高中數(shù)學(xué)必修四平面向量知識(shí)歸納典型題型經(jīng)典

一,向量重要結(jié)論rrrrrrrrr2r2規(guī)定0，（1）、向量的數(shù)量積定義：ab|a||b|cos0aaaa|a|rrrr，則cosab（2）、向量夾角公式：a與b的夾角為rrrr|a||b|rr（3）、向量共線的充要條件：b與非零向量a共線存在獨(dú)一的R，使ba。（4）、兩向量平行的充要條件：向量rr(x2,y2)平行x1y2x2y1a(x1,y1),b0（5）、兩向量垂直的充要條件：向量rrrrabab0x1x2y1y20rrrrrrrr（6）、向量不等式：|a||b||ab|，|a||b||ab|rrrr（7）、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則abx1x2y1y2rrrrr=ab（8）、向量的投影：︱b︱cosr∈R，稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為|a|射影9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能夠比較大小，但向量的模能夠比較大小。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行零向量a＝rr｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚可否有“非零向量”這個(gè)條件．（注意與0的差異）（11）、單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量a0為單位向量｜a0｜＝1（12）、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都能夠移到同素來(lái)線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作a∥b由于向量能夠進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總能夠平移到同素來(lái)線上，故平行向量也稱為共線向量注：剖析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：（1）給出直線的方向向量u1,k或um,n，要會(huì)求出直線的斜率；（2）給出OAOB與AB訂交,等于已知OAOB過(guò)AB的中點(diǎn);（3）給出PMPN0,等于已知P是MN的中點(diǎn);（4）給出APAQBPBQ,等于已知P,Q與AB的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;（5）給出以下狀況之一：①AB//AC；②存在實(shí)數(shù)rr,使ABAC；③若存在實(shí)數(shù)且uuuruuuruuurA,B,C,,使OAOB,等于已知三點(diǎn)共線.1,OC（6）給出OPOAOB，等于已知P是AB的定比分點(diǎn)，為定比，即APPB1（7）給出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,給出MAMBm0,等于已知AMB是鈍角,給出MAMBm0,等于已知AMB是銳角。（8）給出MAMBAMB的均分線/MP,等于已知MP是MAMB（9）在平行四邊形ABCD中，給出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;1uuuruuuruuuruuur（10）在平行四邊形ABCD中，給出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;2OB22（11）在ABC中，給出OAOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直均分線的交點(diǎn)）；（12）在ABC中，給出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）；（13）在ABC中，給出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)）；uuuruuur（14）在ABC中，給出OPOAABACR)等于已知AP經(jīng)過(guò)ABC的內(nèi)心；(uuuruuur)(|AB||AC|（15）在ABC中，給出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角均分線的交點(diǎn)）；uuur1uuuruuur,等于已知AD是ABC中BC邊的中線。（16）在ABC中，給出AD2ABAC（17）若是e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任向來(lái)量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2使：a1e12e2，其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底18）向量平行與直線平行有差異，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的狀況19）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的詳盡地址沒(méi)關(guān)，只與其相對(duì)地址有關(guān)（20）1.rrrrrr結(jié)合律不成立：abcabc；2.rrrrrr消去律不成立abac不能夠獲得bc3.rrrrrrab=0不能夠獲得a=0或b=0題型1.基本見(jiàn)解判斷正誤：1）共線向量就是在同一條直線上的向量。2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不能能是同一點(diǎn)。3）與已知向量共線的單位向量是獨(dú)一的。uuuruuur（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是ABCD。uuuruuur5）若ABCD，則A、B、C、D四點(diǎn)組成平行四邊形。6）由于向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。rrrrrr（7）若a與b共線，b與c共線，則a與c共線。rrrr（8）若mamb，則ab。2rrn。（9）若mana，則mrrrr（10）若a與b不共線，則a與b都不是零向量。rrrrrr（11）若ab|a||b|，則a//b。rrrrrr（12）若|ab||ab|，則ab。題型2.向量的加減運(yùn)算1.rrrr設(shè)a表示“向東走8km”,b表示“向北走6km”,則|ab|。2.uuuruuuruuuruuuruuuur。化簡(jiǎn)(ABMB)(BOBC)OM3.uuuruuur3uuur、。已知|OA|5,|OB|,則|AB|的最大值和最小值分別為4.uuuruuuruuuruuurruuurruuuruuur已知AC為AB與AD的和向量，且ACa,BDb，則AB，AD。5.uuuruuuruuuruuuruuuruuur已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC3AB,則ACBC，ABBC。題型3.5向量的數(shù)乘運(yùn)算1.rrrrrrrrrr計(jì)算：（1）3(ab)2(ab)（2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)2.已知rr3,8)rr。a(1,4),b(，則3a1b題型4.2作圖法球向量的和rrr1rr3r已知向量a,b，以以下列圖，請(qǐng)做出向量3ab和2ab。22rarb題型5.依照?qǐng)D形由已知向量求未知向量uuuruuuruuur已知在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量AB，AC表示AD。uuurruuurruuuruuur2.在平行四邊形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.uuur(4,5)，A(2,3)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是。已知AB2.uuur(3,5)，P(3,7)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是已知PQ。3.r,rr4),則協(xié)力的坐標(biāo)為若物體受三個(gè)力F1(1,2)F2(2,3),F3(1,。3rrrrrrrr。4.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b5.r(x2,x3y2)uuur已知A(1,2),B(3,2),向量a與AB相等，求x,y的值。6.uuuruuuruuur(1,4)uuur已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD，則DA。7.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,1),B(4,8)uuuruuurruuur，且AB3BC0，求OC的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個(gè)向量可否作為一組基底u(yù)ruur已知e1,e2是平面內(nèi)的一組基底，判斷以下每組向量可否能組成一組基底：uruururuururuuruurururuuruururuuruururA.e1e2和e1e2B.3e12e2和4e26e1C.e13e2和e23e1D.e2和e2e12.r(3,4)r）已知a，能與a組成基底的是（A.(3,4)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,4)5555553題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuuruuur1.2，xOA150o已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|OA|，求OA的坐標(biāo)。2.uuur43，xOA60ouuur已知O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|OA|，求OA的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積1.已知rrrr的夾角為60orrrrr|a|3,|b|4，且a與b，求（1）ab，（2）a(ab)，r1rrrrrr（3）(a2b)b，（4）(2ab)(a3b)。r(2,rrrrrrrr2.已知a6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)，rrrr（4）(2ab)(a3b)。題型10.求向量的夾角1.rrrrrr已知|a|8,|b|3，ab12，求a與b的夾角。2.rr(2rr已知a(3,1),b3,2)，求a與b的夾角。43.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。題型11.求向量的模1.rrrr60orrrr已知|a|3,|b|4，且a與b的夾角為，求（1）|ab|，（2）|2a3b|。rrrrrrrr2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）|a1b|。2rrrrrr3.已知|a|1，|b|2，|3a2b|3，求|3ab|。rrr題型12.求單位向量a】【與a平行的單位向量：er|a|1.r(12,5)平行的單位向量是。與a2.r(1,1)平行的單位向量是。與m2題型13.向量的平行與垂直1.rrrrrr已知a(6,2)，b(3,m)，當(dāng)m為何值時(shí)，（1）a//b？（2）ab？rr(3,2)rrrr垂直？2.已知a(1,2)，b，（1）k為何值時(shí)，向量kab與a3brr與rr平行？（2）k為何值時(shí)，向量kaba3brrrrrrrrrr3.已知a是非零向量，abac，且bc，求證：a(bc)。題型14.三點(diǎn)共線問(wèn)題1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求證：A,B,C三點(diǎn)共線。5uuur2rruuurrruuurrr2.設(shè)AB2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線。3.uuurrruuurrruuurrr已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，則必然共線的三點(diǎn)是。4.已知A(1,3)，B(8,1)，若點(diǎn)C(2a1,a2)在直線AB上，求a的值。5.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，可否存在常數(shù)t，使uuuruuuruuur成O(0,0)A(3,4)B(1,2)OAtOBOCC(1,1)立？題型15.判斷多邊形的形狀uuurruuurruuuruuur1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,則四邊形的形狀是。已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形ABCD是梯形。3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求證：ABC是直角三角形。uuuruuuruuur在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求證：ABC是等腰直角三角形。題型16.平面向量的綜合應(yīng)用1.r(1,0)r(2,1)rrrr已知a，b，當(dāng)k為何值時(shí)，向量kab與a3b平行？2.r(3,rrrr已知a5)，且ab，|b|2，求b的坐標(biāo)。3.rrr(1,2)rrr已知a與b同向，b，則ab10，求a的坐標(biāo)。3.r(1,2)r(3,1)r(5,4)rrr已知a，b，c，則cab。4.rr(3,4)r(5,0)，請(qǐng)將用向量rrr。已知a(5,10)，b，ca,b表示向量c6rrrr5.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍；r2）若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。rrrrrr6.已知a(6,2)，b(3,m)，當(dāng)m為何值時(shí)，（1）a與b的夾角為鈍角？（2）a與b的夾角為銳角？7.已知梯形ABCD的極點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB2CD，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。8.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1)，，，求第四個(gè)極點(diǎn)DB(1,3)C(3,4)的坐標(biāo)。9.一航船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)質(zhì)航行方向與水流方向成30o角，求水流速度與船的實(shí)質(zhì)速度。10.已知ABC三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，uuuruuur，求sinA的值。（1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5【備用】1.rrrr5rrrr已知|a|3,|b|4,|ab|，求|ab|和向量a,b的夾角。2.rrrurrrrr1rrrur已知xab，y2ab，且|a||b|，ab，求x,y的夾角的余弦。1.rr(2,1)rrrr65已知a(1,3),b，則(3a2b)(2a5b)。4.rr(2,rrrr已知兩向量a(3,4),b1)，求當(dāng)axb與ab垂直時(shí)的x的值。5.rr(2,rr已知兩向量a(1,3),b)，a與b的夾角為銳角，求的范圍。r(r(rr為鈍角，求的取值范圍。變式：若a,2),b3,5)，a與b的夾角選擇、填空題的特別方法：特例法例：《全品》P27：4。由于M,N在AB,AC上的任意地址都成立，所以取特別狀況，即M,N與B,C重合時(shí)，能夠獲得mn1，mn2。7代入考據(jù)法rr(1,r(1,2)r）例：已知向量a(1,1),b1),c，則c（DA.1r3rB.1r3rC.3r1rD.3r1rab2ab2a2bab22222rrr1