概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題解答概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第1頁(共57頁)

第一章隨機事件及其概率

1.寫出以下隨機試驗的樣本空間：

（1）同時擲兩顆骰子，記錄兩顆骰子的點數(shù)之和；（2）在單位圓內(nèi)任意一點，記錄它的坐標；

（3）10件產(chǎn)品中有三件是次品，每次從其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出為止，記錄抽取的次數(shù)；（4）測量一汽車通過給定點的速度.解所求的樣本空間如下

（1）S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S={(x,y)|x2+y20}

2.設(shè)A、B、C為三個事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示以下事件：（1）A發(fā)生，B和C不發(fā)生；

（2）A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；（3）A、B、C都發(fā)生；（4）A、B、C都不發(fā)生；（5）A、B、C不都發(fā)生；

（6）A、B、C至少有一個發(fā)生；（7）A、B、C不多于一個發(fā)生；（8）A、B、C至少有兩個發(fā)生.解所求的事件表示如下

(1)ABC

(2)ABC(6)A(3)ABC(4)ABC

(5)ABC(7)AB(8)ABBACCACBCBC3．在某小學(xué)的學(xué)生中任選一名，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是三年級學(xué)生，事件C表示該學(xué)生是運動員，則（1）事件AB表示什么？

（2）在什么條件下ABC=C成立？

（3）在什么條件下關(guān)系式C?B是正確的？

（4）在什么條件下A?B成立？解所求的事件表示如下

（1）事件AB表示該生是三年級男生，但不是運動員.（2）當全校運動員都是三年級男生時，ABC=C成立.

（3）當全校運動員都是三年級學(xué)生時，關(guān)系式C?B是正確的.（4）當全校女生都在三年級，并且三年級學(xué)生都是女生時，A?B成立.4．設(shè)P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，試求P(AB)解由于A?B=A–AB,P(A)=0.7所以

P(A?B)=P(A?AB)=P(A)??P(AB)=0.3,

所以P(AB)=0.4,故P(AB)=1?0.4=0.6.

5.對事件A、B和C，已知P(A)=P(B)＝P(C)＝，P(AB)=P(CB)=0,P(AC)=解由于ABC?AB,P(AB)?0,故P(ABC)=0

則P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(BC)–P(AC)+P(ABC)????0?0??0?141求A、B、C中至少有一個發(fā)生的概率.81114441858

6.設(shè)盒中有α只紅球和b只白球，現(xiàn)從中隨機地取出兩只球，試求以下事件的概率：A＝{兩球顏色一致}，B＝{兩球顏色不同}.

2解由題意，基才能件總數(shù)為Aaa?Ab，有利于B的事件數(shù)為AaAb?AbAa?2AaAb,?b，有利于A的事件數(shù)為A2Aa?Ab2則P(A)?2Aa?b112AaAbP(B)?2

Aa?b22111111

7.若10件產(chǎn)品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次從中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次從中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解（1）設(shè)A={取得三件次品}則

33C3A316P(A)?3?.或者P(A)?3?C10120A10720（2）設(shè)B={取到三個次品},則

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第2頁(共57頁)

3327P(A)?3?.

101000

8.某旅行社100名導(dǎo)游中有43人會講英語，35人會講日語，32人會講日語和英語，9人會講法語、英語和日語，且每人至少會講英、

日、法三種語言中的一種，求：

（1）此人會講英語和日語，但不會講法語的概率；（2）此人只會講法語的概率.

解設(shè)A={此人會講英語},B={此人會講日語},C={此人會講法語}

根據(jù)題意,可得

(1)P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?

(2)P(ABC)?P(AB)?P(ABC)

32923??100100100?P(A?B)?0?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

43353254?1????

100100100100

9.罐中有12顆圍棋子，其中8顆白子4顆黑子，若從中任取3顆，求：（1）取到的都是白子的概率；

（2）取到兩顆白子，一顆黑子的概率；

（3）取到三顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（4）取到三顆棋子顏色一致的概率.解

(1)設(shè)A={取到的都是白子}則

3C814P(A)?3??0.255.

C1255(2)設(shè)B={取到兩顆白子,一顆黑子}

1C82C4P(B)??0.509.3C12(3)設(shè)C={取三顆子中至少的一顆黑子}

?0.7P(C)?1?P(A).4

(4)設(shè)D={取到三顆子顏色一致}

33C8?C4P(D)??0.273.3C12

10.（1）500人中，至少有一個的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日計算)？（2）6個人中，恰好有個人的生日在同一個月的概率是多少？解

(1)設(shè)A={至少有一個人生日在7月1日},則

364500?0.746P(A)?1?P(A)?1?500365(2)設(shè)所求的概率為P(B)

41C6?C1?1122?0.0073P(B)?126

11.將C，C，E，E，I，N，S7個字母隨意排成一行，試求恰好排成SCIENCE的概率p.

227解由于兩個C，兩個E共有A2，因此有A2種排法，而基才能件總數(shù)為A722A2A2p??0.0007947A7

12.從5副不同的手套中任取款4只，求這4只都不配對的概率.

4解要4只都不配對，我們先取出4雙，再從每一雙中任取一只，共有C5?24中取法.設(shè)A={4只手套都不配對}，則有

C54?2480P(A)?4?210C10

13.一實習生用一臺機器接連獨立地制造三只同種零件，第i只零件是不合格的概率為pi?品的個數(shù)，則P(x=2)為多少？

解設(shè)Ai={第i個零件不合格}，i=1,2,3,則P(Ai)?pi?所以P(Ai)?1?pi?1，i=1，2，3，若以x表示零件中合格1?i11?ii1?iP(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

由于零件制造相互獨立，有：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第3頁(共57頁)

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

11112111311所以,P(x?2)??????????

23423423424

14.假設(shè)目標出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7，這時射擊命中目標的概率為0.6，試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標的概率p.解設(shè)A={目標出現(xiàn)在射程內(nèi)}，B={射擊擊中目標}，Bi={第i次擊中目標},i=1,2.

則P(A)=0.7,P(Bi|A)=0.6另外B=B1+B2，由全概率公式

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)

?P(A)P((B1?B2)|A)另外,由于兩次射擊是獨立的,故

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.36由加法公式

P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)=P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84=0.588

15.設(shè)某種產(chǎn)品50件為一批，假使每批產(chǎn)品中沒有次品的概率為0.35，有1，2，3，4件次品的概率分別為0.25,0.2,0.18,0.02，今從

某批產(chǎn)品中抽取10件，檢查出一件次品，求該批產(chǎn)品中次品不超過兩件的概率.解設(shè)Ai={一批產(chǎn)品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件檢查出一件次品},

C={產(chǎn)品中次品不超兩件},由題意

P(B|A0)?019C1C491P(B|A1)??10C505

P(B|A2)?CCC129481050?1649

19C3C4739P(B|A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303由于A0,A1,A2,A3,A4構(gòu)成了一個完備的事件組,由全概率公式P(B)??PA(iP)B(Ai|?)i?040.196由Bayes公式

P(A0)P(B|A0)?0P(B)P(A1)P(B|A1)P(A?0.2551|B)?P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故

P(C)??P(Ai|B)?0.588

i?02

16.由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物品損壞2%，10%和90%的概率分別為0.8，0.15，0.05，現(xiàn)在從中隨機地取三件，發(fā)現(xiàn)

三件全是好的，試分析這批物品的損壞率是多少（這里設(shè)物品件數(shù)好多，取出一件后不影響下一件的概率）.

解設(shè)B={三件都是好的}，A1={損壞2%},A2={損壞10%},A1={損壞90%}，則A1,A2,A3是兩兩互斥,且A1+A2+A3=Ω,P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05.

因此有P(B|A1)=0.983,P(B|A2)=0.903,P(B|A3)=0.13,由全概率公式

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?13

?0.8?0.983?0.15?0.903?0.05?0.103?0.8624由Bayes公式,這批貨物的損壞率為2%,10%,90%的概率分別為

P(Ai)PB(A|iP(A1|B)?P(B))0.8?0.398??0.87310.8624

P(Ai)PB(A|iP(A2|B)?P(B)P(Ai)PB(A|iP(A3|B)?P(B))0.1?50.390??0.12680.8624)0.0?50.310??0.00010.8624由于P(A1|B)遠大于P(A3|B),P(A2|B),因此可以認為這批貨物的損壞率為0.2.

17.驗收成箱包裝的玻璃器皿，每箱24只裝，統(tǒng)計資料說明，每箱最多有兩只殘次品，且含0，1和2件殘次品的箱各占80%，15%和

5%，現(xiàn)在隨意抽取一箱，隨意檢查其中4只；若未發(fā)現(xiàn)殘次品，則通過驗收，否則要逐一檢驗并更換殘次品，試求：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第一章第4頁(共57頁)

（1）一次通過驗收的概率α；

（2）通過驗收的箱中確定無殘次品的概率β.

解設(shè)Hi={箱中實際有的次品數(shù)},i?0,1,2,A={通過驗收}

則P(H0)=0.8,P(H1)=0.15,P(H2)=0.05,那么有：

P(A|H0)?1,4C235P(A|H1)?4?,C2464C2295P(A|H2)?4?C24138

(1)由全概率公式

??P(A)??P(Hi)P(A|Hi)?0.96

i?02(2)由Bayes公式得

??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)0.8?1??0.83

P(A)0.9618.一建筑物內(nèi)裝有5臺同類型的空調(diào)設(shè)備，調(diào)查說明，在任一時刻，每臺設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻

（1）恰有兩臺設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有三臺設(shè)備被使用的概率是多少？

解設(shè)5臺設(shè)備在同一時刻是否工作是相互獨立的,因此此題可以看作是5重伯努利試驗.由題意，有p=0.1,q=1?p=0.9,故

2(1)P)2(0.9)3?0.07291?P5(2)?C5(0.1(2)P2?P5(3)?P5(4)?P5(5)345?C5(0.1)3(0.9)2?C5(0.1)4(0.9)1?C5(0.1)5(0.9)0?0.00856

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）其次章第5頁(共57頁)

其次章隨機變量及其分布

1.有10件產(chǎn)品，其中正品8件，次品兩件，現(xiàn)從中任取兩件，求取得次品數(shù)X的分律.解X的分布率如下表所示：

X012p28/4516/451/45

2.進行某種試驗，設(shè)試驗成功的概率為

31，失敗的概率為，以X表示試驗首次成功所44需試驗的次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.

解X的分布律為：

?1?P(X?k)????4?k?1?3???,k?1,2,3,?4?

X取偶數(shù)的概率：

?1??3?P{X為偶數(shù)}??P(X?2k)???????4?k=1k=1?4?k1?1?1??3????3?16?51?1k=1?16?163.從5個數(shù)1，2，3，4，5中任取三個為數(shù)x1,x2,x3.求：

X＝max(x1,x2,x3)的分布律及P(X≤4)；Y＝min(x1,x2,x3)的分布律及P(Y>3).

3解基才能件總數(shù)為：C5?10，

??2k?1(1)X的分布律為：

X345

p0.10.30.6

P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4(2)Y的分布律為

Y123

p0.60.30.1

P(X>3)=0

?k4.C應(yīng)取何值，函數(shù)f(k)=C，k＝1，2，?，λ>0成為分布律？

k!解由題意,

?f(x)?1,即

k?1?

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）其次章第6頁(共57頁)

?Ck!?C?k?1k?1??k??k???k?0???C????C(e?1)?1?k!?k?0k!0!?解得：C?1

(e??1)

5.已知X的分布律X

P

－112

31266

6

1?；3?.?求：（1）X的分布函數(shù)；（2）P?（3）X?P1?X?????2?2???解(1)X的分布函數(shù)為F(x)?P(X?x)?xk?x?pk

?0,?1/6,?F(x)???1/2,??1,(2)P?X?x??1??1x?1;

1?x?2x?2??1?1?P(X??1)??2?63???P(?)?02?(3)P?1?X???6.設(shè)某運動員投籃投中的概率為P＝0.6，求一次投籃時投中次數(shù)X的分布函數(shù)，并作出

其圖形.

解X的分布函數(shù)F(x)01x

7.對同一目標作三次獨立射擊，設(shè)每次射擊命中的概率為p，求：

（1）三次射擊中恰好命中兩次的概率；

（2）目標被擊中兩彈或兩彈以上被擊毀，目標被擊毀的概率是多少？解設(shè)A={三次射擊中恰好命中兩次}，B=目標被擊毀，則

223?2(1)P(A)=P?3p2(1?p)3(2)?C3p(1?p)?0?F(x)??0.6?1?x?00?x?1x?110.6(2)P(B)=P3(2)?P3(3)?C3p(1?p)223?2?C33p3(1?p)3?3?3p2?2p3

8.一電話交換臺每分鐘的召喚次數(shù)聽從參數(shù)為4的泊松分布，求：

（1）每分鐘恰有6次召喚的概率；

（2）每分鐘的召喚次數(shù)不超過10次的概率.解

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）其次章第7頁(共57頁)

(1)P(X=6)=

P(X=6)=

???4?4e?e?0.104k!6!?kk!e??k6或者

4k?4?4k?4??e??e=0.21487–0.11067=0.1042.k?6k!k?7k!??4k?44k?4??e?1??e?1?0.00284(2)P(X≤10)=0.99716

k?0k!k?11k!10

9.設(shè)隨機變量X聽從泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)

解由已知可得，

?1???2??e?e,1!2!

解得λ=2，(λ=0不合題意)

24?2因此,P(X?4)?e=0.09

4!

10.商店訂購1000瓶鮮橙汁，在運輸途中瓶子被打碎的概率為0.003，求商店收到的玻璃

瓶，（1）恰有兩只；（2）小于兩只；（3）多于兩只；（4）至少有一只的概率.

解設(shè)X={1000瓶鮮橙汁中由于運輸而被打破的瓶子數(shù)}，則X聽從參數(shù)為n=1000,p=0.003的二項分布，即X~B(1000,0.003),由于n比較大，p比較小，np=3,因此可以用泊松分布來近似,即X~π(3).因此

32?3(1)P(X=2)?e?0.224

2!(2)P(X?2)?1?P(X?2)?1??3e?3?1?0.8008?0.1992

k?2?kk!3k?3(3)P(X?2)?P(X?2)??e?0.5768

k?3k!?3k?3(4)P(X?1)??e?0.9502

k?1k!?

11.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

?0,?F(x)??kx2,?1,?x?00?x?1

x?1求：（1）系數(shù)k；（2）P(0.2580/100)=P(Z>0.8)=?12x(1?x)2dx?0.0272

0.81假使供電量只有80萬千瓦，供電量不夠用的概率為：

P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=?12x(1?x)2dx?0.0037

0.91

14.某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件，其壽命(單位小時)都聽從同一指數(shù)分

布，分布密度為

x?1600e,?F(x)??600?0,?0?x0?x

試求在儀器使用的最初200小時以內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率.

解設(shè)X表示該型號電子元件的壽命，則X聽從指數(shù)分布，設(shè)A={X≤200}，則

P(A)=

?20001e600?x600dx?1?e?13

設(shè)Y={三只電子元件在200小時內(nèi)損壞的數(shù)量}，則所求的概率為：

1P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?CPA()?(1PA())??1e(?)?1e030?30?313

215.設(shè)X為正態(tài)隨機變量，且X～N(2，?)，又P(2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第21頁(共57頁)

第三章隨機變量的數(shù)字特征

1.隨機變量X的分布列為

XP

－13

10

2

112

111166124

求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)

111111解E(X)??1?13?0?6?2?6?1?12?2?4?3111112E(?X?1)?(?(?1)?1)?13?(?0?1)?6?(?2?1)?6?(?1?1)?12?(?2?1)?4?32或者E(?X?1)?E(?X)?E(1)??E(X)?1??13?1?3

22235112111E(?X2)?(?1)2?13?(0)?6?(2)?6?(1)?12?(2)?4?24

2.一批零件中有9件合格品與三件廢品，安裝機器時從這批零件中任取一件，假使取出

的廢品不再放回，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

解設(shè)取得合格品之前已經(jīng)取出的廢品數(shù)為X,X的取值為0,1,2,3,Ak表示取出廢品數(shù)為k的事件，則有：

1C3kC9P(Ak)?k?1,k?0,1,2,3,C12C12?kE(X)??k?0k?P(Ak)?366?0.3220

3.已知離散型隨機變量X的可能取值為－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=?1)，

P(X＝0)，P(X＝1).解根據(jù)題意得：

E(X)??1P(X??1)?0P(X?0)?1P(X?1)?0.1E(X)?(?1)P(X??1)?0P(X?0)?1P(X?1)?0.9可以解得P(X??1)=0.4,P(X=1)=0.5,

P(X=0)=1?P(X??1)??P(X=1)=1?0.4?0.5=0.1

4.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

2222

?2(1?x),???????x???f(x)?????????????????其他.求E(X).解由題意,E(X)?1xf(x)dx?2(1?x)xdx?,????03?1

5.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第22頁(共57頁)

?e?x,?????x?0?f(x)?????????????x???求E(2X)，E(e解E(2X)??2x).

?????2xf(x)dx??2xe?xdx

0?0?x?x??2xe?x|?|0??20??edx?2?0?e??

E(e?2X)??e?2xf(x)dx??????e0?2x?x11edx??e?3x|??033

6.對球的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間［a，b］上，求球的體積的數(shù)學(xué)期望.

D解由題意，球的直接D~U(a,b),球的體積V=43??2?

3因此，E(V)?????Vf(x)dx??ba4?x?1???dx3?2?b?a3??24(b?a)x4|?0??24(a?b)(a2?b2)

7.設(shè)隨機變量X，Y的密度函數(shù)分別為

?2e?2x,?????x?0?fX(x)????????????????x????4e?4y,????y??0?fY(y)??????????????y???求E(X＋Y)，E(2X－3Y2).

(X)?E(Y)解E(X?Y)?E????????xfX(x)dx??0????yfY(y)dy??2xe?2xdx??4ye?4ydy

0???113??244

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第23頁(共57頁)

E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2???????xfX(x)dx?3?0????y2fY(y)dy

?2?2xe?2xdx?3?4y2e?4ydy0???1?

8.設(shè)隨機函數(shù)X和Y相互獨立，其密度函數(shù)為

35?88?2x,???????x?1?fX(x)??????????????其他?（y－5）?e?,????y??5?fY(y)??

???????????y?5??求E(XY).

解由于XY相互獨立,因此有

E(XY)?E(X)E(Y)????2x2dx?01??5????xfX(x)dx?????yfY(y)dyye?(y?5)dy

2???(y?5)?????(y?5)??????ye??edy???553??????????2?????0?5????e?(y?5)???53?????22????5???(0?1)?????(?6)?433

9.設(shè)隨機函數(shù)X的密度為

求E(X),D(X).解E(X)????1?,????x?1??2f(x)???1?x

???????????????x?1.?11??xf(x)dx???1x1?xx21?x212?1dx?0

21E(X)??2????xf(x)dx?12??1?12dx???x2201?x2?1???dx???1?x2dx??01?x2?0?2?211??()?arcsinx|1?1?0???4?2221?x211dxdx

?01?x2D(X)?E(X2)??E(X)??

212概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第24頁(共57頁)

10.設(shè)隨機函數(shù)X聽從瑞利(Rayleigh)分布,其密度函數(shù)為

?x?2x?2?e,?????x?0?f(x)???2?????????????????x????其中σ>0是常數(shù)，求E(X)，D(X).解E(X)?????2???xf(x)dx??x2x20?2e?x22?2dx?????0xde?x22?2

u?x/?22???x2???x2??2?2??????xe??e2?dx???e2?dx000??

???????e0???u22du????2???2?2??0E(X)??2????xf(x)dx??2x30?2e?x22?2dx???xde2?x22?222???2?2x?22??????x2?x2???xe??2xe2?dx??2?xe2?dx

000??2u?x2?2?????2?2?e?udu??2?2e?u0?????2?20D(X)?E(X2)??E(X)?2?2?2?????????2??(2?)?2?2?2

11.拋擲12顆骰子，求出現(xiàn)的點數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望與方差.解擲1顆骰子，點數(shù)的期望和方差分別為：E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2

E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此D(X)=E(X2)?(E(X))2=35/12

擲12顆骰子,每一顆骰子都是相互獨立的,因此有：E(X1+X2+?+X12)=12E(X)=42

D(X1+X2+?+X12)=D(X1)+D(X2)+?+D(X12)=12D(X)=35

12.將n只球（1～n號）隨機地放進n只盒子（1～n號）中去，一只盒子裝一只球，將一

只球裝入與球同號碼的盒子中，稱為一個配對，記X為配對的個數(shù)，求E(X),D(X).解（1）直接求X的分布律有些困難，我們引進新的隨機變量Xk

第k只球裝入第k號盒子?1,Xk??,則有：

0,第k只球沒裝入第k號盒子?X??Xk，Xk服0-1分布

k?1n因此：P(Xk?0)?1?p?1?11,P(Xk?1)?p?,nn

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第25頁(共57頁)

E(Xk)?p?

n1,nD(Xk)?n1?1??1??n?n?1??E(X)?E??Xk???E?Xk??n??1n?k?1?k?1

（2）XkXj聽從0-1分布，則有

P(XkXj?1)?P(Xk?1,Xj?1)?n(n1?1),E(XkXj)?n(n1?1)

?n?D(X)?D??Xk?

?k?1???D?Xk??2?Cov(Xk,Xj)k?1nk?jn1?1????1???2?(E(XkXj)?E(Xk)E(Xj))n?k?1n?k?j?1?

?111??2???2?nn?k?j?n(n?1)111?1?n?1?2??1??2Cn??1??1?????12?nn(n?1)nnn????故，E(X)=D(X)=1.

我們知道，泊松分布具有期望與方差相等的性質(zhì)，可以認定，X聽從參數(shù)為1的泊松分布.

13.在長為l的線段上任意選取兩點，求兩點間距離的數(shù)學(xué)期望及方差.

解設(shè)所取的兩點為X,Y,則X,Y為獨立同分布的隨機變量,其密度函數(shù)為

?1?1?,0?x?1?,0?x?1fX(x)??l,fY(y)??l,??otherother?0,?0,?1?,0?x,y?1f(x,y)?fY(x)fY(y)??l2,

?other?0,

依題意有

??????E(X?Y)???????x?yf(x,y)dxdy

?x?y?0?0lxll11dydx?y?xdydx??22??0xll1lx21ll2x2?2?dx?2??lx?dx

2l02l021?x3l?1?l2xlx2x3l?????????260?2l2?30?l2?2lll???663E(?X?Y?)??2?????????x?y2f(x,y)dxdy

??

?x?y?0?0ll21dxdyl2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第26頁(共57頁)

l1l?2?dx??x2?2xy?y2?dy0l03l?1l?2y?2??xy?xy2??dx3?0l0?1?2l1?2ll3?0xl?xl?3dx?13122l3?xl?xl?23?3l22?lx??01?l26D(X?Y)=E((X?Y)2)?(E(X?Y))2=

121212l?l?l6918

14.設(shè)隨機變量X聽從均勻分布，其密度函數(shù)為

1??2,???????x??f(x)??2

????????????其他,求E(2X2)，D(2X2).解E(2X2)?2E(X2)?2?????12xf(x)dx?2?2x2dx?021216112E(X)?4?????xf(x)dx??2x4dx?041,802E(X2)?D(2X2)?4D(X2)?4E(X4)??E(X2)???1?1?1?4??????80144?45

15.設(shè)隨機變量X的方差為2.5，試利用切比雪夫不等式估計概率

P(X?E(X)?7.5)

的值.

解由切比雪夫不等式,取??7.5,??2.5,得

2.52P(X?E(X)?7.5)?.?7.5245

16.在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，假使作100次獨立試驗，設(shè)事件A發(fā)生的

次數(shù)為X，試利用切比雪夫不等式估計X在40到60之間取值的概率解由題意，X~B(100，0.5),則E(X)=np=50,D(X)=npq=25根據(jù)切比雪夫不等式,有

P(40?X?50)

2?2?P(X?50?10)?1?2

??1?253?.1004

17.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的一切可能值在區(qū)間［a，b］內(nèi)，其密度函數(shù)為f(x)，證明：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第27頁(共57頁)

（1）a≤E(X)≤b；

(b-a)2（2）D(X)?.

4解(1)由題意，a≤X≤b,那么

E(X)????????????xf(x)dx???????a?x則,b

???????a?af(x)dx????xf(x)dx??bf(x)dx

????f(x)dx??????xf(x)dx?b?f(x)dx,

由于

?f(x)dx?1

所以a?E(X)?b

(2)解法(一)

由于x?[a,b],所以有(x?a)(x?b)?0

即x2?(a?b)x?ab?0,

E(X2?(a?b)X?ab)E(X2)?(a?b)E(X)?ab

又D(X)?E(X2)??E(X)?2

?(a?b)E(X)?ab??E(X)?

2??E(X)?a??b?E(X)?(平均值不等式變形:a,b?0時,ab?2a?b)2(X)?E(X)?a?b?E????

2???b?a????

2??(b?a)2即D(X)?

4

解法(二),由于

2E((X?C)2)?E(X2?2XC?C2)

?(E(X)?C)2?E(X2)??E(X)?

2?(E(X)?C)2?D(X)

當C?E(X)時,E((X?C)2)取最小值D(X)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第28頁(共57頁)

于是當C?D(X)?E

??X?E(X?)?2a?b時,有22??a?b???E??X?????2????2??a?b???E??b?????2????

??b?a?2??b?a??E???????2??4??2

18.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律為X01Y10.10.220.20.4

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，?XY及協(xié)方差矩陣.解由題設(shè)，

E(X)?0?(0.1?0.2)?1?(0.3?0.4)?0.7E(Y)?0?(0.1?0.3)?1?(0.2?0.4)?0.6

E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4

E(X2)?02?(0.1?0.2)?12?(0.3?0.4)?0.7E(Y2)?02?(0.1?0.3)?12?(0.2?0.4)?0.6D(X)?E(X2)?(E(X))2?0.7?0.49?0.21D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?0.6?0.36?0.24

cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0.4?0.6×0.7=?0.02

?XY?cov(X,Y)/D(X)D(Y)??0.02/0.21?0.24??0.089

協(xié)方差矩陣為

??12C?????1?2??1?2??0.21?0.02?????2?2???0.020.24?

19.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的分布律為X－101Y

－10

118818

88

11

0

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第29頁(共57頁)

1

解由于

1188

8

1

試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.

?111??111?E(X)??1??????0?1??????0,?888??888?

?111??111?E(Y)??1??????0?1??????0,?888??888?cov(X,Y)?E((X?E(X))(Y?E(Y)))?E(XY)

111111?(?1)?(?1)??(?1)?0??(?1)?1??0?(1)?(?1)??1?0??1?1??0888888因此?XY?0,即X和Y是不相關(guān)的.

111?0?P(X?0,Y?0),但由于P(X?0)P(Y?0)???8816因此X,Y不是相互獨立的.

20.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的密度函數(shù)為

?1?(x?y),???????x?2???y???f(x,y)??8????????????????????其他，求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X,Y)，?XY及協(xié)方差矩陣.

11(x?y)dy?(x?1)???084??217E(X)?xf(x)dy?x(x?1)dy????X?046??122522又E(X)??xfX(x)dy??x(x?1)dy?

??403解fX(x)???f(x,y)dy??257?11D(X)?E(X?)?E(X??)?????3?6?36711D(Y)?,同理可得E(Y)?,636????1224E(XY)???xyf(x,y)dxdy???xy(x?y)dydx?

????8003cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)

4771?????36636cov(X,Y)1111?XY??????

363611D(X)D(Y)222協(xié)方差矩陣為

??12C?????1?2

??1?2??11/36?1/36?????2?2???1/3611/36?概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第三章第30頁(共57頁)

21.已知隨機變量(X,Y)聽從正態(tài)分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)

＝12，求(X,Y)的密度函數(shù).解由題意,

??cov(X,Y)123??205D(X)D(Y)12??x???2x??1??y??2??y??2???1????2??22?2(1??2)?????1122??則密度函數(shù)為

1f(x,y)?2??1?21??2e

?

22.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，試求E((X＋Y)2).解E(X?Y)?EX?Y?2XY?E(X)?E(Y)?E(2XY)

2222由于D(X)=E(X)??E(X)??E(X)=1,D(Y)=E(Y)??E(Y)??E(Y)=1

221e32??25?x23xyy2??????32??165025?

?2??22?22因此有

E?(X?Y)2??1?1?0?2

23.設(shè)隨機變量X和Y的方差分別為25，36，相關(guān)系數(shù)為0.4，試求D(X＋Y)，D(X－Y).

解由題意，0.4?covX(Y,),D(X)DY()coXvY(?,)?0.?4?5612D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y)=24+25+36=85由于cov(X,?Y)=?cov(X,Y)=?12

因此

D(X?Y)=2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y)=?24+25+36=37.

24.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且都聽從正態(tài)分布N(0,?2)，令U＝aX＋bY，V＝aX?bY，

試求U和V的相關(guān)系數(shù).

解由于X，Y相互獨立，則都聽從N(0,?2)

D(U)?D(aX?bY)?a2D(X)?b2D(Y)??2(a2?b2)

D(V)?D(aX?bY)?a2D(X)???b?D(Y)??2(a2?b2)

2D(U?V)?D(aX?bY?aX?bY)?D(2aX)?4a2?2

1cov(U,V)??D(U?V)?D(U)?D(V)?2

1?(4a2?2?2(a2?b2)?2)?(a2?b2)?22cov(U,V)(a2?b2)?2a2?b2???222?22

a?bD(U)D(V)(a?b)?

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第五章第41頁(共57頁)

14.設(shè)X1，X2，?，Xn為來自泊松分布????的樣本，X，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E(X)，D(X)，E(S2).

解由于Xk~?(?),k=1,2,…,n,則E(Xk)??,D(Xk)??

1n?1n?1nE(X)?E??Xk???E?Xk??????

nk?1?nk?1?nk?11n??1n?1nD(X)?D??Xk??2?D?Xk??2???

nk?1n?nk?1?nk?1

2??1nE(S)?E?X?X???k??n?1k?1?1?n22??EX?nE(X)????k?n?1?k?1?22?1?n2?D(X)?E(X)?nD(X)?E(X)?????kk??n?1?k?1?1???22???n????n????????n?1??n??1?n??n?2????n?2???n?1??????

15.設(shè)X1，X2，X3，X4為來自總體N(0,1)的樣本，X?a(X1?2X2)2?b(X3?3X4)2，當a，b為何值時，X?(n)，且自由度n是多少？解由于X1，X2，X3，X4相互獨立，均聽從N(0,1)正態(tài)分布，

因此

22X1?2X2~N(0,1?22)?N(0,5)

X3?3X4~N(0,1?32)?N(0,10)

則,

X1?2X25

?X1?2X2??X1?2X2?~?2(1)~N(0,1)，???55???X?3X4??X3?3X4?2?~?(1)~N(0,1),?3?1010??22222X3?3X410

?X1?2X2?51022X?2XX?3X?1?2?4?即X??3~?2(2)

510112因此，X聽從?分布，自由度n=2,并且a?,b?.

510?X?3X4??32~?2(1?1)??2(2)

?216.設(shè)在總體???????中抽取一容量為16的樣本，這里????均為未知，求：

S2（1）P(2?2.041)，其中S2為樣本方差；

?41

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第五章第42頁(共57頁)

（2）D(S2).

解???因X~N(?,?),所以2(n?1)S2?2~?2(n?1)

?S2??(16?1)S2?P?2?2.041??P??2.041?(16?1)?2??????

2?(16?1)S??P??30.615?2????P??2(15)?30.615??1?P??(15)?30.615?2

2查表,得?0.01(15)?30.578,因此

222P?(15)?30.615?P?(15)??0.01(15)?0.01

????所以

?S2?P?2?2.041??1?0.01?0.99?????2(n?1)S2?2????D(S)?D??2?n?1????

?4?n?1??42?(n?1)S2D?2??????n?1?222?42(n?1)?

n?1??2(n?1)S2E(S)?E?2?n?1??2?(n?1)S2??E??n?1??2??????2n?1(n?1)??2

?17.設(shè)X1，X2，?，X16是來自總體X～????????的樣本，X和S2分別是樣本均值和樣

本方差，求k使得P(X???kS)?0.95.解因X~N(?,?),由定理1(4)

X??~t(n?1),即

S/n?X????X???P(X???kS)?P??k??P??16k??S??S/16?

?X????X????P??4k??P??4k??0.95?S/16??S/16?由于t1??(n)??t?(n),因此，

242

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第五章第43頁(共57頁)

?X???P???4k??1?0.95?0.05,?S/16?查t分布表(n=15,?=0.05),可得，-4k=1.7531解得k??0.4383

18.設(shè)X1，X2，?，Xn是來自正態(tài)總體???????的樣本，X和S2分別是樣本均值和樣

本方差，又設(shè)Xn?1~N(?,?2)，且與X1，X2，?，Xn獨立，試求統(tǒng)計量

Xn?1?XS的抽樣分布.解由于

nn?12Xk~N(?,?2),k?1,2,...n,X~N(?,1，Xn?1~N(?,?2)n?)n?1n2所以Xn?1?X~N(0,(1?1)?)?N(0,n?2)

因而

U?V?Xn?1?Xn?1n?2~N(0,1)~?2(n?1)

又

2(n?1)Sn?2由于U,V相互獨立,所以

Xn?1?XSn?Xn?1?Xn?1nXn?1?Xn??1n?1?nn2(n?1)SnSn?UVn?1

?2?21?n?1~t(n?1).

43

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第六章第44頁(共57頁)

第六章參數(shù)估計與假設(shè)檢驗

1.使用一測量儀器對同一量進行12次獨立測量，其結(jié)果為（單位：毫米）

232.50232.48232.15232.53232.45232.30232.48232.05232.45232.60232.47232.30試用矩法估計測量值的均值和方差（設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差）.

1n1解X??Xi?(232.50?232.48?...?232.30)?232.3967

ni?1121nS?(Xi?X)2?0.0245.?n?1i?12

2.設(shè)樣本值(1.30.61.72.20.31.1)來自具有密度f(x)＝

用矩法估計總體均值、總體方差以及參數(shù)β.

1?，0≤x≤β的總體，試

1n1n2解我們以X??Xi作為總體均值??E(X)的估計量，以B2???Xi?X?作為

ni?1ni?1總體方差?2?D(X)的估計量，則有

???1???E(X)??xf(x)dx??xdx?

??0?2樣本的一階原點矩

由矩法估計得

1n1A1??Xi?X?(1.3?0.6?1.7?2.2?0.3?1.1)?1.2ni?16

??A1?X?1.2?即

??2??2.4?1.2,?1n1522另B2??(Xi?X)??(Xi?1.2)?0.407

ni?16i?1

由矩法估計得

?2?B2?0.407?

3.隨機地取用8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（單位：毫米）

74.001，74.005，74.003，74.001，74.000，73.998，74.006，74.002.

試求總體均值μ及方差σ2的矩估計值，并求樣本方差S2.

1n1n2解我們以X??Xi作為總體均值??E(X)的估計量，以B2???Xi?X?作為

ni?1ni?12總體方差??D(X)的估計量，則有：

1x?74?(0.001?0.005?0.003?0.001?0?0.002?0.006?0.002)?74.002

8

44

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第六章第45頁(共57頁)

b2?0.0012?1(1?2)2?(5?2)2?(3?2)2?(1?2)2?(0?2)2?(?2?2)2?(6?2)2?(2?2)2??8

?6?10-6??x?74.002,?2?b2?6?10?6即??n28S2?b??6?10-6?6.857?10-6

n?171?x?a

4.設(shè)樣本X1，X2，?，Xn來自指數(shù)分布

X~f(x:a,?)?求參數(shù)a,?的矩估計量.解總體X的一階原點矩：

?e?,x?a,??0

??E(X)??xfx(a:?,dx)??xe??a???????(?t?a)e?tdt???te?tdt??ae?tdtx?a???1?x?a?dx

?t???000

?a??總體X的二階中心矩：

B2??2?D(X)?E(X2)?E2(X)

??xa?21??2?2?2a??a2?(?2?2a??a2)??2

??X????a??????221n???B2???Xi?X?ni?1?e?x?a?dx??a???

2由矩法，應(yīng)有

解這個方程，得

???21nX?X???ini?121n??B2?X?a??Xi?X?ni?1

5.對容量為n的樣本，求密度函數(shù)

?2?(a?x),0?x?af(x:a)??a2?0,其他?中參數(shù)a的矩估計值.

解總體X的一階原點矩：,

??E(X)??xf(x:a)dx??x??0??a2a(a?x)dx?2a3?a1n由矩法，有?X??Xi,

3ni?1

45

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第六章第46頁(共57頁)

??3X解得a

6.設(shè)X～B(1,p)，X1，X2，?，Xn是來自X的一個樣本，試求參數(shù)p的最大似然估計量.解設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X的樣本，由X~B(1，p),x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，Xn的一個樣本值，似然函數(shù)為：

L(x1,x2,xn,p)??pxi(1?p)1?xi?pi?1(1?p)i?1n?xinn??xii?1n

n??lnL(x1,x2,xn,p)??xilnp??n??xi?ln(1?p),

i?1i?1??nn???n?xx?i??idlnL?i?1??,,i?1??dpp1?pdlnL令?0則有

dpn???1?p??xi?p?n??xi?,i?1i?1??nn

解得p的最大似然估計值為

1n???xi?xpni?1??X因此,相應(yīng)的最大似然估計量為p

7.設(shè)總體X聽從幾何分布，它的分布律為

P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,

X1，X2，?，Xn為X的一個樣本，求參數(shù)p的矩估計量和最大似然估計量.

解(1)總體X的一階原點矩：

??E(X)??k?pk??k?p(1?p)k?1k?1??k?1?p?k(1?p)k?1?k?1?1p樣本的一階原點矩：

1nA1??Xi?X

ni?1??A1?X由矩估計，有?11??所以?X，p?Xp

(2)設(shè)X1，X2，…，Xn是取總體X的樣本，x1，x2，…，xn是相應(yīng)于樣本X1，X2，…，

Xn的一個樣本值，似然函數(shù)為：

L(x1,x2,

xn,p)??p(1?p)k?1nxk?1?p(1?p)k?1n?xk?nn

lnL(x1,x2,?n?xn,p)?nlnp???xk?n?ln(1?p),

?k?1?46

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第六章第47頁(共57頁)

?n????xk?n?dlnLn?,???k?1dpp1?pdlnL令?0,則有

dp?n???xk?n?p?n(1?p)

?k?1???解得p的最大似然估計值為pn?xk?1n?k1x??因此,相應(yīng)的最大似然估計量為p1X

8.設(shè)總體X在[a,b]上聽從均勻分布，a,b未知，x1，x2，?，xn是一個樣本值，試求a,b的最大似然估計量.

解由題，總體X的密度函數(shù)為：

1,a?x?b?b?，f(x)??aother?0,似然函數(shù)為

1?n1?,a?xi?b??b?anL(a,b)??k?1?b?a??0other?根據(jù)最大似估計的思想，L越大，樣本觀測值越可能出現(xiàn).

考慮L的取值，要使L取值最大，(b-a)應(yīng)最小.由于a?x1,x2,xn?b,所以，當

a?min(x1,x2,...,xn),時，似然函數(shù)取最大值因此

b?max(x1,x2,...,xn)

*??X1*?min(X1,X2,...,Xn),b?Xna?max(X1,X2,...,Xn)

9.設(shè)總體X聽從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，概率密度為

x?1???e,x?0f(x,?)????0,other?其中，參數(shù)θ>0為未知，又設(shè)X1，X2，?，Xn是來自X樣本，試證：nZ＝n(min（X1，

X2，?，Xn））是θ的無偏估計量.

解由于EX?E(X)??,所以X是?的無偏估計量.而Z?min(X1,X2,...,Xn)具有概率密度

??47

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題參考答案（僅供參考）第六章第48頁(共57頁)

?n?nx??e,x?0fmin(x,?)????other?0,

所以有E(Z)??/n,E(nZ)??

?即??n?是?的無偏估計量????

10.設(shè)從均值為?，方差為?2>0的總體中分別抽取容量為n1，n2的兩個獨立樣本，X1和X2分別是兩樣本的均值，試證：對于任意常數(shù)a，b（a＋b＝1），Y＝aX1＋bX2都是?的無偏估計，并確定常數(shù)a，b，使D(Y)達到最小.

?2?2解由題意，E(X1)?E(X2)??，D(X1)?,D(X2)?,X1,X2相互獨立,則

n1n2E(Y)?E(aX1?bX2)?aE(X1)?bE(X2)?(a?b)???

所以，Y是?的無偏估計.

?a2b2?2由于D(Y)?D(aX1?bX2)?aD(X1)?bD(X2)?????

?n1n2?22由于a+b=1,所以有

a2b2(n1?n2)a2?2n1a?n1，?=

n1n2n1n2對(n1?n2)a2?2n1a?n1,有微小值

a?n1,

n1?n2此時，D(Y)有微小值，代入(a+b=1)可得

b?n2

n1?n2?a2b2?2n1n2?2即當a?，b?，D(Y)??達到最小值.????n1?n2n1?n2n1?n2?n1n2?

11.設(shè)分別自總體N(?1,?2)和N(?2,?2)中抽取容量為n1，