《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第三章 子空間（有限）,積空間商空間 學(xué)習(xí)筆

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第三章子空間（有限）,積空間，商空間學(xué)習(xí)筆第3章子空間（有限）,積空間，商空間

在這一章中我們介紹通過(guò)已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的方法．為了避免過(guò)早涉及某些規(guī)律上的難點(diǎn)，在§3.2中我們只探討有限個(gè)拓?fù)淇臻g的積空間，而將一般情形的研究留待以后去作．

§3.1子空間

本節(jié)重點(diǎn)：把握度量子空間、拓?fù)淇臻g子空間的概念，子空間的拓?fù)渑c大空間拓?fù)渲g的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導(dǎo)集、閉包與大空間相應(yīng)子集之間的關(guān)系及表示法．

探討拓?fù)淇臻g的子空間目的在于對(duì)于拓?fù)淇臻g中的一個(gè)給定的子集，按某種“自然的方式〞賦予它一個(gè)拓?fù)涫怪蔀橐粋€(gè)拓?fù)淇臻g，以便將它作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象進(jìn)行考察．所謂“自然的方式〞應(yīng)當(dāng)是什么樣的方式？為回復(fù)這個(gè)問(wèn)題，我們還是先從度量空間做起，以便得到必要的啟發(fā)．

考慮一個(gè)度量空間和它的一個(gè)子集．欲將這個(gè)子集看作一個(gè)度量空間，必需要為它的每一對(duì)點(diǎn)規(guī)定距離．由于這個(gè)子集中的每一對(duì)點(diǎn)也是度量空間中的一對(duì)點(diǎn)，因而把它們作為子集中的點(diǎn)的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點(diǎn)的距離當(dāng)然是十分自然的．我們把上述想法歸納成定義：

定義3.1.1設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間，Y是X的一個(gè)子集.因此，Y×YX×X．顯然

：Y×Y→R是Y的一個(gè)度量（請(qǐng)自行驗(yàn)證）．我們稱Y的度量

，

是由X的度量ρ誘導(dǎo)出來(lái)的度量.度量空間（Y，ρ）稱為度量空間（X，ρ）的一個(gè)度量子空間．

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我們常說(shuō)度量空間Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間，意思就是指Y是X的一個(gè)子集，并且Y的度量是由X的度量誘導(dǎo)出來(lái)的．我們還常將一個(gè)度量空間的任何一個(gè)子集自動(dòng)地認(rèn)作一個(gè)度量子空間而不另行說(shuō)明．例如我們經(jīng)常探討的：實(shí)數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1維歐氏空間中的

n維單位球面:

n維單位開、閉球體:

以及n維單位開、閉方體和等等，并且它們也自然被認(rèn)作是拓?fù)淇?/p>

間（考慮相應(yīng)的度量誘導(dǎo)出來(lái)的拓?fù)洌?/p>

定理3.1.1設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間．則Y的子集U是Y中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)X中的開集V使得U＝V∩Y．

證明由于現(xiàn)在涉及兩個(gè)度量空間，我們時(shí)時(shí)要防備可能產(chǎn)生的概念混淆．對(duì)于x∈X（y∈Y），臨時(shí)記度量空間X（Y）中以x（y）為中心以ε＞0為半徑的球形鄰域?yàn)?/p>