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本文格式為Word版,下載可任意編輯——《高等工程數(shù)學(xué)》吳孟達(dá)版習(xí)題答案(其次章)《高等工程數(shù)學(xué)》――科學(xué)出版社版習(xí)題答案(其次章)
(此習(xí)題答案僅供學(xué)員作業(yè)時(shí)參考。因時(shí)間匆忙,有錯(cuò)之處敬請(qǐng)指正,感謝?。?lián)系地址:yangwq@)P50
1.求以下矩陣的特征值、代數(shù)重?cái)?shù)核幾何重?cái)?shù),并判斷矩陣是否可對(duì)角化
?1-10??0-1-1??411?????(3)?030?
1(1)020(2)12?????????3??112???21??-102??解:(1)特征值:
?1=1(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為1),?2=?3=2(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為2)
可對(duì)角化。(2)特征值:
?1=1(代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)均為1),?2=?3=2(代數(shù)重?cái)?shù)為2和幾何重?cái)?shù)為1)
不可對(duì)角化。(3)特征值:
?1=?2=?3=3(代數(shù)重?cái)?shù)為3、幾何重?cái)?shù)均為1)
不可對(duì)角化。
2.求以下矩陣的不變因子、初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
?1
7-3??3?411??0
??(2)?030?(3)?2(1)-2-5?????0
????-102-4-103??????0
21003210
?34??1??3?
(4)?02??0??1???0000?3000??01-10?
?0020?0112??0解:(1)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=(?-1)(?-i)(??i)
初等因子是:(?-1),(?-i),(??i)
?100???Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是:0i0????00?i??3(2)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=(?-3)
初等因子是:(?-3)
3?310???Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是:031????003??
4(3)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=1,d4=(?-1)
初等因子是:(?-1)
4?1
?0
Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是:?
?0??0
11000110
0?0??1??1?
(4)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=1,d4=(?-2)(?-3),d5=(?-1)(?-2)(?-3)
初等因子是:(?-2),(?-3),(?-1),(?-2),(?-3)
?1?0?Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是:?0??0??0
0000?2000??0200?
?0030?0003??0??1-10??-33-1??01??????3.設(shè)(1)A=020(2)A=-76-1(3)A=11-1??????????122???0-11???1-13??求可逆矩陣P,使得P1AP是Jordan標(biāo)準(zhǔn)形
-
解:(1)A的特征值為?1=,1?2=?3=2
對(duì)應(yīng)的特征向量是:?1=(1,0,-1)T,?2=(0,0,1)T
(2)二級(jí)根向量是:?2=(-1,1,0)T
?10?1??(2)P?(?1,?2,?2)=?001????-110??
100???P?1AP??021????002??(2)A的特征值為?1=?2=?3=2對(duì)應(yīng)的特征向量是:?1=(1,2,1)T
(2)(3)二級(jí)根向量和三級(jí)根向量是:?1=(1,3,3)T,?1=(0,2,2)T
?110??P?(?1,?1(2),?1(3))=?232????132??
?210??P?1AP??021????002??(3)此題數(shù)據(jù)不便于求解特征值,A的特征多項(xiàng)式是:
?10???????3?2?2-?+1
1f(?)?|?I?A|=?1??1???1??1??0?
4.試求第2題最小多項(xiàng)式。
解:(1)最小多項(xiàng)式是:mA(?)?(?-1)(?-i)(??i)
3(2)最小多項(xiàng)式是:mA(?)?(?-3)4(3)最小多項(xiàng)式是:mA(?)?(?-1)
(4)最小多項(xiàng)式是:mA(?)?(?-1)(?-2)(?-3)
?102???5.設(shè)A=0?11,計(jì)算方陣多項(xiàng)式g(A)=2A8?3A5?A4?A2?4I????010??解:由于:
g(?)=2?8?3?5??4??2?4?(2??4??5??9??14)(??2??1)?(24??37??10)而f(?)?(??2??1)是A的特征多項(xiàng)式,所以f(A)=0
353232
??348?26???295?61?故有g(shù)(A)=24A?37A?10I??0?0?6134???
-
6.設(shè)A是可逆方陣,證明A1可表示為A的方陣多項(xiàng)式。證明:設(shè)A是n階方陣,其特征多項(xiàng)式是:
f(?)?a0?n?a1?n?1?...?an?1??an
因A可逆,所以an?0(為什么?自己證明)由f(A)?a0An?a1An?1?...?an?1A?anI?0得
A?1?(a0An?1?a1An?2?...?an?1I)/an
所以A
-1
可表示為A的多項(xiàng)式。
7.設(shè)A?0,Ak?0(k?2),證明A不能與對(duì)角矩陣相像。
證明:由題設(shè)知,A的最小多項(xiàng)式是:mA(?)??2,有重根,所以不能相像對(duì)角化。
8.已知Ap?I(p為正整數(shù)),證明A與對(duì)角矩陣相像。
證明:由題設(shè)知,g(?)??p?1是A的零化多項(xiàng)式,而多項(xiàng)式g(?)??p?1沒(méi)有重根(為什么?自己證!?。?,所以A的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根,故與對(duì)角矩陣相像
9.設(shè)A?A,試證A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是diag{1,1,…,1,0,…,0}
證明:由于g(?)????是A的零化多項(xiàng)式,且是最小多項(xiàng)式,所以A的特征值只能是0和1,且可對(duì)角化,所以A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是diag{1,1,…,1,0,…,0}10.
設(shè)方陣A的特征多項(xiàng)式f(?)和最小多項(xiàng)式m(?)分別為:
422222(1)f(?)?(??2)(??3),m(?)?(??2)(??3)(2)f(?)?(??3)(??5),m(?)?(??3)(??5)試確定A的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解:(1)A的可能Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為
332?2??21??2
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