《高等工程數(shù)學(xué)》吳孟達(dá)版習(xí)題答案（其次章）

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1．求以下矩陣的特征值、代數(shù)重?cái)?shù)核幾何重?cái)?shù)，并判斷矩陣是否可對(duì)角化

?1－10??0－1－1??411?????（3）?030?

1（1）020（2）12?????????3??112???21??－102??解：（1）特征值：

?1＝1(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為1)，?2＝?3＝2(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為2)

可對(duì)角化。（2）特征值：

?1＝1(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為1)，?2＝?3＝2(代數(shù)重?cái)?shù)為2和幾何重?cái)?shù)為1)

不可對(duì)角化。（3）特征值：

?1＝?2＝?3＝3(代數(shù)重?cái)?shù)為3、幾何重?cái)?shù)均為1)

不可對(duì)角化。

2．求以下矩陣的不變因子、初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

?1

7－3??3?411??0

??（2）?030?（3）?2（1）－2－5?????0

????－102－4－103??????0

21003210

?34??1??3?

（4）?02??0??1???0000?3000??01－10?

?0020?0112??0解：（1）不變因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-1)(?-i)(??i)

初等因子是：(?-1),(?-i),(??i)

?100???Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是：0i0????00?i??3（2）不變因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝(?-3)

初等因子是：(?-3)

3?310???Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是：031????003??

4（3）不變因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-1)

初等因子是：(?-1)

4?1

?0

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是：?

?0??0

11000110

0?0??1??1?

（4）不變因子是：d1＝1,d2＝1,d3＝1,d4＝(?-2)（?-3），d5＝(?-1)(?-2)（?-3）

初等因子是：(?-2)，（?-3），(?-1)，(?-2)，（?-3）

?1?0?Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是：?0??0??0

0000?2000??0200?

?0030?0003??0??1－10??－33－1??01??????3．設(shè)（1）A＝020（2）A＝－76－1（3）A＝11－1??????????122???0－11???1－13??求可逆矩陣P，使得P1AP是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

－

解：（1）A的特征值為?1＝，1?2＝?3＝2

對(duì)應(yīng)的特征向量是：?1＝(1，0,-1)T,?2＝(0,0,1)T

(2)二級(jí)根向量是：?2＝(-1,1,0)T

?10?1??(2)P?(?1,?2,?2)＝?001????-110??

100???P?1AP??021????002??（2）A的特征值為?1＝?2＝?3＝2對(duì)應(yīng)的特征向量是：?1＝(1，2,1)T

(2)(3)二級(jí)根向量和三級(jí)根向量是：?1＝(1,3,3)T,?1＝(0,2,2)T

?110??P?(?1,?1(2),?1(3))＝?232????132??

?210??P?1AP??021????002??（3）此題數(shù)據(jù)不便于求解特征值，A的特征多項(xiàng)式是：

?10???????3?2?2－?＋1

1f(?)?|?I?A|＝?1??1???1??1??0?

4．試求第2題最小多項(xiàng)式。

解：（1）最小多項(xiàng)式是：mA(?)?(?-1)(?-i)(??i)

3（2）最小多項(xiàng)式是：mA(?)?(?-3)4（3）最小多項(xiàng)式是：mA(?)?(?-1)

（4）最小多項(xiàng)式是：mA(?)?(?-1)(?-2)(?-3）

?102???5．設(shè)A＝0?11，計(jì)算方陣多項(xiàng)式g(A)＝2A8?3A5?A4?A2?4I????010??解：由于：

g(?)＝2?8?3?5??4??2?4?(2??4??5??9??14)(??2??1)?(24??37??10)而f(?)?(??2??1)是A的特征多項(xiàng)式，所以f（A）＝0

353232

??348?26???295?61?故有g(shù)(A)＝24A?37A?10I??0?0?6134???

－

6．設(shè)A是可逆方陣，證明A1可表示為A的方陣多項(xiàng)式。證明：設(shè)A是n階方陣，其特征多項(xiàng)式是：

f(?)?a0?n?a1?n?1?...?an?1??an

因A可逆，所以an?0（為什么？自己證明）由f(A)?a0An?a1An?1?...?an?1A?anI?0得

A?1?(a0An?1?a1An?2?...?an?1I)/an

所以A

－1

可表示為A的多項(xiàng)式。

7．設(shè)A?0，Ak?0(k?2)，證明A不能與對(duì)角矩陣相像。

證明：由題設(shè)知，A的最小多項(xiàng)式是：mA(?)??2，有重根，所以不能相像對(duì)角化。

8．已知Ap?I(p為正整數(shù))，證明A與對(duì)角矩陣相像。

證明：由題設(shè)知，g(?)??p?1是A的零化多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式g(?)??p?1沒(méi)有重根（為什么？自己證！?。?，所以A的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根，故與對(duì)角矩陣相像

9．設(shè)A?A，試證A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是diag{1,1,…,1,0,…,0}

證明：由于g(?)????是A的零化多項(xiàng)式，且是最小多項(xiàng)式，所以A的特征值只能是0和1，且可對(duì)角化，所以A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是diag{1,1,…,1,0,…,0}10．

設(shè)方陣A的特征多項(xiàng)式f(?)和最小多項(xiàng)式m(?)分別為：

422222（1）f(?)?(??2)(??3),m(?)?(??2)(??3)（2）f(?)?(??3)(??5),m(?)?(??3)(??5)試確定A的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解：（1）A的可能Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為

332?2??21??2