端圖。

第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院在復(fù)平面上，用復(fù)矢量將運(yùn)動方程中的各項表示出來，可以使我們對系統(tǒng)在振動過祖中的受力情況有一個形象的了解。第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

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任何真實的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，在振動過程中總會受到某種阻力的作用。阻力的種類很多，如兩個相對運(yùn)動表面之間的摩擦力、空氣或液體的阻力、材料的內(nèi)摩擦力等等，這些阻力統(tǒng)稱為阻尼。系統(tǒng)在振動過程中，阻尼要耗散能量，因而使自由振動逐漸衰減，使共振振幅不可能無限制的增大。當(dāng)系統(tǒng)作稱態(tài)受迫振動時，阻尼所耗散的能量必定等于外部激振力對系統(tǒng)所作的功四、系統(tǒng)的阻尼第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院1、激振力作功第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

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簡諧激振力每周作功的大小，不僅決定于力幅與振幅的大小，還決定于兩者之間的相位差。第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2、阻尼力作功第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院可以證明阻尼力所作的功等于激振力所作的功3、等效的粘性阻尼

由于粘性阻尼是線性阻尼，在數(shù)學(xué)上最容易處理，因此其它性質(zhì)的非線性阻尼常常用等效的粘性阻尼來代替。等效粘性阻尼根據(jù)這樣的原則確定：在一個振動周期中等效粘性阻尼所耗散的能量與它所代替的阻尼所耗散的能量相等。第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院干摩擦力F一般說是一個常力。它在整個受迫振動過程中大小不變，但方向始終與運(yùn)動方向相反。當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大偏離位置時，即在1/4周期內(nèi)，摩擦力作功為FA。從最大偏離位置返回時運(yùn)動方向相反，摩擦力也隨著反向，在1/4周期內(nèi)仍作功FA.以后每1/4周都如此，所以一個整周期中作功總和為1）干摩擦阻尼第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2）結(jié)構(gòu)阻尼

結(jié)構(gòu)阻尼是由于不完全彈性材料的內(nèi)摩擦所引起的一種阻尼，大量的試驗表明，在一個振動周期中，由于材料內(nèi)摩擦所耗散的能量等于材料的應(yīng)力一應(yīng)變遲砌國線所包圍的面積，近似地與振幅的平方成正比。第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院

簡諧激振不僅是周期性的，還是諧和的，是周期性激振的最簡單情況。實踐中，還經(jīng)常碰到這樣的激振，它雖然是周期的，但卻不是諧和的，激振隨時間的變化規(guī)律不能僅用一項正弦或余弦函數(shù)表達(dá)出來。解決這類間題的有效方法是將非諧周期性激振展開成傅里葉級數(shù)，然后利用疊加原理。任何周期函數(shù)都可展開成傅里葉級數(shù)（三角級數(shù)）的形式。

五、非諧周期性激振第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期五HarbinInstituteofTechnology機(jī)械動力學(xué)

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系統(tǒng)對周期性激振的響應(yīng)也是周期性的，響應(yīng)的周期與激振的周期相同。如果激振f(t)的某次諧波分量的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率，則系統(tǒng)也將發(fā)生共振。所以，單自由度系統(tǒng)不僅在受