平面向量單元總結

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一、學習目標

1、正確理解平面向量的有關概念、幾何與坐標表示、加減法法則、實數與向量的積、平面向量的基本定理、兩個向量共線與垂直的充要條件和定比分點的概念。

2、把握向量的加減法、數量積、坐標運算、兩個向量垂直和平行的充要條件，平面內兩點間的距離公式、線段的定比分點、平移公式、正弦定理與余弦定理，并能運用這些知識解決一些數學問題。

3、了解平面向量基本定理、共線向量以及用這些知識處理有關長度、角度和垂直問題。二、知識網絡

基礎知識向量的運算向量的加法與減法向量實數與向量的積平面向量基本定理向量的坐標表示三、考察要求

基本應用綜合應用向量在物理中的應用向量在平面幾何中的應用線段的定比分點平面兩點間距離平移公式正弦定理余弦定理向量由于具有幾何形式和代數形式的“雙重身份〞，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項內容的媒介。由于平面向量作為一種有向線段本身就是直線上的一段，其向量的坐標可用其起點、終點的坐標表示，因此向量與平面解析幾何，特別是其中直線部分保持著自然的聯系。(而空間向量是處理空間問題的重要方法，通過將空間元素間的位置關系轉化為數量關系，將過去的形式規(guī)律證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，化繁雜為簡單，是一種重要的解決問題的手段和方法)。

向量的坐標表示是向量的代數表示，在引入向量的坐標表示以后，即可使向量運算代數化，將數與形緊湊地結合起來，好多幾何問題的證明可以轉化為數量的運算，向量是數學中解決幾何問題的有效工具之一。中學課程中向量分為平面向量和空間向量兩部分內容，高考中也是分這兩部分內容分別命題的。一般在平面向量部分利用選擇題和填空題進行考察，文理科試題一般一致，有些年份文理科試題有所區(qū)別；在空間向量部分，一般利用解答題考察，而且文理科相近。

平面向量的考察要求，其一是主要考察平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能。要求考生把握平面向量的和、差、數乘和內積的運算法則，理解其直觀的幾何意義，并能正確地進行運算。其二是

1

考察向量的坐標表示，向量的線性運算。其三是和其他數學內容結合在一起，如可以和曲線、數列等基礎知識結合，考察規(guī)律推理和運算能力等綜合運用數學知識解決問題的能力。應用數形結合的思想方法，將幾何知識和代數知識有機地結合在一起，能為多角度的展開解題思路提供廣闊的空間。題目對基礎知識和技能的考察一般由淺入深，入手并不難，但要圓滿完成解答，則需要嚴密的規(guī)律推理和確鑿的計算。四、知識精析

1、向量是自由向量，即只有大小和方向兩個要素。用有向線段AB表示向量時，與有向線段起點A的位置沒有關系，等長且同向的有向線段都表示同一線段；用坐標表示向量時，向量a的坐標等于表示此向量的有向線段AB的終點坐標B?x2,y2?減去起點坐標A?x1,y1?，即AB?(x2?x1,y2?y1)。它與有向線段AB的起點A?x1,y1?、終點B?x2,y2?的具體位置沒有關系，只與其相對位置有關系，只有把坐標原點作為表示向量a的有向線段的起點時，向量a的終點坐標才是向量的坐標。向量與數量不同，數量可以比較大小，向量卻不能，但是向量的模可以比較大小。

2、向量加減法運算的兩種方式：幾何法、代數法

⑴幾何運算的三角形法則和平行四邊形法則：當一個向量的終點為另一個向量的起點時(首尾相連)，可用向量加法的三角形法則；當兩個向量的起點一致時(共點向量)，可用向量加法的平行四邊形法則。運用向量加減法解決幾何問題時，關鍵是要能發(fā)現、構造三角形或平行四邊形。關于兩向量及它們的和差，其長度之間有如下重要性質：①以向量a，b為鄰邊的平行四邊形中，?a?b表示的是兩條對角線所在的向量。②a?b?a?b?a?b??，同時要重視該式中等式成立的條件。明確平行四邊形中的

結論:平行四邊形對角線的平方和等于各邊的平方和(此為兩向量的和與差的模及兩向量的模間的關系).

⑵向量加減法的坐標運算：向量a與b的和差a?b的坐標等于向量a與b對應坐標相加減，即設

a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)。

3、平面向量的基本定理是平面向量坐標表示的基礎，它說明對于同一平面內的任一向量a，都存在唯一的一對實數?1、?2，使得向量a表示為其他兩個不共線的向量e1、e2的線性組合，即

a??1e1??2e2。在解具體問題時適當地選取兩個不共線的向量作基底，其他向量或平面直線型圖形就

都能夠表示為基底向量的線性組合，這樣幾何問題就可以轉化為向量問題，通過向量的運算來解決。

4、平面向量的兩種積：實數與向量的積，兩個向量的數量積

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⑴實數?與向量a的積仍是一個向量?a，模等于

??a，與向量a的方向關系根據?的符號確定。

其中??0時，?a與a同向；??0時，?a與a反向；?＝0時，?a?0。實數與向量的積滿足下面的運算律：①?ma???m?a，②???m?a??a?ma，③?a?b??a??b。

????⑵兩個夾角為?(要求兩向量是共點向量;假使是首尾相連,則其夾角為首尾相連所對字母的所成角的補角)的非零向量a和b的數量積a?b是一個數量，它的大小與兩個向量的長度及其夾角有關，即

a?b?abcos?。在幾何上，數量積a?b等于a的長度a與b在a方向上的投影bcos?的乘積。兩個

向量的數量積滿足下面的運算律：①a?b?b?a,②(?a)?b?a?(?b)??(a?b),③

(a?b)?c?a?c?b?c。

⑶兩種積的比較：實數與向量的積仍是一個向量，兩個向量的數量積則是一個數；實數與向量的積滿足結合律，而向量的數量積只滿足交換律、加乘分派律以及數乘結合律，但不滿足結合律，即對向量a，

b，c，(a?b)c?a(b?c)；另外，兩種積的坐標運算方式也不一致，一個是?a?(?x1,?y1)，另一個是a?b?(x1x2,y1y2)。

6、平面向量的兩種位置關系：平行和垂直

⑴兩個向量a(x1,y1)和b(x2,y2)平行的充要條件是：

①當b?0時，a//b?a??b。

②a//b?x1y2?x2y1?0，即向量坐標“交織相乘〞的差等于0，即。

⑵兩個非零a(x1,y1)和b(x2,y2)平行的充要條件是：a?b?a?b?x1x2?y1y2?0，即向量坐標“同名相乘〞的差等于0，即。

7、線段定比分點的兩種形式：即坐標形式和向量形式⑴若點P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，?為實數，

x1??x2y1??y2,)PP??PP1??1??2，則點P的坐標為1所成的且1。要分清起點、分點、終點，點P分P2P(

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1P2所成的比是兩個不同的比。?的符號決定分點P在線段上的位置，1P與比與點P分P當?＞０時，PPP2同向共線，這時稱點P為P2反向共線，這時稱點1P2的內分點；當?＜０(???1)時，P1P與PP1P2的外分點.P為P2?b，P1?a，OP1P＝⑵線段定比分點坐標公式的向量形式：如圖，在平面內任取一點O，若OPa??b1??a?b?PPOP1??1??1??2，則可得=.這一結論在幾何問題的證明過程中應用廣泛.

abc???2RsinAsinBsinC8、解斜三角形涉及到正弦定理和余弦定理，正弦定理透露了三角形的

邊與角的正弦的比相等的事實，并且這個比值等于三角形外接圓的半徑，應用時要充分注意公式的五種

222變形。余弦定理的每個公式中，如a?b?c?2bccosA涉及到四個量，知其三可求出第四個量。解

斜三角形時，還要注意三角形的其他知識的綜合運用，例如：三角形內角和定理；大邊對大角，等邊對等角；兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；射影定理；誘導公式；三角形面積公式等。

結論:在ΔABC中,A>B?sinA>sinB.五、難點突破

1、由于向量的加法與減法互為逆運算，向量的減法要通過相反向量轉化為加法運算來進行，在用三角形法則作向量的減法時，要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減向量〞。

2、在向量的坐標運算中，要把點的坐標與向量的坐標區(qū)別開來，相等向量的坐標是一致的，但起點、終點的坐標可以不同。向量的加法、減法及實數與向量的積都可以用坐標來進行運算，使得向量運算完全代數化，將數與形緊湊地結合起來，這樣大量幾何問題的解決，就可以轉化為我們熟知的數量運算。

?PP中，要抓住各點的順序，其中，分子是有向線段的3、確定線段定比分點比值?時，在P1P=2起點到分點p1?p；分母是分點到有向線段的終點p?p2，不能顛倒順序和改變位置。

4、平移是函數圖象的一種重要變換，通過坐標平移，曲線方程的次數不變，曲線的形狀不變，變化

的只是曲線和坐標系的相互位置關系與曲線的方程。圖形的平移就其本質來講就是點的平移.當點

?x??x?h?P(x,y)依照給定的向量a?(h,k)平移后得到新點P?(x?,y?)，則?y??y?k，公式中要抓住舊點的坐

標加上平移向量的坐標等于新點坐標，也可化為平移向量的坐標等于新點坐標減去舊點坐標，即

?h?x??x??k?y??y

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5、平面向量的數量積不同于實數的積，不能把實數的積的運算法則照搬到向量的數量積?？梢杂孟蛄康臄盗糠e公式解決有關長度、夾角、垂直問題，特別是在處理幾何中有關垂直的問題時，顯得更為簡捷、巧妙，是用數來解決形的問題的最好實例。

六.向量中涉及的數學思想

1.數形結合思想:向量本身是形(有方向的線段),同時又可象數一樣進行運算,能與幾何的平行,垂直,距離,成角等問題轉化為式子進行運算.

2.分類探討思想:非零向量與零向量;共線向量中含平行與在一條直線上兩種狀況.

3.轉化思想:形的問題轉化為式子的計算（平行,垂直,成角等問題）與求最值、證不等式問題(如牽涉到與平方和相關的式子轉化為距離)等.

七.題型總結

1.向量概念、法則問題:依據于對概念法則的確鑿理解.?以下說法中正確的序號是（）

①一個平面內只有一對不共線的向量可作為基底；②兩個非零向量平行，則他們所在直線平行；③零向量不能作為基底中的向量；④兩個單位向量的數量積等于零。

(A)①③(B)②④(C)③(D)②③?以下命題中真命題是（）

???????????(A)a?b?0?a?0或b?0(B)a//b?a在b上的投影為a

????????????2(C)a?b?a?b?a?b(D)a?c?b?c?a?b

??2.判斷多邊形的形狀:從長度與角度兩方面進行.?已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),則ΔABC的形狀是（）

(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)任意三角形

?已知?ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P，且PA?PB?PC?AB，則點P與?ABC的位置關系是（）

(A)P在?ABC內部(B)P在?ABC外部(C)P在AB邊上或其延長線上(D)P在AC邊上

?已知四邊形ABCD的頂點分別為A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4)

求證：四邊形ABCD為正方形。（12分）

?在ABC中，假使sinA=2cosBsinC，則ABC一定是（）

A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形3.平移問題:依據于平移公式,運用代入法與消元法求解.?把一個函數的圖像按a?????????,2?平移后得到的圖像的解析式為y?sin?x???2，那么原函數的解

4??4??析式為（）

(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=sinx+2(D)y=cosx+4

??已知拋物線y?3x?6x?5，將它的頂點按向量a平移到坐標原點

2求：（1）a；（2）平移后的函數解析式。

?若直線y=2x按向量a平移得到直線y=2x+2，則a（）

5

?

A只能是(0,2)B只能是(2,6)C只能是(0,2)或(2,6)D有無數個4.共線（平行）問題:①三點共線:依據于AB=?AC,且兩向量有公共點A.兩向量平行:依據于兩個充要條件.證明平行還要加上四點不共線.結論:(右圖)點A,B,C三點共線,則OA=tOB+(1-t)OC.

?設e1,e2為兩不共線的向量，則a?e1??e2與b??2e2?3e1共線的充要條件是（）(A)????3223(B)??(C)???(D)???

32232已知a=（2，1），與a平行且長度為25的向量是（）A(4,2)B(?4,?2)C(2,1)或(?2,?1)D(4,2)或(?4,?2)5.距離問題:與數量積有關.

B?已知a=(2,1),b=(1,2),要使a?tb最小，那么實數t的值是C?1?1???????已知向量a、b、c兩兩所成的角相等，且a?b?c?1，求向量a?b?c的長度。23OA6.定比分點問題:依據于對定義與公式的確鑿理解,運用.

結論:明確內角平分線定理.假使AD是角A的平分線與邊BC的交點,則

ABBD?.ACDC已知P1P?2PP2，則點P坐標是（）1?2,?1?,P2?0,5?且點P在P1P2延長線上，使P(A)(-2,11)(B)(

42,3)(C)(,3)(D)(2,-7)33ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，則C點坐標為________________。已知P(4,-9),Q(-2,3)且y軸與線段PQ的交點為M，則M分PQ所成的比是（）(A)2(B)3(C)1/2(D)1/3

0

7.垂直問題:依據于數量積為0,或夾角為90.

??????已知向量a?3,b?(1,2)，且a?b，則a的坐標是_________________。

?若a，b為非零向量，且a?b=0，那么以下四個等式：

（1）a?b=a?b（2）a=b（3）a?(a?b)=0（4）(a?b)=a+b其中正確的等式的個數是（）

A0個B1個C2個D3個?以原點O和A?5,2?為兩個頂點作等腰三角形OAB，使?B?90，求點B和AB的坐標。

8.夾角問題:依據于數量積的定義或夾角公式(公式有二:坐標公式及一般與數量積有關的公式).注意兩向量是否是共點向量.

222?2???2????若a?1,b?2,a?b?a?0，則a與b的夾角為__________________。

??6

?向量a的模為10，它與x軸正方向的夾角為150，則它在x軸上的投影為（）A?53B5C?5D53

9..平面向量基本定理問題:理解其內容.

C

如圖，已知OA,OB不共線，點C滿足CB?2AC，

試以OA,OB為基底表示OC