2023屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)不等式選講第一節(jié)絕對(duì)值不等式教師用書

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☆☆☆2023考綱考題考情☆☆☆

考綱要求1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c。微知識(shí)小題練自|主|排|查1．絕對(duì)值三角不等式

定理1：假使a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。定理2：假使a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－c)(c－b)≥0時(shí)，等號(hào)成立。

2．絕對(duì)值不等式的解法

(1)含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集：不等式|x|＜a|x|＞a2023，全國(guó)卷Ⅰ，24,10分(絕對(duì)值不等式的求解)2023，全國(guó)卷Ⅲ，24,10分(絕對(duì)值不等式的求解)2023，全國(guó)卷Ⅰ，24,10分(絕對(duì)值不等式的求解，分段函數(shù)的圖象)真題舉例命題角度本部分在高考中的考察主要側(cè)重于兩個(gè)方面：一是考察絕對(duì)值不等式的解法，往往含有兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)；另一方面是利用不等式的解集或利用函數(shù)的最值求不等式中所含的參數(shù)的取值范圍。a＞0{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}a＝0?{x|x∈R且x≠0}a＜0?R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c。

微點(diǎn)提醒

1．應(yīng)用“零點(diǎn)分區(qū)法〞的注意點(diǎn)

令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式等于零，求出相應(yīng)的根，要把這些根按由小到大進(jìn)行排序，在各個(gè)區(qū)間上解不等式時(shí)，端點(diǎn)值要不重不漏。

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2．從解集理解不等式恒成立問題

不等式的解集為R說明不等式恒成立，不等式的解集為?，說明其對(duì)立面恒成立。

小|題|快|練

1．設(shè)ab＜0，a，b∈R，那么正確的是()A．|a＋b|＞|a－b|B．|a－b|＜|a|＋|b|C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|－|b||解法一：特別值法。取a＝1，b＝－2，則滿足ab＝－2＜0，這樣有|a＋b|＝|1－2|＝1，|a－b|＝|1－(－2)|＝3，|a|＋|b|＝1＋2＝3，||a|－|b||＝|1－2|＝1，

∴只有選項(xiàng)C成立，而A、B、D都不成立。應(yīng)選C。解法二：由ab＜0得a，b異號(hào)，

易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，∴選項(xiàng)C成立，A、B、D均不成立。應(yīng)選C。C

2．若關(guān)于x的不等式|x－a|k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________。∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k1的解集。

??x－4，x≤－1，

3

(1)f(x)＝?

3x－2，－12，

y＝f(x)的圖象如下圖。

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(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象知，當(dāng)f(x)＝1時(shí)，可得x＝1或x＝3；1

當(dāng)f(x)＝－1時(shí)，可得x＝3或x＝5。

1

故f(x)>1的解集為{x|15}。1

所以|f(x)|>1的解集為{x|x5}。1

(1)見解析(2){x|x5}

考點(diǎn)二含絕對(duì)值的不等式的證明設(shè)不等式－2由于|1－4ab|－4|a－b|

＝(1－8ab＋16ab)－4(a－2ab＋b)＝(4a－1)(4b－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|。

(1)見解析(2)|1－4ab|>2|a－b|

反思?xì)w納1.利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明。2．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明。3．轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明。

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已知x，y∈R，且|x＋y|≤6，|x－y|≤4，求證：|x＋5y|≤1?！遼x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|。∴由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤

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|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×6＋2×4＝1。即|x＋5y|≤1?？键c(diǎn)三含絕對(duì)值的不等式的綜合應(yīng)用2

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2

2

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(2023·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a。(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝|2x－1|。當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍。(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝|2x－2|＋2。解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3。因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}。(2)當(dāng)x∈R時(shí)，

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|

≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a。

所以當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)＋g(x)≥3等價(jià)于|1－a|＋a≥3。①當(dāng)a≤1時(shí)，①等價(jià)于1－a＋a≥3，無解。當(dāng)a>1時(shí)，①等價(jià)于a－1＋a≥3，解得a≥2。所以a的取值范圍是[2，＋∞)。

(1){x|－1≤x≤3}(2)[2，＋∞)反思?xì)w納1.不等式恒成立問題的解法

若不等式f(x)≤a在區(qū)間D上恒成立，則f(x)max≤a；若f(x)≥a在區(qū)間D上恒成立，則

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f(x)min≥a。

2．不等式能成立問題的解法

若f(x)≤a在區(qū)間D上能成立，則f(x)min≤a，若f(x)≥a在區(qū)間D上能成立，則f(x)max≥a。(1)(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|ax|。①當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)＋1；

②當(dāng)a＝2時(shí)，若對(duì)一切x∈R，恒有f(x)＋g(x)≥b成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。(2)已知函數(shù)f(x)＝|x＋3|－|x－2|。①求不等式f(x)≥3的解集；

②若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范圍。

1(1)①f(x)≥g(x)＋1?|2x＋1|≥|x|＋1，當(dāng)x≤－2時(shí)，