經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思考題答案

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一微分學(xué)

（一）填空題

221.若函數(shù)f（x+2）=x2+4x+5，則f（x）=(x?2)?4(x?2)?5?x?12．．若函數(shù)f（x）=x2+2，g(x)=sinx，則f(g(x))=sin2x?23．函數(shù)f(x)?4..lim3?x的定義域是(1,2)?(2,3]

ln(x?1)x?sinx?___________________.答案：0

x?0x?x2?1,x?05..設(shè)f(x)??，在x?0處連續(xù)，則k?________.答案：1

?k,x?0?116..曲線y?x在(1,1)的切線方程是.答案：y?x?

22__.答案：2x7..設(shè)函數(shù)f(x?1)?x2?2x?5，則f?(x)?__________ππ8..設(shè)f(x)?xsinx，則f??()?__________.答案：?

229.函數(shù)f(x)=—lnx在區(qū)間（0，∞）內(nèi)單調(diào)減少

10．函數(shù)y=x2+1的單調(diào)增加區(qū)間為[0,??)．

11．設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為q(p)=100e?p2，則需求彈性為EP??p212已知需求函數(shù)為q?202p?p，其中p為價格，則需求彈性Ep=33p?1013.已知某商品的需求函數(shù)為q=180–4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù)R(q)=?0.25q?45q

2（二）單項選擇題

1．以下各對函數(shù)中，（B）中的兩個函數(shù)一致。

x?11A．f(x)?2，g(x)?B．f(x)?sin2x?cos2x，g(x)?1

x?1x?1C．f(x)?lnx2，g(x)?2lnxD．f(x)?x，g(x)?(x)2

2．以下函數(shù)為奇函數(shù)是（C）。

A．xsinxB．lnxC．ln(x?1?x2)D．x＋x2..3.以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

C）．

x?1D．y?xsinxx?1.A．y?x2?xB．y?ex?e?xC．y?ln4..．極限limx?01?x?1=(D)．xA．0B．1.C．?.D．

125.以下極限計算正確的是（）答案：B

xx1sinxlimxsin?1lim?1A.lim?1B.limC.D.?1x?0x??x?0xx?0?xxx6..當(dāng)x?0時，以下變量是無窮小量的是（）.答案：C

sinxA．2xB．C．ln(1?x)D．cosx7

x7.．當(dāng)x?1時，以下變量中的無窮小量是（C）。

1?x21?x1?xA．e?1.B．2…C．2D．ln(1+x)x?1x?18.當(dāng)x?0時，以下變量中（B）是無窮大量．

x1?2xA.B.C.

x0.0019.函數(shù)y?x?1的連續(xù)區(qū)間是（）答案：D2x?x?2xD.2?x

A．(??,1)?(1,??)B．(??,?2)?(?2,??)

C．(??,?2)?(?2,1)?(1,??)D．(??,?2)?(?2,??)或(??,1)?(1,??)10.若f(x)在點x0有極限，則結(jié)論（D）成立。

A．f(x)在點x0可導(dǎo)B．f(x)在點x0連續(xù)C．f(x)在點x0有定義D．f(x)在點x0可能沒有定義

1??xsin?k,x?011.函數(shù)f(x)??在x=0處連續(xù)，則k=（C）。x?1,x?0?A．－2B．－1C．1D．2

12.若函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，則()是錯誤的．答案：B

A．函數(shù)f(x)在點x0處有定義B．limf(x)?A，但A?f(x0)

x?x0C．函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)D．函數(shù)f(x)在點x0處可微

13．曲線y=sinx在點(0,0)處的切線方程為（A）．

1A.y=xB.y=2xC.y=2xD.y=-x

14.函數(shù)f（x）=lnx在x=1處的切線方程是（A）。

A．x－y=1B．x－y=－1C．x+y=1D．x+y=－115.若f（x+1）=x2＋2x＋4，則f?(x)?（B）。

A．2x.B．2x＋2…C．x2＋3D．216.設(shè)y?lg2x，則dy?（）．答案：B

11ln101dxC．dxD．dxA．dxB．

2xxln10xx17．以下函數(shù)在區(qū)間（－∞，＋∞）上單調(diào)減少的是（D）。

A．cosxB．x2C．2xD．3－x18.函數(shù)f（x）=x2－1在區(qū)間[0，1]上是（A）。

A．單調(diào)增加B．單調(diào)減少C．先增加后減少D．先減少后增加19．以下函數(shù)中的單調(diào)減函數(shù)是（C）。

A．y=x3B．y=

x1C．y=－xD．y=ex20.以下等式中正確的是（B）。

A．e?xdx=d（e?x）B．sinxdx=d（-cosx）C．x3dx=d（3x2）D．—

11dx=d（2）xx21．設(shè)函數(shù)f(x)滿足以下條件：當(dāng)xx0時，f?(x)?0，則x0是函

數(shù)f(x)的（D）．

A．駐點B．極大值點C．微小值點D．不確定點三、計算題

x2?3x?51?1．lim2x??3x?2x?43x2?2x?32.．lim

x??3x2?9x2?2x?3(x?1)(x?3)?lim解:lim2x??3x??3x?9(x?3)(x?3)?limx?12?

x??3x?33x??3.lim(1?1x?1)2x1?1?2x?111x?11x12)(1?)?lim[(1?)](1?)?e2解:lim(1?)?lim(1?x??x??x??2x?2x?2x?2x?2xx?2x?24.lim[(1?)x?2]x?02x?41?2x1x?2xx?2x?2x解：lim[(1?)?2]?lim(1?)?lim2x?0x?0x?02x?42x?41??1?x??x?2x?2?e2??lim?(1?)?(1?)?lim2x?0x?0x?4222??1?2x?125．lim(x?0sin2xx?1?1sin2x?cosx)?cosx)?limx?0解:lim(x?0x?1?1sin2x?limcosx

x?1?1x?02sin2x(x?1?1)sin2x(x?1?1)?1?4?1?5?1?limx?0x?0(x?1?1)(x?1?1)2xx?1xlim()x??x?36

?lim解:lim(x??x?1xx?3?4x)?lim()

x??x?3x?3?lim(1?x??4x4x?343)?lim(1?)(1?)

x??x?3x?3x?3?34x443?lim[(1?)]4(1?)?e4x??x?3x?3cos2xe?xx，求dy.7.設(shè)函數(shù)y=

解:y'?ecos2x31(?sin2x)?2?x2

2cos2xdy?(?2sin2xe8.y?31?x2)dx2

x?xex，求y?

1?(x?1)ex答案：y??2x9.y?cosx?e?x，求dy答案：dy?(2xe?x?22sinx2x)dx

10.y?ln(x?1?x2)，求y?答案：y??11?x2

11．設(shè)x2＋y2＋xy=e2，求y?(x)。解:兩邊同時求導(dǎo)得:

2x?2yy'?y?xy'?0

(2y?x)y'??(2x?y)

y'??2x?y2y?x12．由方程cos(x?y)?ey?x確定y是x的隱函數(shù)，求dy．

解:兩邊同時求導(dǎo)得:

?sin(x?y)(1?y')?eyy'?1(ey?sin(x?y))y'?1?sin(x?y)y'?1?sin(x?y)ey?sin(x?y)1?sin(x?y)dxye?sin(x?y)

?dy?xy13．由方程ln（1+x）+e確定y是x的隱函數(shù)，求y?(x)。

解:兩邊同時求導(dǎo)得:

1?exy(y?xy')?2yy'1?x(xexy?2y)y'?yexy?11?x11?xy'?xyxe?2yyexy?四、應(yīng)用題

1設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q個單位時的成本函數(shù)為：C(q)?100?0.25q2?6q（萬元）,求：①當(dāng)q?10時的總成本、平均成本和邊際成本；②當(dāng)產(chǎn)量q為多少時，平均成本最小？答案：①C(10)?185（萬元）

C(10)?18.5（萬元/單位）

C?(10)?11（萬元/單位）

②當(dāng)產(chǎn)量為20個單位時可使平均成本達到最低。.

2.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C?(q)?2q?40(萬元/百臺)．試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低．解：當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為答案：?C?100（萬元）當(dāng)x?6（百臺）時可使平均成本達到最低.

3.已知某產(chǎn)品的邊際成本C?(q)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益

R?(q)?12?0.02q，求：

①產(chǎn)量為多少時利潤最大？

②在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？答案：①當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大.

②?L?-25（元）即利潤將減少25元.

4廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的需求函數(shù)為q=720-80p(單位：件)，而生產(chǎn)q件該產(chǎn)品時的成本函數(shù)

為C（q）=4q+160(單位：元)，問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時廠家獲得的利潤最大？解:

L?R?C?pq?(4q?160)?720?q11q?4q?160??q2?5q?160故L'??q?5808040所以當(dāng)q?200時,L'?0.由實際問題可知:當(dāng)q?200件時利潤最大為:340元

5.．某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C（q）=20+4q+0.01q2(元)，單位銷售價格為p=24-0.01q(元/件)，問產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？此時的最大利潤是多少。解:

L?R?C?pq?(20?4q?0.01q2)?(24?0.01q)q?20?4q?0.01q2??0.02q2?20q?20故L'??0.04q?20

所以當(dāng)q?500時,L'?0.由實際問題可知:當(dāng)q?500件時利潤最大為:4980元

6.已知某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為C(q)?4q（萬元/百臺），邊際收入為R?(q)?60?2q（萬元/百臺），假使該產(chǎn)品的固定成本為10萬元，求：(1)產(chǎn)量為多少時總利潤L（q）最大？

(2)從最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再增產(chǎn)200臺，總利潤會發(fā)生什么變化解:（1）L'(q)?R'(q)?C'(q)?60?2q?4q?60?6q

當(dāng)q?10時L'(q)?0.由實際問題可知:當(dāng)q?10(百臺)時利潤最大。

（2）?L?L(12)?L(10)?12?1210L'(q)dq??(60?6q)dq

10121012??(60?6q)dq?60q?3q210??12（萬元）

總利潤下降12萬元。

7．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C?(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為R?(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為

產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？

解:L'(x)?R'(x)?C'(x)?100?2x?8x?100?10x

當(dāng)x?10時L'(x)?0.由實際問題可知:當(dāng)x?10(百臺)時利潤最大。

(12)?L(10?)?L?L?(100x?5x)21210?1210Lx'(dx)??1210(1?00x1d0x)??20（萬元）

再生產(chǎn)2百臺，利潤將下降20萬元。

8．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為C?(x)=2x+40(萬元/百臺).試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低.

22解:C(x)?(2x?40)dx?x?40x?c?C(x)?x6?40x?3?C(6)?C(4)??(2x?40)dx?(x2?40x)?36?240?(16?160)?100(萬元)

4466即產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量為100萬元。平均成本C(x)?C(x)3636?'?1?2當(dāng)x??6（負(fù)舍）時，?C(x)?'?0?x?40?C(x)，?????xxx由實際問題可知:當(dāng)x?6百臺時平均成本達到最低.

9．設(shè)生產(chǎn)某商品固定成本是20元，邊際成本函數(shù)為C(q)?0.4q?2（元/單位），求總成本函數(shù)C（q）。假使該商品的銷售單價為22元且產(chǎn)品可以全部售出，問每天的產(chǎn)量為多少個單位時可使利潤達到最大？最大利潤是多少？

22解:C(q)?(0.4q?2)dq?0.2q?2q?c?C(q)?0.2q?2q?20?L?R?C?pq?(0.2q2?2q?20)?22q?0.2q2?2q?20故L'??0.4q?20

所以當(dāng)q?50時,L'?0.由實際問題可知:當(dāng)q?50時利潤最大為:480元

10已知某產(chǎn)品的邊際成本C?(q)?4q?3（萬元/百臺），q為產(chǎn)量（百臺），固定成本為18（萬元），求⑴該產(chǎn)品的平均成本．⑵最低平均成本．

解:

2（1）C?C?(q)dq?(4q?3)dq?2q?3q?18

??C(q)18?2q?3?1818C??2?2，令C??2?2?0，解得唯一駐點x?6（百臺）

平均成本函數(shù)

C?由于平均成本存在最小值，且駐點唯一，所以，當(dāng)產(chǎn)量為600臺時，可使平均成本達到最低。

（2）最低平均成本為

C(6)?2?6?3?18?12（萬元/百臺）6

二積分學(xué)

（一）填空題1.若2.

?xf(x)dx?2x?2x?c，則f(x)?__________.答案：2ln2?2_________?(sinx)?dx?________.答案：sinx?c

3.若

?f(x)dx?F(x)?c，則?xf(1?x2)dx?.答案：?1F(1?x2)?c24d?cosxdx=cosxdx。

5函數(shù)f(x)=3x的一個原函數(shù)是3xln3。

6函數(shù)f(x)=sin2x的原函數(shù)是?12cos2x?c

7.ddx?sin2xdx=sin2x。8．

?1sin2xdx??cotx?c

9.若f?(x)存在且連續(xù)，則[?df(x)]??．答案f?(x)

10設(shè)函數(shù)dedx?1ln(1?x2)dx?___________.答案：011若P(x)??01x1?t2dt，則P?(x)?__________.答案：?11?x2??12．若

?0ekxdx?2，則k=?12。

（二）單項選擇題

1.以下函數(shù)中，（）是xsinx2

的原函數(shù)．答案：DA．

12cosx2B．2cosx2C．-2cosx22.以下等式成立的是（）．答案：C

A．sinxdx?d(cosx)B．lnxdx?d(1x)

C．2xdx?1ln2d(2x)D．

1xdx?dx

3.若?f(x)dx?cos2x?2x?c，則f(x)=（A）.

A．-2sin2x+2B．2sin2x+2

C．-12sin2x+2D．12sin2x+24若?f(x)dx?F(x)?c,則?xf(1?x2)dx?（B）.

A．12F(1?x2)?cB．?12F(1?x2)?c

D．-12cosx2C．2F(1?x2)?cD．?2F(1?x2)?c

5.若

?f(x)dx??ex?2?x2?c?，則f(x)=（D）.

xxx1?21?21?ee?e2A.?eB.2C.4D.4

6若f(x)edx??e?c成立，則f（x）=（B）.?1x1x1111A．B．2C．?D．?2

xxxx7．若F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則?e-xf(e-x)dx=（A）.A．?F(e?x)?cB．F(e?x)?cC．xF(e?x)?cD．?xF(e?x)?c

8．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過（4，1）點的曲線方程是（C）.

A．y?x2?1B．y?x2?4

C．y?x2?15D．y?x2?15

9以下不定積分中，常用分部積分法計算的是（）．答案：C

2A．cos(2x?1)dx，B．x1?xdxC．xsin2xdxD．

???x?1?x2dx

10以下定積分計算正確的是（）．答案：DA．

C．

?1?12xdx?2B．?16?1dx?15

??????1?(x2?x3)dx?0D．?sinxdx?0

11．以下定積分中積分值為0的是（A）．

x?x1e?eex?e?xdxdxB．?A．??1?122C．

????(x3?cosx)dxD．?(x2?sinx)dx

??1?12以下積分計算正確的是（）．答案：A

x?x1e?eex?e?xdx?0B．?dx?0A．??1?122C．

?2?1-1xsinxdx?0D．?(x2?x3)dx?0

-1113．

??sinxdx=（D）.?2A．0B．πC．

?D．2214．

??x?333cosx?5x?2?dx?（C）.

A．0B．2C．6D．12

15.以下無窮積分中收斂的是（）．A．

????1????1xdxB．?dxC．D．edxsinxdx2??101xx?1(三)解答題

1.計算以下不定積分

3xx3xe（1）?xdx答案：?c3elne354222(1?x)2（2）?dx答案：2x?x?x?c

35x1x2?4dx答案：x2?2x?c（3）?2x?211dx答案：?ln1?2x?c（4）?1?2x23122（5）?x2?xdx答案：(2?x)2?c

3sinx（6）?dx答案：?2cosx?c

xxxx（7）?xsindx答案：?2xcos?4sin?c

222（8）?ln(x?1)dx答案：(x?1)ln(x?1)?x?c

2.計算以下定積分（1）

5答案：1?xdx??1222

1x

e

?1x2dx答案：e?ee31dx答案：2（3）?1x1?lnx（2）（4）1解:

?21(x?)2dx

x32x11122?[?2x?(?)](x?)dx?(x?2?)dx2?1?13x1xx81129??4??(?2?1)?323622

1?5lnxdx（5）?1xe解:

1e521?5lnx57?1xdx??1(1?5lnx)d(lnx)??0(1?5t)dt=(t?2t)0?1?2?2

e1x3dx（6）?20x?135x15x215x2?1?1215122?(1?)d(x)dx??2d(x)??d(x)解:?222?0000x?12x?12x?12x?151251?(x2?ln(x2?1))??ln262220161dx（7）?0x?9?x16161(x?9?x)dx??解:?dx

00x?9?x(x?9?x)(x?9?x)??16053316122116(x?9?x)x?9dx??xdx)?((x+9)2?x2)?12dx?(?0909339016（8）14?4exxxxdx

4解:1（9）

?edx?2?14exdx?2?exdx?2e12xx41?2e2?2e

?40(1?xe?x)dx答案：5?5e?4

?（10）．

??20xosc2xdx

解:

?20??1?12?2sin2xdx]xcos2xdx??2xd(sin2x)?[xsin2x0?0202?11111??[0?0??2sin2xd2x]?cos2x02?(?1?1)??442220?（11）

答案：(11)

ee1xlnxdx

12(e?1)4?1xlnxdx

2exe21x21e2x2由定積分的分部積分法得?xlnxdx???lnx???dx??112442x2411eee三線代數(shù)

（一）填空題

11行列式D??11111?____________.答案：4?1?11T2.設(shè)A,B均為3階矩陣，且A?B??3，則?2AB=________.答案：?72

?104?5???3.設(shè)矩陣A?3?232，則A的元素a23?__________.答案：3________????216?1???2??300???0?=[0]3計算矩陣乘積?12?????011???1???

??1?100?????14設(shè)矩陣A?020，則A?__________.答案：A??0?????00?3???0???111???5.設(shè)A?020，則秩（A）2。????070??0120?0??0??1??3??2226設(shè)A,B均為n階矩陣，則等式(A?B)?A?2AB?B成立的充分必要條件

是.答案：AB?BA

____.7.設(shè)A,B均為n階矩陣，(I?B)可逆，則矩陣A?BX?X的解X?__________答案：(I?B)A

8.設(shè)A，B，C均為n階可逆矩陣，則(ABC)=CBA。

?1?1?1?1?19．設(shè)A，B為兩個n階矩陣，且I－B可逆，則矩陣A+BX=X的解X=(I?B)?1A

16??11??，則t__________3210設(shè)線性方程組AX?b，且A?0?1????00t?10??一解.答案：??1

時，方程組有唯

?x?x?011．當(dāng)??1時，齊次方程組?12有無窮多解.

??x1??x2?012.已知齊次線性方程組AX?O中A為3?5矩陣，且該方程組有非零解，則r(A)?3．

（二）單項選擇題

1.以下結(jié)論或等式正確的是（）．

A．若A,B均為零矩陣，則有A?B

B．若AB?AC，且A?O，則B?C

C．對角矩陣是對稱矩陣

D．若A?O,B?O，則AB?O答案C

2.設(shè)A為3?4矩陣，B為5?2矩陣，且乘積矩陣ACB有意義，則C為（A）矩陣．A．2?4

B．4?2C．3?5

D．5?3

TT3.．設(shè)A是n×s矩陣，B是m×s矩陣，則以下運算中有意義的是（B）.

A.BAB.AB?C.ABD.A?B4設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則以下等式成立的是（）．`

A．(A?B)?1?A?1?B?1，B．(A?B)?1?A?1?B?1C．AB?BAD．AB?BA答案C5.以下矩陣可逆的是（）．答案A

?123???10?1??11??11?????A．023B．101C．?D．????????00??22?????003123????6.